高考数学考点归纳之幂函数
一、基础知识
1.幂函数的概念
一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α为常数.
幂函数的特征
(1)自变量 x 处在幂底数的位置,幂指数α为常数;
(2)xα的系数为 1;
(3)只有一项.
2.五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性
质
y=x y=x2 y=x3 y=x1
2 y=x-1
图象
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增
(-∞,0)减,
(0,+∞)增
增 增
(-∞,0)和
(0,+∞)减
公共点 (1,1)
二、常用结论
对于形如 f(x)=xn
m(其中 m∈N*,n∈Z,m 与 n 互质)的幂函数:
(1)当 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称;
(2)当 m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称;
(3)当 m 为偶数时,x>0(或 x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限
及原点处).
考点一 幂函数的图象与性质
[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y=f(x)的图象经过点(3,3 3),则 f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数
D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
(2)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x
2 3-n n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是
减函数,则 n 的值为( )
A.-3 B.1
C.2 D.1 或 2
[解析] (1)设 f(x)=xα,将点(3,3 3)代入 f(x)=xα,解得α=1
3
,所以 f(x)=x
1
3 ,可知函数
f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选 C.
(2)∵幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x
2 3-n n 在(0,+∞)上是减函数,
∴ n2+2n-2=1,
n2-3n<0,
∴n=1,
又 n=1 时,f(x)=x-2 的图象关于 y 轴对称,故 n=1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数 y=xα的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).
(2)当α>0 时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增;当α<0 时,
幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减.
(3)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数
的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
[题组训练]
1.[口诀第 3、4、5 句]下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的为
( )
A.y=x-4 B.y=x-1
C.y=x2 D.y=x
1
3
解析:选 A 函数 y=x-4 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x-1 为奇
函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x2 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增;
函数 y=x
1
3 为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.
2.[口诀第 2、3、4 句]已知当 x∈(0,1)时,函数 y=xp 的图象在直线 y=x 的上方,则 p
的取值范围是________.
解析:当 p>0 时,根据题意知 p<1,所以 0
b=
1
5
2
3 ,因为 y=
1
2 x 是
减函数,所以 a=
1
2
2
3 b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
解析:选 B 因为 y=x
2
5 在第一象限内为增函数,所以 a=
3
5
2
5 >c=
2
5
2
5 ,因为 y=
2
5 x
是减函数,所以 c=
2
5
2
5 >b=
2
5
3
5 ,所以 a>c>b.
2.若(a+1)
1
2 <(3-2a)
1
2 ,则实数 a 的取值范围是________.
解析:易知函数 y=x
1
2 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,
所以
a+1≥0,
3-2a≥0,
a+1<3-2a,
解得-1≤a<2
3.
答案: -1,2
3
[课时跟踪检测]
1.若幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则 f(8)的值为( )
A.4 B. 2
C.2 2 D.1
解析:选 C 设 f(x)=xn,由条件知 f(4)=2,所以 2=4n,n=1
2
,
所以 f(x)=x
1
2 ,f(8)=8
1
2 =2 2.
2.若幂函数 f(x)=xk 在(0,+∞)上是减函数,则 k 可能是( )
A.1 B.2
C.1
2 D.-1
解析:选 D 由幂函数的性质得 k<0,故选 D.
3.已知幂函数 f(x)=(m2-3m+3)xm+1 为偶函数,则 m=( )
A.1 B.2
C.1 或 2 D.3
解析:选 A ∵函数 f(x)为幂函数,∴m2-3m+3=1,即 m2-3m+2=0,解得 m=1
或 m=2.当 m=1 时,幂函数 f(x)=x2 为偶函数,满足条件;当 m=2 时,幂函数 f(x)=x3 为
奇函数,不满足条件.故选 A.
4.(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点 2,1
4 ,则函数 g(x)=f(x)+x2
4
的最小值为
( )
A.1 B.2
C.4 D.6
解析:选 A 设幂函数 f(x)=xα.
∵f(x)的图象过点 2,1
4 ,∴2α=1
4
,解得α=-2.
∴函数 f(x)=x-2,其中 x≠0.
∴函数 g(x)=f(x)+x2
4
=x-2+x2
4
=1
x2
+x2
4
≥2 1
x2·x2
4
=1,
当且仅当 x=± 2时,g(x)取得最小值 1.
5.(2019·安徽名校联考)幂函数 y=x|m-1|与 y=x
23 -m m (m∈Z)在(0,+∞)上都是增函数,
则满足条件的整数 m 的值为( )
A.0 B.1 和 2
C.2 D.0 和 3
解析:选 C 由题意可得
|m-1|>0,
3m-m2>0,
m∈Z,
解得 m=2.
6.已知 a=3
4
5 ,b=4
2
5 ,c=12
1
5 ,则 a,b,c 的大小关系为( )
A.bb>c,故选 C.
7.设 x=0.20.3,y=0.30.2,z=0.30.3,则 x,y,z 的大小关系为( )
A.xz.由函数 y=x0.3 在(0,+∞)上单
调递增,可得 x10-2a,
a+1>0,
10-2a>0,
解得 3f(a-1)的实数 a 的取值范围.
解:(1)∵幂函数 f(x)的图象经过点(2, 2),
∴ 2=2 ( )2 1-+m m ,即 2
1
2 =2 ( )2 1-+m m .
∴m2+m=2,解得 m=1 或 m=-2.
又∵m∈N*,∴m=1.
(2)由(1)知 f(x)=x
1
2 ,
则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.
由 f(2-a)>f(a-1),得
2-a≥0,
a-1≥0,
2-a>a-1,
解得 1≤a<3
2.
∴a 的取值范围为 1,3
2 .