- 2.42 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1
神奇巧解高考数学选择题专题
前 言
高考数学选择题,知识覆盖面宽,概括性强,小巧灵活,有一定深度与
综合性,而且分值大,能否迅速、准确地解答出来,成为全卷得分的关键。
选择题的解答思路不外乎两条:一是直接法,即从题干出发,探求结果,
这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能,这一般适用于题
号在前 1~6 的题目;二是间接法,即从选项出发,或者将题干与选项联合考察
而得到结果。因为选择题有备选项,又无须写出解答过程,因此存在一些特殊
的解答方法,可以快速准确地得到结果,这就是间接法。这类选择题通常用来
考核考生的思维品质,包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑
性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性;同直接法相比,间接法所需要的
时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一,是节约解题时间的重要手段。
然而,有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心,认为这样做“不
可靠”,以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证;甚至有思
想不解放的,认为这样做“不道德”,而不明白这其实正是高考命题者的真实
意图所在,高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要
手段。
解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等
价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、
现场操作,等等。考生应该有意识地积累一些经典题型,分门别类,经常玩味,
以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之,并配备足够
的对应练习题,每题至少提供有一种解法。
例题与题组
2
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思
维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。
【例题】、(07 江苏 6)设函数 ( )f x 定义在实数集上,它的图象关于直线 1x
对称,且当 1x 时, ( ) 3 1xf x ,则有( )。
A、 1 3 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f B、 2 3 1( ) ( ) ( )3 2 3f f f
C、 2 1 3( ) ( ) ( )3 3 2f f f D. 3 2 1( ) ( ) ( )2 3 3f f f
【解析】、当 1x 时, ( ) 3 1xf x , ( )f x 的
图象关于直线 1x 对称,则图象如图所示。
这个图象是个示意图,事实上,就算画出
( ) | 1|f x x 的图象代替它也可以。由图知,
符合要求的选项是 B,
【练习 1】、若 P(2,-1)为圆 2 2( 1) 25x y 的弦 AB 的中点,则直线 AB
的方程是( )
A、 3 0x y B、2 3 0x y C、 1 0x y D、2 5 0x y
(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A)
【练习 2】、(07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件
2 0
1
7 0
x y
x
x y
,则 y
x
的
取值范围是( )
A、 9 ,65
B、 9, 6,5
C、 ,3 6, D、 3,6
(提示:把 y
x
看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选
A。)
3
【练习 3】、曲线 21 4 ( 2,2 )y x x
与直线 ( 2) 4y k x 有两个公共点时,
k 的取值范围是( )
A、 5(0, )12
B、 1 1( , )4 3
C、 5( , )12
D、 5 3( , )12 4
(提示:事实上不难看出,曲线方程 21 4 ( 2,2 )y x x 的图象为
2 2( 1) 4( 2 2,1 3)x y x y ,表示以(1,0)为圆心,2 为半径的上半圆,
如图。直线 ( 2) 4y k x 过定点(2,4),那么斜率的范围就清楚了,选 D)]
【练习 4】、函数 )1(|| xxy 在区间
A 上是增函数,则区间 A 是( )
A、 0, B、
2
1,0
C、 ,0 D、
,2
1
(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B)
【练习 5】、曲线 13
||
2
|| yx 与直线 mxy 2
有两个交点,则m 的取值范围是( )
A、 4m 或 4m B、 44 m
C、 3m 或 3m D、 33 m
(提示:作出曲线的图象如右,因为直线
mxy 2 与其有两个交点,则 4m 或 4m ,选 A)
4
【 练 习 6 】、( 06 湖 南 理 8 ) 设 函 数 ( ) 1
x af x x
, 集 合 | ( ) 0M x f x ,
'| ( ) 0P x f x ,若 M P ,则实数a 的取值范围是( )
A、( ,1) B、(0,1) C、(1, ) D、[1, )
(提示:数形结合,先画出 ( )f x 的图象。 1 1 1( ) 11 1 1
x a x a af x x x x
。当
1a 时,图象如左;当 1a 时图象如右。
由图象知,当 1a 时函数 ( )f x 在(1, ) 上递增, ' ( ) 0f x ,同时 ( ) 0f x 的
解集为(1, ) 的真子集,选 C)
【练习 7】、(06 湖南理 10)若圆 2 2 4 4 10 0x y x y 上至少有三个不同的点
到直线 : 0l ax by 的距离为2 2 ,则直线l 的倾斜角 的取值范围是( )
A、 ,12 4
B、 5,12 12
C、 ,6 3
D、 0, 2
(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为
2 2 2( 2) ( 2) (3 2)x y ,由题意知,圆心到直线
的距离 d 应该满足0 2d ,在已知圆中画一个半
径为 2 的同心圆,则过原点的直线 : 0l ax by 与小圆有公共点,∴选 B。)
【练习 8】、(07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( )
5
A、|2b| > | a-2b | B、|2b| < | a-2b |
C、|2a| > | 2a-b | D、|2a| < | 2a-b |
(提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此
先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | |a-b|2=
| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·(a-2b)=0
a⊥(a-2b),又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |,
|2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图,
∴|2b| > | a-2b |,选 A。
另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB,
再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。)
【练习 9】、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
(提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,
由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C)
6
【练习 10】、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合,A B B C ,则一定有( )
A、 A C B、C A C、 A C D、 A
(提示:若 A B C ,则 ,A B A B C B A
成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立)
【 练 习 11 】、 (07 天 津 理 7) 在 R 上 定 义 的 函 数 ( )f x 是 偶 函 数 , 且
( ) (2 )f x f x 。若 ( )f x 在区间[1,2]上是减函数,则 ( )f x ( )
A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
(提示:数形结合法, ( )f x 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结
论,如下左图知选 B)
【练习 12】、(07 山东文 11 改编)方程 3 21( )2
xx 的解 0x 的取值区间是( )
A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(3,4)
(提示:数形结合,在同一坐标系中作出函数 3 21, ( )2
xy x y 的图象,则立
刻知选 B,如上右图)
7
二、特值代验
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形,代入或者比照选项
来确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。
【例题】、(93 年全国高考)在各项均为正数的等比数列 na 中,若 5 6 9a a ,
则 3 1 3 2 3 10log log loga a a ( )
A、12 B、10 C、8 D、 32 log 5
【解析】、思路一(小题大做):由条件有 4 5 2 9
5 6 1 1 19 ,a a a q a q a q 从而
10 1 2 9 2 9 5 10
1 2 3 10 1 1( ) 3a a a a a q a q ,
所以原式= 10
3 1 2 10 3log ( ) log 3 10a a a ,选 B。
思 路 二 ( 小 题 小 做 ): 由 5 6 4 7 3 8 2 9 1 109 a a a a a a a a a a 知 原 式
= 5 10
3 5 6 3log ( ) log 3 3a a ,选 B。
思路三(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列
5 6 3, 1a a q 即可,选 B。
【练习 1】、(07 江西文 8)若0 2x ,则下列命题中正确的是( )
A、 2sin x x B、 2sin x x C、 3sin x x D、 3sin x x
(提示:取 ,6 3x 验证即可,选 B)
【练习 2】、(06 北京理 7)设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N ,则 ( )f n
( )
A、 2 (8 1)7
n B、 12 (8 1)7
n C、 32 (8 1)7
n D、 42 ( 1)7
nn
(提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前 4n 项
的和,
8
所以
4
42(1 8 ) 2( ) ( 1)1 8 7
n
nf n n
,选 D。这属于直接法。
思路 2:令 0n ,则
3 4
4 7 10 42 1 (2 ) 2(0) 2 2 2 2 (8 1)1 2 7f
,对照选项,
只有 D 成立。)
【练习 3】、(06 全国 1 理 9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0,如果
平面向量 b1、b2、b3 满足| bi|=2| ai |,且 ai 顺时针旋转30 以后与 bi 同向,
其中 i=1、2、3 则( )
A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0
(提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正
三角形,则 bi 实际上是将三角形顺时针旋转30 后再将其各边延长 2 倍,仍为
封闭三角形,故选 D。)
【练习 4】、若 ( ) ( 0, 1)xf x a a a , 1(2) 0,f 则 1( 1)f x 的图象是( )
A、 B、 C、 D、
(提示:抓住特殊点 2, 1(2) 0f ,所以对数函数 1( )f x 是减函数,图象往
左移动一个单位得 1( 1)f x ,必过原点,选 A)
【练习 5】、若函数 ( 1)y f x 是偶函数,则 (2 )y f x 的对称轴是( )
A、 0x B、 1x C、 1
2x D、 2x
(提示:因为若函数 ( 1)y f x 是偶函数,作一个特殊函数 2( 1)y x ,则
9
(2 )y f x 变为 2(2 1)y x ,即知 (2 )y f x 的对称轴是 1
2x ,选 C)
【练习 6】、已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1,其前 n 和为 Sn,那么
Cn
1S1+ Cn
2S2+…+ Cn
nSn=( )
A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n
(提示:愚蠢的解法是:先根据通项公式 an=2n-1 求得和的公式 Sn,再代
入式子 Cn
1S1+ Cn
2S2+…+ Cn
nSn,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些
书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按照小题的解思路来求做:令
n=2,代入式子,再对照选项,选 B)
【练习 7】、(06 辽宁理 10)直线 2y k 与曲线 2 2 2 29 18k x y k x ( , 1k R k )
的公共点的个数是( )
A、1 B、2 C、3 D、4
(提示:取 1k ,原方程变为
2
2( 1) 19
yx ,这是两个椭圆,与直线 2y 有 4
个公共点,选 D)
【练习 8】、如图左,若 D、E、F 分别是
三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点,
且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平
面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分
的体积之比为( )
A、4:31 B、6:23
C、4:23 D、2:25
(提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥,K 是
FC 的中点, 1 2,V V 1 2,V V 分别表示上下两部分的体积
10
则 22 2 2 8( )3 3 3 27
S DEF S DEF
S ABC S ABC
V S h
V S h
, 1
2
8 4 4
27 8 4 23
V
V
,选 C)
【练习 9】、△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,
( )OH m OA OB OC ,则m 的取值是( )
A、-1 B、1 C、-2 D、2
(提示:特殊化处理,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜边中点处,
此时有OH OA OB OC , 1m ,选 B。)
【练习 10】、双曲线方程为
2 2
12 5
x y
k k
,则 k 的取值范围是( )
A、 5k B、2 5k C、 2 2k D、 2 2k 或 5k
(提示:在选项中选一些特殊值例如 6,0k 代入验证即可,选 D)
三、筛选判断
包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法,
即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。
【例题】、设集合 A 和 B 都属于正整数集,映射 f: A B 把集合 A 中的元
素 n 映射到集合 B 中的元素,则在映射 f 下,像 20 的原像是( )
A、2 B、3 C、4 D、5
【解析】、经逐一验证,在 2、3、4、5 中,只有 4 符合方程 2n n =20,选 C。
【练习 1】、(06 安徽理 6)将函数 sin ( 0)y x
的图象按向量 a=( ,0)6
平移以后的图象如图所示,则
平移以后的图象所对应的函数解析式是( )
A、 sin( )6y x B、 sin( )6y x 7
12
C、 sin(2 )3y x D、 sin(2 )3y x
(提示:若选 A 或 B,则周期为 2 ,与图象所示周期不符;若选 D,则与 “按
11
向量 a=( ,0)6
平移” 不符,选 C。此题属于容易题)
【练习 2】、(06 重庆理 9)如图,单位圆中 AB 的
长度为 x , ( )f x 表示 AB 与弦 AB 所围成的弓形的面的
2 倍,则函数 ( )y f x 的图象是( )
A、 B、 C、 D、
(提示:解法 1 设 AOB ,则 x ,
则 S 弓形=S 扇形- S△AOB= 1 11 2 sin cos2 2 2 2x
1 1( sin ) ( sin )2 2x x x ,当 (0, )x 时,
sin 0x ,则 sinx x x ,其图象位于 y x 下方;当 ( ,2 )x 时, sin 0x ,
sinx x x ,其图象位于 y x 上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。
解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积 ( )f x 不是弧长 x 的一次函数,
排除 A;当 x 从很小的值逐渐增大时, ( )f x 的增长不会太快,排除 B;只要 x
则必然有面积 ( )f x ,排除 C,选 D。事实上,直觉好的学生完全可以直接选
D)
【练习 3】、(06 天津文 8)若椭圆的中心点为 E(-1,0),它的一个焦点为
2
2
2
2
2
2
2
2
12
F(-3,0),相应于焦点的准线方程是 7
2x ,则这个椭圆的方程是( )
A、
2 22( 1) 2 121 3
x y B、
2 22( 1) 2 121 3
x y C、
2
2( 1) 15
x y D、
2
2( 1) 15
x y
(提示:椭圆中心为(-1,0),排除 A、C,椭圆相当于向左平移了 1 个单
位长度,故 c=2,
2 71 2
a
c
,∴ 2 5a ,选 D)
【练习 4】、不等式 2 21x x
的解集是( )
A、( 1,0) (1, ) B、( , 1) (0,1)
C、( 1,0) (0,1) D、( , 1) (1, )
(提示:如果直接解,差不多相当于一道大题!取 2x ,代入原不等式,
成立,排除 B、C;取 2x ,排除 D,选 A)
【练习 5】、(06 江西理 12)某地一年内的气温
Q(t)(℃)与时间 t(月份)之间的关系如右图,
已知该年的平均气温为 10℃。令 C(t)表示时间
段[0,t]的平均气温,C(t)与 t 之间的函数关系
如下图,则正确的应该是( )
A 、 B 、 C 、
D、
13
(提示:由图可以发现,t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,
排除 D;t>6 时的某一段气温超过 10℃,排除 B,选 A。)
【练习 6】、集合 (2 1) |M n n Z 与集合 (4 1) |N k k Z 之间的关系是
( )
A、 M N B、 M N C、 M N D、 M N
(提示:C、D 是矛盾对立关系,必有一真,所以 A、B 均假; 2 1n 表示全
体奇数,4 1k 也表示奇数,故 M N 且 B 假,只有 C 真,选 C。此法扣住了概
念之间矛盾对立的逻辑关系。
当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2,±3,然
后观察两个集合的关系就知道答案了。)
【练习 7】、当 4,0x 时, 2 44 13a x x x 恒成立,则 a 的一个可能的
值是( )
A、5 B、 5
3
C、 5
3
D、 5
(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正
确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D)
【练习 8】、(01 广东河南 10)对于抛物线 2 4y x 上任意一点 Q,点 P(a,
0)都满足 PQ a ,则a 的取值范围是( )
A、 ,0 B、( ,2] C、[0,2] D、(0,2)
(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D;
又取 1a ,则 P 是焦点,记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此
时 a<d<|PQ|,即表明 1a 符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题
是用的直接法,照录如下,供“不放心”的读者比较——
14
设 点 Q 的 坐 标 为
2
0
0( , )4
y y , 由 PQ a , 得
2
2 2 20
0 ( )4
yy a a , 整 理 得
2 2
0 0( 16 8 ) 0y y a ,
∵ 2
0 0y ,∴ 2
0 16 8 0y a ,即
2
02 8
ya 恒成立,而
2
02 8
y 的最小值是 2,∴
2a ,选 B)
【练习 9】、(07 全国卷Ⅰ理 12)函数 2 2( ) cos cos 2
xf x x 的一个单调增区间是
( )
A、 2,3 3
B、 ,6 2
C、 0, 3
D、 ,6 6
(提示:“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,
选 A。建议你用代入验证法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端
点值其实是可以取到的,由 ( ) ( )6 6f f ,显然直接排除 D,在 A、B、C 中只
要计算两个即可,因为 B 中代入
6
会出现
12
,所以最好只算 A、C、现在就验
算 A,有 2( ) ( )3 3f f ,符合,选 A)
四、等价转化
解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要
通过必要的训练,达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题
中这一点显得尤其重要。
【例题】、(05 辽宁 12)一给定函数 ( )y f x 的图象在下列图中,并且对任
意 1 0,1a ,由关系式 1 ( )n na f a 得到的数列满足 1 ( )n na a n N
,则该函数的图
象是( )
15
A、 B、 C、 D、
【解析】问题等价于对函数 ( )y f x 图象上任一点( , )x y 都满足 y x ,只能选 A。
【练习 1】、设 cossin t ,且 sin3 + cos3 0 ,则t 的取值范围是( )
A、[- 2 ,0) B、[ 2,2 ]
C、(-1,0) 2,1( ] D、(- 3 ,0) ),3(
(提示:因为 sin3 + cos3 =(sin + cos )(sin2 - sin cos + cos2 ),
而 sin2 - sin cos + cos2 >0 恒成立,故 sin3 + cos3 0 t<0,选 A。
另解:由 sin3 + cos3 0 知 非锐角,而我们知道只有 为锐角或者直角时
cossin t 2 ,所以排除 B、C、D,选 A)
【练习 2】、 1 2,F F 是椭圆
2
2 14
x y 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 1 2PF PF
的
最大值是( )
A、4 B、5 C、1 D、2
(提示:设动点 P 的坐标是( 2cos ,sin ) ,由 1 2,F F 是椭圆的左、右焦点得
1( 3,0)F , 2 ( 3,0)F , 则
1 2PF PF
| (2cos 3,sin ) (2cos 3,sin ) | 2 2| 4cos 3 sin |
2| 3cos 2 | 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求
最值的问题。特别提醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——
21 2
1 2
| | | | 42
PF PFPF PF a
)
16
【练习 3】、若log 2 log 2 0a b ,则( )。
A、0 1a b B、0 1b a C、 1a b D、 1b a
(提示:利用换底公式等价转化。
lg 2 lg 2log 2 log 2 0 0 lg lg 0lg lga b b aa b
∴0 1b a ,选 B)
【练习 4】、 , , , ,a b c d R 且d c , ,a b c d a d b c ,则( )
A、d b a c B、b c d a
C、b d c a D、b d a c
(提示:此题条件较多,又以符号语言出现,
令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”,
如图 ,用线段代表 , , , ,a b c d 立马知道选 C。当然
这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”, 分别用数字 1,4,
2,3 代表 , , , ,a b c d 容易知道选 C。也许你认为对策一的转化并不等价,是的,
但是作为选择题,可以事先把条件“ , , ,a b c d R ”收严一些变为“ , , ,a b c d R ”。
【练习 5】、已知 0, 若函数 ( ) sin sin2 2
x xf x 在 ,4 3
上单调递增,
则 的取值范围是( )
A、 20, 3
B、 30, 2
C、 0,2 D、 2,
(提示: 化简得 1( ) sin2f x x ,∵sin x 在 ,2 2
上递增,
∴
2 2 2 2x x ,而 ( )f x 在 ,4 3
上单调递增
3, , 04 3 2 2 2
,又 0, ∴选 B)
17
【练习 6】、把 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中,
使盒子里球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是( )
A、 3
6C B、 2
6C C、 3
9C D、 2
9
1
2 C
(提示:首先在编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 0,1,2 个小球,
则余下的 7 个球只要用隔板法分成 3 堆即可,有 2
6C 种,选 B;如果你认为难以
想到在三个盒子中分别放入只 0,1,2 个小球,而更容易想到在三个盒子中分
别放入只 1,2,3 个小球,那也好办:你将余下的 4 个球加上虚拟的(或曰借
来的)3 个小球,在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板,也与本问题等价。)
【练习 7】、方程 1 2 3 4 12x x x x 的正整数解的组数是( )
A、24 B、 72 C、144 D、165
(提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列的 12 球
11 空中插入 3 块隔板即可,答案为 3
11 165C ,选 D)
【练习 8】、从 1,2,3,…,10 中每次取出 3 个互不相邻的数,共有的取
法数是( )
A、35 B、56 C、84 D、120
(提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的
7 个数的 8 个空中,那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为
3
8 56C ,选 B)
【练习 9】、(理科)已知
2
1
1lim 31x
ax bx
x
,则b = ( )
A、4 B、-5 C、-4 D、5
(提示:逆向思维,分母( 1x )一定是存在于分子的一个因式,那么一
定 有 2 21 ( 1)( 1) (1 ) 1ax bx x ax ax a x , ∴ 必 然 有 (1 )b a , 且
18
2
1 1
1lim lim( 1)1x x
ax bx axx
,∴ 1 1 3 4,a a ∴ 5b ,选 B)
【练习 10】、异面直线 ,m n 所成的角为60 ,
过空间一点 O 的直线l 与 ,m n 所成的角等于60 ,
则这样的直线有( )条
A、1 B、2 C、3 D、4
(提示:把异面直线 ,m n 平移到过点 O 的位置,记他们所确定的平面为 ,则
问题等价于过点 O 有多少条直线与 ,m n 所成的角等于60 ,如图,恰有 3 条,选
C)
【 练 习 11 】、 不 等 式 2 0ax bx c 的 解 集 为 1 2x x , 那 么 不 等 式
2( 1) ( 1) 2a x b x c ax 的解集为( )
A、 0 3x x B、 0, 3x x or x C、 2 1x x D、 2, 1x x or x
(提示:把不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax 化为 2( 1) ( 1) 0a x b x c ,其结构与
原不等式 2 0ax bx c 相同,则只须令 1 1 2x ,得0 3x ,选 A)
五、巧用定义
定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。
【例题】、某销售公司完善管理机制以后,其销售额每季度平均比上季度增
长 7%,那么经过 x 季度增长到原来的 y 倍,则函数 ( )y f x 的图象大致是( )
1l2l
19
A、 B、 C、 D、
【解析】、由题设知, (1 0.07)xy ,∵1 0.07 1 ,∴这是一个递增的指数函
数,其中 0x ,所以选 D。
【练习 1】、已知对于任意 Ryx , ,都有 ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2
x y x yf x f y f f ,且
0)0( f ,则 )(xf 是( )
A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数
(提示:令 0y ,则由 0)0( f 得 1)0( f ;又令 xy ,代入条件式可得
)()( xfxf ,因此 )(xf 是偶函数,选 B)
【练习 2】、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点,过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切,
则圆心 Q 的轨迹是( )
A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段
(提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那
么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆
心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)
【练习 3】、若椭圆
2 2
14 3
x y 内有一点 P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有
一点 M,使|MP|+2|MF|最小,则点 M 为( )
A、 2( 6, 1)3
B、 3(1, )2
C、 3(1, )2
D、 2( 6, 1)3
(提示:在椭圆中, 2, 3a b ,则 11, 2
cc e a
,设点 M 到右准线的距离
为 |MN| , 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 , | | 1 | | 2 | || | 2
MF MN MFMN
, 从 而
| | 2 | | | | | |MP MF MP MN ,这样,过点 P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即
20
为所求 M 点,知易 M 2( 6, 1)3
,故选 A)
【练习 4】、设 1 2,F F 是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点,P 为双曲
线右支上任意一点,若
2
2
1
PF
PF
的最小值为8a ,则该双曲线的离心率e 的取值范
围是( )
A、[2,3] B、(1,3] C、 3, D、 1,2
(提示:
2
2 22 1
1
1 11
(2 ) 4 4 8
PF a PF a PF a aPF PFPF
,当且仅当
2
1
1
4a PFPF
,即
1 2PF a , 2 4PF a 时取等于号,又 1 2 1 2PF PF F F ,得6 2a c ,∴1 3e ,选
B)
【练习 5】、已知 P 为抛物线 2 4y x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为d ,
对于给定点 A(4,5),|PA|+d 的最小值是( )
A、4 B、 34 C、 17 1 D、 34 1
(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少
1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外,
∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 1 ,选 D)
【练习 6】、函数 ( )y f x 的反函数 1 1 2( ) 3
xf x x
,则 ( )y f x 的图象( )。
A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称
C、关于直线 y=3 对称 D、关于直线 x = -2 对称
(提示:注意到 1 1 2( ) 3
xf x x
的图象是双曲线,其对称中心的横坐标是-3,
由反函数的定义,知 ( )y f x 图象的对称中心的纵坐标是-3,∴只能选 B)
21
【 练 习 7 】、 已 知 函 数 ( )y f x 是 R 上 的 增 函 数 , 那 么 0a b 是
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b 的( )条件。
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要
(提示:由条件以及函数单调性的定义,有
( ) ( )0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
a b f a f ba b f a f b f a f bb a f a f b
,而这个过程并不
可逆,因此选 A)
【练习 8】、点 P 是以 1 2,F F 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 2F 作 1 2F PF 的外
角平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是( )
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
(提示:如图,易知 2PQ PF ,M 是 2F Q 的中点,
∴OM 是 1FQ 的中位线,∴ 1 1 1 2
1 1 1( ) ( )2 2 2MO FQ F P PQ F P F P ,由椭圆的定
义知, 1 2F P F P =定值,∴ MO 定值(椭圆的长半轴长 a),∴选 A)
【练习 9】、在平面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2
表示的是双曲线,则m的取值范围是( )
A、(0,1) B、( 1, ) C、(0,5) D、(5, )
(提示:方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 可变形为
2
2 2
( 2 3)
2 1
x ym x y y
,即
得
2 2( 1)1
2 3
x y
x ym
,∴
2 2( 1)5
2 3
5
x y
x ym
,这表示双曲线上一点( , )x y 到定点(0,
-1)与定直线 2 3 0x y 的距离之比为常数 5e m
,又由 1e ,得到0 5m ,
∴选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你无法判断)
六、直觉判断
22
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思维严格遵守概念和逻
辑规则,而直觉思维不受固定的逻辑规则约束,直接领悟事物本质,大大节约
思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位,而直觉思维又是思维
中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此,
作为选拔人才的高考命题人,很自然要考虑对直觉思维的考查。
【例题】、已知 1sin cos , 25x x x ,则 tan x 的值为( )
A、 4
3
B、 4
3
或 3
4
C、 3
4
D、 4
3
【解析】、由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围,直接意识
到 3 4sin ,cos5 5x x ,从而得到 3tan 4x ,选 C 。
【练习 1】、如图,已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中,
问 x 取什么值时,内接正三角形的面积最小( )
A、
2
a B、
3
a C、
4
a D、 3
2 a
(提示:显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小,选
A。)
【练习 2】、(课本题改编)测量某个零件直径的尺寸,得到 10 个数据:
1 2 3 10, , , ,x x x x 如 果 用 x 作 为 该 零 件 直 径 的 近 似 值 , 当 x 取 什 么 值 时 ,
2 2 2 2
1 2 3 10( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x 最小?( )
A、 1x ,因为第一次测量最可靠 B、 10x ,因为最后一次测量最可靠
C、 1 10
2
x x ,因为这两次测量最可靠 D、 1 2 3 10
10
x x x x
(提示:若直觉好,直接选 D。若直觉欠好,可以用退化策略,取两个数
尝试便可以得到答案了。)
【练习 3】、若 7 2 7
0 1 2 7(1 2 )x a ax a x a x ,则 0 1 2 7| | | | | | | |a a a a ( )
23
A、-1 B、1 C、0 D、 73
(提示:直觉法,系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。或者退化判
断法将 7 次改为 1 次;还有一个绝妙的主意:干脆把问题转化为:已知
7 2 7
0 1 2 7(1 2 )x a a x a x a x ,求 0 1 2 7a a a a ,这与原问题完全等价,此
时令 1x 得解。)
【练习 4】、已知 a、b 是不相等的两个正数,如果设 1 1( )( )p a ba b
,
21( )q ab
ab
, 22( )2
a br a b
,那么数值最大的一个是( )
A、 p B、q C、 r D、与 a、b 的值有关。
(提示:显然 p、q、r 都趋向于正无穷大,无法比较大小,选 D。要注意,
这里似乎是考核均值不等式,其实根本不具备条件——缺乏定值条件!)
【练习 5】、(98 高考)向高为 H 的水瓶中注水,注满为止。如果注水量 V
与水深 h 的函数关系如下列左图,那么水瓶的形状是( )。
O
A B C D
(提示:抓住特殊位置进行直觉思维,可以取 OH 的中点,当高 H 为一半时,
其体积过半,只有 B 符合,选 B)
24
【练习 6】、(07 江西理 7 文 11)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自
不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图,
盛满酒好他们约定:先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为
1 2 3 4, , , ,h h h h 则它们的大小关系正确的是( )
A、 2 1 4h h h B、 1 2 3h h h C、 3 2 4h h h D、 2 4 1h h h
(提示:选 A)
【练习 7】、(01 年高考)过点 A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线 2 0x y
上的圆的方程是( )
A、 2 2( 3) ( 1) 4x y B、 2 2( 3) ( 1) 4x y
C、 2 2( 1) ( 1) 4x y D、 2 2( 1) ( 1) 4x y
(提示:显然只有点(1,1)在直线 2 0x y 上,选 C)
【练习 8】、(97 全国理科)函数 sin( 2 ) cos23y x x 的最小正周期是( )
A、
2
B、 C、2 D、 4
(提示:因为总有 sin cos sin( )a x b x A x ,所以函数 y 的周期只与
有关,这里 2 ,所以选 B)
【练习 9】、(97 年高考)不等式组
0,
3 2
3 2
x
x x
x x
的解集是( )
25
A、 | 0 2x x B、 | 0 2.5x x
C、 | 0 6x x D、 | 0 3x x
(提示:直接解肯定是错误的策略;四个选项左端都是 0,只有右端的值
不同,在这四个值中会是哪一个呢?它必定是方程 3 3| |3 3
x x
x x
的根!,代入验
证:2 不是,3 不是, 2.5 也不是,所以选 C)
【练习 10】、△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是( )
A、 38
3 B、
8
1 C、1 D、
2
1
(提示:本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标准”解法,
特抄录如下供读者比较:
设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC,
∴cos2C- cos(A-B)cosC+2y=0,构造一元二次方程 x2- cos(A-B)x+2y=0,
则 cosC 是一元二次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos2(A-B)-8y≥0,
即 8y≤cos2(A-B)≤1,∴
8
1y ,故应选 B。
这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角 A、B、C 的地位完全平
等,直觉告诉我们:最大值必定在某一特殊角度取得,故只要令 A=B=C=60 ゜
即得答案 B,这就是直觉法的威力,这也正是命题人的意图所在。)
【练习 11】、(07 浙江文 8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3
局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为
0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为( )
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
(提示:先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概
26
率为 0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为 1
2[ 0.6 0.4] 0.6 0.288C ,所以
甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648,选 D。
现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1,
而甲获胜的概率比乙大,应该超过 0.5,只有选 D。)
【练习 12】、sin cos 2 ,则 tan cot ( )
A、1 B、2 C、-1 D、-2
(提示:显然
4
,选 B)
七、趋势判断
趋势判断法,包括极限判断法,连同估值法,大致可以归于直觉判断法一
类。具体来讲,顾名思义,趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果,要
求化静为动,在运动中寻找规律,因此是一种较高层次的思维方法。
【例题】、(06 年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)
的 5 根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角
形的最大面积为多少?
A、8 5 cm2 B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2
【解析】、此三角形的周长是定值 20,当其高或底趋向于零时其形状趋向
于一条直线,其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”
时也就是形状接近于正三角形时面积最大,故三边长应该为 7、7、6,因此易
知最大面积为6 10 cm2,选 B。)
【练习 1】、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是
( )
A、 2( , )n
n
B、 1( , )n
n
C、(0, )2
D、 2 1( , )n n
n n
(提示:进行极限分析,当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时,相邻
27
两侧面所成二面角 ,且 ;当锥体h 且底面正多边形相对固定不
变时,正 n 棱锥形状趋近于正 n 棱柱, 2 ,n
n
且 2 ,n
n
选 A)
【练习 2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为 S,记
4
1
i
i
S
S
,
则 一定满足( )
A、2 4 B、3 4 C、 2.5 4.5 D、3.5 5.5
(提示:进行极限分析,当某一顶点 A 无限趋近于对面时,S=S 对面,不妨
设 S=S1,则 S2+S3+S4 1S 那么 2 ,选项中只有 A 符合,选 A。当然,我们也
可以进行特殊化处理:当四面体四个面的面积相等时, 4 ,凭直觉知道选 A)
【练习 3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ,侧面与底面
所成角为 ,则 2cos cos2 的值是( )
A、1 B、 1
2
C、0 D、-1
(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时, 90 , 90 , 那么
2cos cos2 2cos90 cos180 1 ,选 D)
【练习 4】、在△ABC 中,角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c-a 等
于 AC 边上的高,那么sin cos2 2
C A C A 的值是( )
A、1 B、 1
2
C、 1
3
D、-1
(提示:进行极限分析, 0 时,点 C ,此时高 0,h c a ,那么
180 , 0C A ,所以sin cos2 2
C A C A sin90 cos0 1 ,选 A。)
【练习 5】、若0 ,sin cos ,sin cos ,4 a b 则( )
A、a b B、 a b C、 1ab D、 2ab
28
(提示:进行极限分析,当 0 时, 1a ;当
4
时, 2b ,从而b a ,
选 A)
【练习 6】、双曲线 2 2 1x y 的左焦点为 F,
点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直
线 PF 的斜率的变化范围是( )
A、 ( ,0) B、( , 1) (1, )
C、( ,0) (1, ) D、(1, )
(提示:进行极限分析,当 P 时,PF 的斜率 0k ;当 PF x 时,斜率
不存在,即k 或 k ;当 P 在无穷远处时,PF 的斜率 1k 。选 C。)
【练习 7】、(06 辽宁文 11)与方程 2 2 1( 0)x xy e e x 的曲线关于直线 y x
对称的曲线方程为( )
A、 ln(1 )y x B、 ln(1 )y x
C、 ln(1 )y x D、 ln(1 )y x
(提示:用趋势判断法:显然已知曲线方程可以化为 2( 1) ( 0)xy e x ,是
个增函数。再令 ,x 那么 ,y 那么根据反函数的定义,在正确选项中当
y 时应该有 ,x 只有 A 符合。当然也可以用定义法解决,直接求出反
函数与选项比较之。)
【练习 8】、若sin cos 1 ,则对任意实数 n,sin cosn n ( )
A、1 B、区间(0,1) C、 1
1
2n D、不能确定
(提示:用估值法,由条件sin cos 1 完全可以估计到sin ,cos 中必定有
一个的值是 1,另一个等于 0,则选 A。另外,当 n=1,2 时,答案也是 1)
29
【练习 9】、已知 1c ,且 1x c c , 1y c c ,则 ,x y 之间的大小关
系是( )
A、 x y B、 x y C、 x y D、与 c 的值有关
(提示:此题解法较多,如分子有理化法,代值验证法,单调性法,但是
用趋势判断法也不错:当 1c 时, 2 1x ;当 x 时, 0x ,可见函数
1t t 递减,∴选 B)
八、估值判断
有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,
或者对位置进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
【例题】、已知 1x 是方程 lg 3x x 的根, 2x 是方程 10 3xx 的根,则 1 2x x
( )
A、6 B、3 C、2 D、1
【解析】、我们首先可以用图象法来解:如图,在同一
坐标系中作出四个函数, 10xy , lgy x , 3y x ,
y x 的图象,设 3y x 与 lgy x 的图象交于点 A,其
横坐标为 1x ; 10xy 与 3y x 的图象交于点 C,其横坐标
为 2x ; 3y x 与 y x 的图象交于点 B,其横坐标为 3
2
。因为 10xy 与 lgy x 为
反函数,点 A 与点 B 关于直线 y x 对称,所以 1 2x x 2× 3
2
=3,选 B。
此属于数形结合法,也算不错,但非最好。现在用估计法来解它:因为 1x 是
方程 lg 3x x 的根,所以 12 3,x 2x 是方程 10 3xx 的根,所以 20 1,x 所以
1 22 4,x x 选 B。
30
【练习 1】、用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,
其中偶数共有( )
A、24 个 B、30 个 C、40 个 D、60 个
( 提示:如果用直接法可以分两步:先排个位,在两个偶数中任取一个有
1
2C 种方法;第二步在剩下的 4 个数字中任取两个排在十位与百位有 2
4A 种,由
乘法原理,共有 1 2
2 4C A =24 个,选 B。用估计法:五个数字可以组成 3
5 60A 个三
位数,其中偶数不到一半,选 B。)
【练习 2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成,2003 年某地农
民人均收入为 3150 元,其中工资性收入为 1800 元,其它收入 1350 元。预计
该地区农民自 2004 年起工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每
年增加 160 元,根据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( )元
A、(4200,4400) B、(4400,4600)C、(4600,4800)D、(4800,5000)
( 提 示 : 由 条 件 知 该 地 区 农 民 工 资 性 收 入 自 2004 年 起 构 成 以
1 1800, 1 6%a q 的 等 比 数 列 , 所 以 2008 年 工 资 性 收 入 为
5
6 1800(1 0.06) 1800 (1 5 0.06) 2340a 元;其它收入构成以 1350 为首项,公
差为 160 的等差数列,所以所以 2008 年其它收入为 1350+160×5=2150 元,所
以 2008 年该地区农民人均收入约为 2340+2150=4490 元,选 B。)
【练习 3】、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的
一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
A、16
9
B、 8
3
C、 4 D、 64
9
(提示:用估计法,设球半径 R,△ABC 外接圆半径为 2 3
3r ,
31
则 S 球= 2 2 164 4 53R r ,选 D)
【练习 4】、如图,在多面体 ABCDEF 中,
四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,
3
2EF ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则
该多面体的体积为( )
A、 9
2
B、5 C、6 D、15
2
(提示:该多面体的体积比较难求,可连接 BE、CF,问题转化为四棱锥
E-ABCD 与三棱锥 E-BCF 的体积之和,而 E ABCDV =6,所以只能选 D)
【练习 5】、在直角坐标平面上,已知 A(-1,0)、B(3,0),点 C 在直线 2 2y x
上,若∠ACB >90 ,则点 C 的纵坐标的取值范围是( )
A、 4 5 4 5( , ) ( , )5 5
B、 2 5 2 5(1 ,1 )5 5
C、 4 5 4 5( ,0) (0, )5 5
D、 4 5 4 5( , )5 5
(提示:如图,M、N 在直线 2 2y x 上,且∠AMB=∠ANB=90 ,要使∠ACB >
90 ,点 C 应该在 M、N 之间,故点 C 的纵坐标应该属于某一开区间,而点 C 的
纵坐标是可以为负值的,选 D)
【练习 6】、已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是 60 ,底面三
角形三边长分别是 7、8、9,则此三棱锥的侧面面积为( )
A、12 5 B、 24 5 C、6 5 D、18 5
(提示:你可以先求出 ABC 的面积为12 5 ,再利用射影面积公式求出侧面
面积为 24 5 ;你也可以先求出 ABC 的面积为12 5 ,之后求出 P 在底面的射影
32
到个侧面的距离,都是三棱锥 P-ABC 的高的一半,再利用等体积法求得结果,
但 好 象 都 不 如 用 估 值 法 : 假 设 底 面 三 角 形 三 边 长 都 是 8 , 则 面 积 为
23 8 16 34
,这个面积当然比原来大了一点点,再利用射影面积公式求出侧
面面积为32 3 ,四个选项中只有 24 5 与之最接近,选 B)
【练习 7】、(07 海南、宁夏理 11 文 12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某
次测试中个射箭 20 次,三人测试成绩如下表
1 2 3, ,S S S 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( )
A、 3 1 2S S S B、 2 1 3S S S C、 1 2 3S S S D、 2 3 1S S S
(提示:固然可以用直接法算出答案来,标准答案正是这样做的,但是显然时
间会花得多。你可以用估计法:他们的期望值相同,离开期望值比较近的数据
越多,则方差——等价于标准差会越小!所以选 B。这当然也可以看作是直觉
法)
【练习 8】、(07 全国Ⅱ理 12)设 F 为抛物线 2 4y x 的焦点,A、B、C 为该抛物
线上的三点,若 0FA FB FC ,则 FA FB FC 等于( )
A、9 B、6 C、4 D、3
(提示:很明显(直觉)三点 A、B、C 在该抛物线上的图
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
33
形完全可能如右边所示(数形结合),可以估计(估值法)
到, FB FC 稍大于 MN (通径,长为 4),
∴ 6FA FB FC ,选 B。
当然也可以用定义法:由 0FA FB FC 可知 3A B Cx x x ,由抛物线定义
有 1, 1, 1A B CFA x FB x FC x ,所以 FA FB FC =6)
【练习 9】、(07 福建理 12)如图,三行三列的方 阵中有 9
个数 ( 1,2,3, 1,2,3)ija i j ,从中任取三个数,则至 少有两个
数位于同行或同列的概率是( )
A、 3
7
B、 4
7
C、 1
14
D、13
14
(提示:用估值法,至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也
不同列,这种情况仅有 6 种,在总共 3
9C 种取法数中所占比例很小,∴选 D)
【练习 10】(07 湖北理 9)连续投掷两次骰子的点数为 ,m n ,记向量 b=(m,n)
与向量 a=(1,-1)的夹角为 ,则 0, 2
的概率是( )
A、 5
12
B、 1
2
C、 7
12
D、 5
6
(提示:用估值法,画个草图,立刻发现在
AOB 范围内(含在 OB 上)的向量 b 的个数
超过一半些许,选 C,完全没有必要计算)
【练习 11】(05 年四川)若 ln 2 ln3 ln5, ,2 3 5a b c ,则( )
A、a b c B、c b a C、c a b D、b a c
(提示:注意到 ln 2 ln 4
2 4
,可知不能够用单调性法去判断。问题等价于
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
34
lg 2 lg3 lg5, ,2 3 5a b c 的时候比较 a、b、c 的大小,∵lg2=0.3010,lg3=0.4771,
lg5=0.6990,∴ a=0.1505,b=0.1590, c=0.1398,选 B。
当然,直接用作差比较法也是可以的。)
九、直接解答
并不是所有的选择题都要用间接法求解,一般来讲,高考卷的前 5、6 道选
择题本身就属于容易题,用直接法求解往往更容易;另外,有些选择题也许没
有间接解答的方法,你别无选择;或者虽然存在间接解法,但你一下子找不到,
那么就必须果断地用直接解答的方法,以免欲速不达。当然要记得一个原则,
用直接法也要尽可能的优化你的思路,力争小题不大作。
【例题】、(07 重庆文 12)已知以 1 1( 2,0), (2,0)F F 为焦点的椭圆与直线
3 4 0x y 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )
A、3 2 B、2 6 C、 2 7 D、 4 2
【解析】、设长轴长为 2a ,则椭圆方程为
2 2
2 2 14
x y
a a
,与直线方程联立消
去 x 得 2 2 2 2 2(4 12) 8 3( 4) (16 )( 4) 0a y a y a a ,由条件知 0 ,即
2 2 2 2 2192( 4) 16( 3)(16 )( 4) 0a a a a ,得 0a (舍), 2a (舍), 7a
∴2 2 7a ,选 C 。
【练习 1】、函数 )0,0)(sin()( AxAxf
的部分图象如右,则 )2009()2()1( fff =( )
A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2
(提示:直接法。由图知,A=2, 4262
T ,
4
2
T
,∴
4sin2)( xxf ,
由图象关于点(4,0)以及直线 4,2 xx 对称知: 0)8()2()1( fff ,由
35
2009=251×8+1 知, )2009()2()1( fff =0+
4sin2)1( f = 2 ,选 B)
【练习 3】、正方体 1AC 中,E 为棱 AB 的中点,则二面角 C- 1A E -B 的正切值为
( )
A、 5
2
B、 5 C、 3 D、2
(提示:用直接法。取 1 1C D 的中点 F,连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延
长线的垂线于 M,连接 CM,由 CB 面 ABB1A1,得 CM AE,所以 CMB 就是二面
角 C-A1E-B 的平面角,现在设 CB=2,则 2sin 1
5
BM EB BEM ,在 Rt△CMB
中, tan 5CBCMB BM
,选 B)
【练习 4】、设 1 2,F F 是椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点,以 1F 为圆心,且过椭圆中心的圆与
椭圆的一个交点为 M,若直线 2F M 与圆 1F 相切,
则该椭圆的离心率是( )
A、2 3 B、 3 1 C、 3
2
D、 2
2
(提示:用直接法。由已知可得 1MF c ,又 1 2 2MF MF a ,∴ 2 2MF a c ,
36
又 直 线 2F M 与 圆 1F 相 切 , ∴ 1 2MF MF , ∴ 2 2 2
1 2 1 2MF MF F F , 即
2 2 2(2 ) (2 )c a c c ,解得 1 3ce a
,∵0 1e ,∴ 3 1e ,选 B)
【练习 5】、函数 3 2( ) ( 1) 48( 2)f x ax a x a x b 的图象关于原点成中心对
称,则 ( )f x 在[-4,4]上的单调性是( )
A、增函数 B、 在[-4,0]上是增函数, [0,4]上是减函数
C、减函数 D、 在[-4,0]上是减函数, [0,4]上是增函数
(提示: ( )f x 的图象关于原点成中心对称, ( )f x 为奇函数,∴ 1, 0a b ,
∴ 3( ) 48f x x x ,易知 4,4x 上 ' ( ) 0f x ,∴ ( )f x 递减,选 B)
【 练 习 6 】、 2 8 2 10
0 1 2 10( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x x a a x a x a x , 则
1 2 10a a a =( )
A、-3 B、3 C、2 D、-2
(提示:令 1x 得 0 3a ,令 2x 可得 1 2 10 0 3a a a a ,选 A)
【练习 7】、(06 重庆文 10)若 , (0, )2
, 3cos( )2 2
, 1sin( )2 2
,
则cos( ) ( )
A、 3
2
B、 1
2
C、 1
2
D、 3
2
(提示:∵ , (0, )2
,∴
4 2 4
,∴
2 6
;同理
2 6
,
∴ 0 (舍)或 2
3
,所以选 B)
【练习 8】、(06 全国Ⅰ理 8)抛物线 2y x 上的点到直线 4 3 8 0x y 的距
离的最小值是( )
A、 4
3
B、 7
5
C、 8
5
D、3
(提示:设直线 4 3 0x y m 与 2y x 相切,则联立方程知 23 4 0x x m ,
37
令 0 ,有 4
3m ,∴两平行线之间的距离
2 2
48 ( ) 43
33 4
d
,选 A)
【练习 9】、(06 山东理 8)设 2: 20 0,p x x
21: 0,2
xq x
则 p 是 q 的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
(提示:分别解出 p: 5x 或 4x ;q: 1 1x 或 2x 或 2x ,则显然
p 是 q 的充分不必要条件,选 A。另外,建议解出 p 以后不要再解 q,以 p 中
的特殊值代入即可作出判断)
【练习 10】、(广东 05 理 10)已知数列 nx 满足 1
2 2
xx , 1 2
1 ( )2n n nx x x ,
3,4,n ,若 lim 2nn
x
,则 1x =( )
A、 3
2
B、3 C、4 D、5
(提示:由条件 1 2
1 ( )2n n nx x x 有 1 2 1 22 n n n n n n nx x x x x x x ,∴
3 2 1 3 ,x x x x 4 3 2 4 ,x x x x 1 2 3 1 ,n n n nx x x x 1 2n n n nx x x x , 累 加 得
2 1 2 1n n nx x x x x x ,代入 1
2 2
xx 得 1 12 2n nx x x ,两边同取极限得,
1 1lim 2 lim lim 2n nn n n
x x x
,即 1 12 2 2 2 3x x ,选 B)
十、现场操作
又叫做原始操作法,有别于直接法,一 是指通过现场可以利用的实物如三
角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案
的方法;二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤,从而发现规律,归
纳出答案的方法。
38
【例题】、(据 93 年全国高考题改编)如图 ABCD
是正方形,E 是 AB 的中点,将△DAE 和△CBE 分别
沿虚线 DE 和 CE 折起,使 AE 和 BE 重合于 P,则面
PCD 和面 ECD 所成的二面角为( )度。
A、 15 B、30
C、 45 D、60
【解析】、你当然可以用三垂线定理来解,但不如现场操作更快:用正方形
纸片折叠出三棱锥 E-PCD,不难看出 PE⊥面 PCD,设二面角大小为 ,则由射
影面积公式有
2
2
3
34cos 1 2
2
PCD
ECD
DCS
S DC
, 30 ,选 B。
【练习 1】已知( 2 1) 2 ( )n
n na b n N ,则 nb 的值( )
A、必为奇数 B、必为偶数 C、与 n 的奇偶性相反 D、与n 的奇偶性相同
(提示:原始操作:令 n=1、2,再结合逻辑排除法,知选 A;也可以展开
看)
【练习 2】如果 ( )f x 的定义域为 R, ( 2) ( 1) ( )f x f x f x ,且 (1) lg3 lg 2f ,
(2) lg3 lg5f ,则 (2008)f =( )
A、1 B、-1 C、 g 2 g3l l D、-lg3-lg5
(提示:2008 是个很大的数,所以立即意识到这应该是一个周期函数的问
题!关键是求出周期值。现在进行现场操作:f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,
f(3)=f(2)-f(1)=…=1,f(4)= f(3)-f(2)=…lg2-lg3,f(5)= f
(4)- f(3)=…-lg5-lg3,f(6)=f(5)- f(4)=…-1,f(7)=f(6)-
39
f(5)=…lg3-lg2= f(1),所以周期是 6。 (2008)f =f(334×6+4)= f(4)=
lg2-lg3,选 C。当然你如果演算能力好,可以这样做:
( 2) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )f x f x f x f x f x f x = ( 1) ( 2) ( 3)f x f x f x =
( 3) ( 4) ( 3) ( 4)f x f x f x f x ,所以周期是 6。其实凡属于抽象函数、抽
象数列、抽象不等式问题,解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已)
【练习 3】、如图所示是某城市的网格状道路,中
间是公园,公园四周有路,园内无公路。某人驾车从
城市的西南角的 A 处要到达东北角的 A 处,最短的
路径有多少条?(据加拿大数学竞赛题改编)
A、210 B、110 C、24 D、206
(提示:原始操作:先假设已经到达了与 B 共线的各交叉点,标注上此时
的走法数(都是 1);再退回至离 B 最近的对角顶点处,标注上此时的走法数
是 2;……,这样步步回退,直到 A 处,就知道答案了!这有点类似于杨晖三
角的规律。当然也可以用公式法:先求出没有公园时的走法数 6
10C ,再求出经
过公园中心的走法数 3 3
5 5C C ,所以答案是 6
10C - 3 3
5 5C C =110,选 B)
【练习 4】、如上图所示是一个长方体
骨架,一只蚂蚁在点 M 处得到信息:N 处
有糖!为了尽快沿着骨架爬行到 N 处,该
蚂蚁可走的最短路径有( )
A、10 条 B、20 C、30 D、40
(提示:原始操作:假设从点 N 处逆着
往点 M 方向退回来,则在所经过的交点处的
走法数都容易写出,如图。所以从点 M 处出
40
发时一共有 4+4+12=20 种走法。选 B)
【练习 5】、有编号为 1、2、3、4 的四个小球放入有同样编号的四个盒子
中,每盒一球,则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有( )
A、9 B、16 C、25 D、36
(提示:这道高考题是典型错位排列问题,思维清晰的时候,你可能这样
考虑:完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球,应该用乘法原理,1 号盒
可以选 2、3、4 号球,有 3 种选择;2 号盒可以选 1、3、4 号球,也有 3 种选
择;此时 3、4 号盒都只有唯一选择,3×3×1×1=9,因此答案是 9。也可用
现场操作之法破解,如图,每一列对应一种放法,一共有 9 种,选 A)
球的编号
1 号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4
2 号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1
3 号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2
4 号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3
【练习 6】、如图 A、B、C 是固定在桌面上的三根立柱,其中 A 柱上有三个
大小不同的圆片,下面的直径总比上面的大,现将三个圆片移动到 B 柱上,要
求每次只移动一片(叫移动一次),被移动的圆片只能放入 A、B、C 三个柱子
之一,且大圆片不能叠在小圆片的上面,那么完成这件事情至少要移动的次数
是( )
A、3 B、5 C、7 D、9
41
(提示:现场操作,选 C)
【练习 7】、如左图,正方体容器 'AC 中,棱长为 1,E,F 分别是所在棱的
中点,G 是面 ' 'ABB A 的中心,在 E、F、G 三处各开有一小孔,则最大盛水量是
( )
A、 5
6
B、 6
7
C、 7
8
D、 11
12
(提示:你可以看着图现场想象一下,怎样才能使盛水量最大呢?你首先
难免考虑由 E、F、G 确定一个水平面,如中图,经计算发现盛水量是 7
8
,此时
DD/着地;难道不考虑只有点 D 着地的情形吗?…使水平面如右图那样呢?计
算得盛水量是 11
12
,原来点 F 并不在水平面内!选 D)
【练习 8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是 a,现用一张正方形的包装
纸将其完成包住(不能裁剪但可以折叠),那么包装纸的边长最小应该是
( )
42
A、( 2 6)a B、 2 6
2 a
C、(1 3)a D、1 3
2 a
(提示:现场用纸做一个正四棱锥,
先如图放样,其实不待你做成就知
道思路了——这已经相当于把正四
棱锥展开了,那么包装纸的边长就是正方形 1 2 3 4PP P P 的边长,选 B)
【练习 9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是 和 ,则 的范
围是( )
A、(0, ]2
B、( , )2
C、 0, 2
D、 0, 2
(提示:你可以拿一本书竖立在桌面上,拿一支笔代表直线去比划,会发现当
, 中有一个角等于
2
的时候,另一个角等于 0, 可以取到
2
;当直线与
二面角的棱重合时, 可以取到 0,所以选 C)
【练习 10】、(05 全国)不共面的四个定点到平面 的距离都相等,这样的
平面共有( )个。
A、3 B、4 C、6 D、7
(提示:先画一个三棱锥,然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间,
发现四个顶点有被平面分成 2+2 或者 1+3 两类情形,分别有 3,4 种可能,如
图。选 D)
P1
P4
P3
P2
43
【练习 11】、(07 高考模拟)若一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且
a3 <a2,则称这样的三位数为凸数(如 343、275、120 等),那么所有凸数个
数为( )
A.240 B.204 C.729 D.920
( 提示:进行原始操作以发现规律:第二位数字不可能为 1,若为 2,则
左边有 1,右边有 0、1 可选,此时有 1×2 个凸数;若为 3,则左边有 1、2,
右边有 0、1、2 可选,此时有 2×3 个凸数;若为 4,则左边有 1、2、3,右边
有 0、1、2、3 可选,此时有 3×4 个凸数;……若为 9,则……此时有 8×9
个凸数,所以一共有 1×2+2×3+3×4+……+8×9=240 个凸数,选 A)
结 语
以上就 10 类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述,凡所选用之
115 道例题和习题,基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大
者,意在解放思想,开阔视野,提高能力,服务读者。需要说明的是,以上各
种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的,因此分类方面也只能是相对
合理,不能穷究。事实上,在分别熟悉以上方法以后,学生要学会联合采用多
种方法协同作战,以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文——
人生选择,选择人生,用兵之道,奇正相生,数学解题,其理相同。迂回
曲径,直捣黄龙,审时度势,天佑功成。