高考数学考点归纳之幂函数 8页

高考数学考点归纳之幂函数 一、基础知识 1．幂函数的概念 一般地，形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α为常数． 幂函数的特征 (1)自变量 x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为 1； (3)只有一项． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x1 2 y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1) 二、常用结论 对于形如 f(x)＝xn m(其中 m∈N*，n∈Z，m 与 n 互质)的幂函数： (1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于 y 轴对称； (2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； (3)当 m 为偶数时，x>0(或 x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限 及原点处)． 考点一 幂函数的图象与性质 [典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3，3 3)，则 f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x 2 3－n n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是 减函数，则 n 的值为( ) A．－3 B．1 C．2 D．1 或 2 [解析] (1)设 f(x)＝xα，将点(3，3 3)代入 f(x)＝xα，解得α＝1 3 ，所以 f(x)＝x 1 3 ，可知函数 f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选 C. (2)∵幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)x 2 3－n n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴ n2＋2n－2＝1， n2－3n<0， ∴n＝1， 又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1. [答案] (1)C (2)B [解题技法] 幂函数 y＝xα的主要性质及解题策略 (1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)． (2)当α>0 时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0 时， 幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减． (3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． (4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数 的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等． [题组训练] 1.[口诀第 3、4、5 句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为 ( ) A．y＝x－4 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．y＝x 1 3 解析：选 A 函数 y＝x－4 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x－1 为奇 函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数 y＝x2 为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增； 函数 y＝x 1 3 为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增． 2.[口诀第 2、3、4 句]已知当 x∈(0,1)时，函数 y＝xp 的图象在直线 y＝x 的上方，则 p 的取值范围是________． 解析：当 p>0 时，根据题意知 p<1，所以 0b＝ 1 5 2 3 ，因为 y＝ 1 2 x 是 减函数，所以 a＝ 1 2 2 3 b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：选 B 因为 y＝x 2 5 在第一象限内为增函数，所以 a＝ 3 5 2 5 >c＝ 2 5 2 5 ，因为 y＝ 2 5 x 是减函数，所以 c＝ 2 5 2 5 >b＝ 2 5 3 5 ，所以 a>c>b. 2．若(a＋1) 1 2 <(3－2a) 1 2 ，则实数 a 的取值范围是________． 解析：易知函数 y＝x 1 2 的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以 a＋1≥0， 3－2a≥0， a＋1<3－2a， 解得－1≤a<2 3. 答案： －1，2 3 [课时跟踪检测] 1．若幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则 f(8)的值为( ) A．4 B. 2 C．2 2 D．1 解析：选 C 设 f(x)＝xn，由条件知 f(4)＝2，所以 2＝4n，n＝1 2 ， 所以 f(x)＝x 1 2 ，f(8)＝8 1 2 ＝2 2. 2．若幂函数 f(x)＝xk 在(0，＋∞)上是减函数，则 k 可能是( ) A．1 B．2 C.1 2 D．－1 解析：选 D 由幂函数的性质得 k<0，故选 D. 3．已知幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，则 m＝( ) A．1 B．2 C．1 或 2 D．3 解析：选 A ∵函数 f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m＋2＝0，解得 m＝1 或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件；当 m＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为 奇函数，不满足条件．故选 A. 4．(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点 2，1 4 ，则函数 g(x)＝f(x)＋x2 4 的最小值为 ( ) A．1 B．2 C．4 D．6 解析：选 A 设幂函数 f(x)＝xα. ∵f(x)的图象过点 2，1 4 ，∴2α＝1 4 ，解得α＝－2. ∴函数 f(x)＝x－2，其中 x≠0. ∴函数 g(x)＝f(x)＋x2 4 ＝x－2＋x2 4 ＝1 x2 ＋x2 4 ≥2 1 x2·x2 4 ＝1， 当且仅当 x＝± 2时，g(x)取得最小值 1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数 y＝x|m－1|与 y＝x 23 －m m (m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数， 则满足条件的整数 m 的值为( ) A．0 B．1 和 2 C．2 D．0 和 3 解析：选 C 由题意可得 |m－1|>0， 3m－m2>0， m∈Z， 解得 m＝2. 6．已知 a＝3 4 5 ，b＝4 2 5 ，c＝12 1 5 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．bb>c，故选 C. 7．设 x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则 x，y，z 的大小关系为( ) A．xz.由函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上单 调递增，可得 x10－2a， a＋1>0， 10－2a>0， 解得 3f(a－1)的实数 a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， ∴ 2＝2 ( )2 1－＋m m ，即 2 1 2 ＝2 ( )2 1－＋m m . ∴m2＋m＝2，解得 m＝1 或 m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. (2)由(1)知 f(x)＝x 1 2 ， 则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由 f(2－a)>f(a－1)，得 2－a≥0， a－1≥0， 2－a>a－1， 解得 1≤a<3 2. ∴a 的取值范围为 1，3 2 .