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  • 2021-05-13 发布

高考数学考点归纳之幂函数

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高考数学考点归纳之幂函数 一、基础知识 1.幂函数的概念 一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α为常数. 幂函数的特征 (1)自变量 x 处在幂底数的位置,幂指数α为常数; (2)xα的系数为 1; (3)只有一项. 2.五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性 质 y=x y=x2 y=x3 y=x1 2 y=x-1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0)减, (0,+∞)增 增 增 (-∞,0)和 (0,+∞)减 公共点 (1,1) 二、常用结论 对于形如 f(x)=xn m(其中 m∈N*,n∈Z,m 与 n 互质)的幂函数: (1)当 n 为偶数时,f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称; (2)当 m,n 都为奇数时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称; (3)当 m 为偶数时,x>0(或 x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限 及原点处). 考点一 幂函数的图象与性质 [典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数 y=f(x)的图象经过点(3,3 3),则 f(x)是( ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 (2)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x 2 3-n n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是 减函数,则 n 的值为( ) A.-3 B.1 C.2 D.1 或 2 [解析] (1)设 f(x)=xα,将点(3,3 3)代入 f(x)=xα,解得α=1 3 ,所以 f(x)=x 1 3 ,可知函数 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选 C. (2)∵幂函数 f(x)=(n2+2n-2)x 2 3-n n 在(0,+∞)上是减函数, ∴ n2+2n-2=1, n2-3n<0, ∴n=1, 又 n=1 时,f(x)=x-2 的图象关于 y 轴对称,故 n=1. [答案] (1)C (2)B [解题技法] 幂函数 y=xα的主要性质及解题策略 (1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当α>0 时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增;当α<0 时, 幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减. (3)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数. (4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数 的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等. [题组训练] 1.[口诀第 3、4、5 句]下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的为 ( ) A.y=x-4 B.y=x-1 C.y=x2 D.y=x 1 3 解析:选 A 函数 y=x-4 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x-1 为奇 函数,且在区间(0,+∞)上单调递减;函数 y=x2 为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增; 函数 y=x 1 3 为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. 2.[口诀第 2、3、4 句]已知当 x∈(0,1)时,函数 y=xp 的图象在直线 y=x 的上方,则 p 的取值范围是________. 解析:当 p>0 时,根据题意知 p<1,所以 0b= 1 5 2 3 ,因为 y= 1 2 x 是 减函数,所以 a= 1 2 2 3 b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 解析:选 B 因为 y=x 2 5 在第一象限内为增函数,所以 a= 3 5 2 5 >c= 2 5 2 5 ,因为 y= 2 5 x 是减函数,所以 c= 2 5 2 5 >b= 2 5 3 5 ,所以 a>c>b. 2.若(a+1) 1 2 <(3-2a) 1 2 ,则实数 a 的取值范围是________. 解析:易知函数 y=x 1 2 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数, 所以 a+1≥0, 3-2a≥0, a+1<3-2a, 解得-1≤a<2 3. 答案: -1,2 3 [课时跟踪检测] 1.若幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则 f(8)的值为( ) A.4 B. 2 C.2 2 D.1 解析:选 C 设 f(x)=xn,由条件知 f(4)=2,所以 2=4n,n=1 2 , 所以 f(x)=x 1 2 ,f(8)=8 1 2 =2 2. 2.若幂函数 f(x)=xk 在(0,+∞)上是减函数,则 k 可能是( ) A.1 B.2 C.1 2 D.-1 解析:选 D 由幂函数的性质得 k<0,故选 D. 3.已知幂函数 f(x)=(m2-3m+3)xm+1 为偶函数,则 m=( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.3 解析:选 A ∵函数 f(x)为幂函数,∴m2-3m+3=1,即 m2-3m+2=0,解得 m=1 或 m=2.当 m=1 时,幂函数 f(x)=x2 为偶函数,满足条件;当 m=2 时,幂函数 f(x)=x3 为 奇函数,不满足条件.故选 A. 4.(2018·邢台期末)已知幂函数 f(x)的图象过点 2,1 4 ,则函数 g(x)=f(x)+x2 4 的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.6 解析:选 A 设幂函数 f(x)=xα. ∵f(x)的图象过点 2,1 4 ,∴2α=1 4 ,解得α=-2. ∴函数 f(x)=x-2,其中 x≠0. ∴函数 g(x)=f(x)+x2 4 =x-2+x2 4 =1 x2 +x2 4 ≥2 1 x2·x2 4 =1, 当且仅当 x=± 2时,g(x)取得最小值 1. 5.(2019·安徽名校联考)幂函数 y=x|m-1|与 y=x 23 -m m (m∈Z)在(0,+∞)上都是增函数, 则满足条件的整数 m 的值为( ) A.0 B.1 和 2 C.2 D.0 和 3 解析:选 C 由题意可得 |m-1|>0, 3m-m2>0, m∈Z, 解得 m=2. 6.已知 a=3 4 5 ,b=4 2 5 ,c=12 1 5 ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.bb>c,故选 C. 7.设 x=0.20.3,y=0.30.2,z=0.30.3,则 x,y,z 的大小关系为( ) A.xz.由函数 y=x0.3 在(0,+∞)上单 调递增,可得 x10-2a, a+1>0, 10-2a>0, 解得 3f(a-1)的实数 a 的取值范围. 解:(1)∵幂函数 f(x)的图象经过点(2, 2), ∴ 2=2 ( )2 1-+m m ,即 2 1 2 =2 ( )2 1-+m m . ∴m2+m=2,解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1. (2)由(1)知 f(x)=x 1 2 , 则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. 由 f(2-a)>f(a-1),得 2-a≥0, a-1≥0, 2-a>a-1, 解得 1≤a<3 2. ∴a 的取值范围为 1,3 2 .