高考数学试题分类汇编——三角函数 37页

‎2009年高考数学试题分类汇编——三角函数 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则 ‎ A.2 B．4＋ C．4— D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可知,,所以,‎ 由正弦定理得,故选A ‎2.(2009年广东卷文)函数是 ‎ A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 ‎ C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为为奇函数,,所以选A.‎ ‎3.（2009全国卷Ⅰ理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（C）（A） （B） （C） (D) 解: 函数的图像关于点中心对称 ‎ 由此易得.故选C ‎4.（2009全国卷Ⅰ理）若，则函数的最大值为 。‎ 解:令, ‎ ‎ ‎ ‎5.（2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )‎ 答案：D ‎ ‎【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．‎ ‎6.（2009浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．‎ ‎【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．‎ ‎7.（2009北京文）“”是“”的 A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎.w【解析】本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时，，‎ 反之，当时，有，‎ ‎ 或，故应选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8.（2009北京理）“”是“”的 （ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 反之，当时，有，‎ ‎ 或，故应选A.‎ ‎9.(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.‎ 答案:B ‎【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. ‎ ‎10.(2009山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.‎ ‎11.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 答案：D 解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D ‎12.（2009全国卷Ⅱ文）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：D 解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出ωmin=‎ ‎13.（2009安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是 ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎[解析]：，由题设的周期为，∴，‎ 由得，，故选C ‎14.（2009安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】‎ ‎，选D。‎ ‎【答案】D ‎15.（2009江西卷文）函数的最小正周期为 A． B． C． D． ‎ 答案：A ‎【解析】由可得最小正周期为,故选A.‎ ‎16.（2009江西卷理）若函数，，则的最大值为 A．1 B． C． D．‎ 答案：B ‎【解析】因为==‎ 当是，函数取得最大值为2. 故选B ‎17.（2009天津卷文）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ）‎ A B C D ‎【答案】D ‎【解析】由已知，周期为 ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D ‎【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。‎ ‎18.(2009湖北卷理)函数的图象按向量平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量可以等于 ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，。‎ ‎19.（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是 ‎ A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数 ‎ C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴A、B、C均正确，故错误的是D ‎【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。‎ ‎20.（2009全国卷Ⅱ理）已知中，， 则 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：已知中，，.‎ ‎ 故选D.‎ ‎21. （2009全国卷Ⅱ理）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 ‎ A． B. C. D. ‎ 解：‎ ‎，‎ 又.故选D ‎22.（2009福建卷理）函数最小值是 A．-1 B. C. D.1‎ ‎【答案】：B ‎[解析]∵∴.故选B ‎23.（2009辽宁卷文）已知，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】‎ ‎ ＝＝‎ ‎【答案】D ‎24.（2009辽宁卷理）已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=‎ ‎（A） (B) (C)－ (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】由图象可得最小正周期为 ‎ 于是f(0)＝f(),注意到与关于对称 ‎ 所以f()＝－f()＝‎ ‎【答案】B ‎25.（2009辽宁卷理）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ‎（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） ‎ ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎【答案】A ‎26.（2009宁夏海南卷理）有四个关于三角函数的命题：‎ ‎：xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny ‎: x,=sinx : sinx=cosyx+y=‎ 其中假命题的是 ‎（A）， （B）， （3）， （4），‎ 解析：：xR, +=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x,=sinx；是假命题，。选A.‎ ‎27.（2009全国卷Ⅰ文）的值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。‎ 解：，故选择A。‎ ‎28.（2009全国卷Ⅰ文）已知tan=4,cot=,则tan(a+)=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。‎ 解：由题，，故选择B。‎ ‎29.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 ‎ 由此易得.故选A ‎29.（2009陕西卷文）若,则的值为 ‎ ‎（A）0 (B) (C)1 (D) ‎ 答案：B.‎ 解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得, ‎ 故选B.‎ ‎30.（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是 ‎ A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间［0，］上是增函数 ‎ C.函数的图象关于直线＝0对称 D. 函数是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴A、B、C均正确，故错误的是D ‎【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。‎ ‎31.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.‎ ‎32.（2009湖北卷文）函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平面向量平行规律可知，仅当时，‎ ‎：=为奇函数，故选D.‎ ‎33.（2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题： ‎ ‎：xR, += : , ‎ ‎: x, : ‎ 其中假命题的是 ‎（A）， （B）， （3）， （4），‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为+＝1，故是假命题；当x＝y时，成立，故是真命题；＝｜sinx｜，因为x，所以，｜sinx｜＝sinx，正确；当x＝，y＝时，有，但，故假命题，选.A。‎ ‎34.(2009湖南卷理)将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于 （D）‎ A． B． C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】：D ‎【解析】解析由函数向左平移的单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选D项。‎ ‎35.（2009四川卷理）已知函数，下面结论错误的是 ‎ A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）‎ 解析：由函数的可以得到函数是偶函数，所以选择D．‎ ‎36.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 解析因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即。‎ ‎37.（2009天津卷理）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 ‎ 的图象，只要将的图象 ‎ ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。‎ 解析：由题知，所以 ‎，故选择A。‎ 二、填空题 ‎1.（2009北京文）若，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由已知，在第三象限，∴，∴应填.‎ ‎2.（2009江苏卷）函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则= . ‎ ‎【解析】 考查三角函数的周期知识。‎ ‎ ，，所以， ‎ ‎3.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 2 ，‎ 的取值范围为 . ‎ 解: 设由正弦定理得 由锐角得，‎ 又，故，‎ ‎4.（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图像如图所示，则 =________________ ‎ 解析：由图可知，‎ 答案：‎ ‎5.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则 。‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由图象知最小正周期T＝（）＝＝，故＝3，又x＝时，f（x）＝0，即2）＝0，可得，所以，2＝0。‎ ‎6.(2009湖南卷理)若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2. ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】由，知所以当且仅当时取等号，即最小值是。‎ ‎7.（2009年上海卷理）函数的最小值是_____________________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以最小值为：‎ ‎8.（2009年上海卷理）在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面积为：＝‎ ‎9..（2009年上海卷理）当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】k≤1 ‎ ‎ 【解析】作出与的图象，要使不等式成立，由图可知须k≤1。‎ ‎10．（2009年上海卷理）已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=____________是，.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为，‎ 所以，所以当时，.　‎ ‎11.（2009上海卷文）函数的最小值是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以最小值为：‎ ‎12.（2009上海卷文）已知函数。项数为27的等差数列满足且公差,若，则当k= 时， 。‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为， ‎ 所以，所以当时，.　‎ ‎13.(2009湖北卷理)已知函数则的值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为所以 故 ‎14.（2009辽宁卷文）已知函数的图象如图所示， ‎ 则 ＝ ‎ ‎【解析】由图象可得最小正周期为 ‎ ∴T＝ Þ ω＝‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值 ‎（2）若，,求的值 ‎【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故………………………②‎ 由①，②解得。‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。www.ks5u.com ‎3.（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，‎ ‎ ． （I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解析：（I）因为，，又由，得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）对于，又，或，由余弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4.（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足 ‎，‎ ‎ ． （I）求的面积； （II）若，求的值．‎ 解析：（Ⅰ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又，，而，所以，所以的面积为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 ‎5.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴函数的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由，∴，‎ ‎∴在区间上的最大值为1，最小值为.‎ ‎6.（2009北京理）（本小题共13分）‎ ‎ 在中，角的对边分别为，。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．‎ ‎（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ ‎7.（2009江苏卷）（本小题满分14分） ‎ 设向量 ‎ ‎（1）若与垂直，求的值； ‎ ‎（2）求的最大值; ‎ ‎（3）若，求证：∥. ‎ ‎【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。‎ ‎8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，求sinA.‎ 解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. ‎ ‎（2）==－, 所以, 因为C为锐角, 所以,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.‎ ‎9.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.‎ (1) 求.的值;‎ (2) 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C..‎ 解: （1）‎ ‎ ‎ 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 ‎ ‎（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,‎ 因为,所以或.‎ 当时,;当时,.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.‎ ‎10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.‎ 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉)，从而求出B=。‎ 解：由 cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得 ‎ cos（AC）cos（A+C）=，‎ ‎ cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,‎ ‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ 故 ，‎ ‎ 或 （舍去），‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。‎ ‎11.（2009广东卷理）(本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值． ‎ 解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.‎ ‎（2）∵，，∴，则，∴.‎ ‎12.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）‎ 在ABC中，, sinB=.‎ ‎（I）求sinA的值；‎ ‎ (II)设AC=，求ABC的面积.‎ 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（Ⅰ）由，且，∴，∴，‎ A B C ‎∴，又，∴‎ ‎（Ⅱ）如图，由正弦定理得 ‎∴，又 ‎∴ ‎ ‎13.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） ‎ 在ABC中，C-A=， sinB=。‎ ‎（I）求sinA的值；‎ ‎ (II)设AC=，求ABC的面积。‎ ‎【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于的式子，这之中要运用到倍角公式；‎ ‎（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出.‎ ‎【解析】（1）∵∴‎ ‎∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴‎ 又 ∴‎ ‎（2）如图，由正弦定理得∴‎ ‎∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）‎ 在△中，所对的边分别为，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求,，．‎ 解：（1）由 得 ‎ ‎ 则有 =‎ ‎ 得 即.‎ ‎（2） 由 推出 ；而,‎ 即得,‎ ‎ 则有 解得 ‎ ‎15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）‎ ‎△中，所对的边分别为，,.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若,求. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：(1) 因为，即，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 得 . 所以,或(不成立).‎ 即 , 得，所以.‎ 又因为，则，或（舍去） ‎ 得 ‎(2)， ‎ ‎ 又, 即 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 得 ‎16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）‎ 在中，‎ ‎（Ⅰ）求AB的值。‎ ‎（Ⅱ）求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎ 【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理，，于是 ‎（2）解：在 中，根据余弦定理，得 于是=，‎ 从而 ‎【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。‎ ‎17.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。‎ ‎【解析】（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ …………………………………………6分 ‎（II）由（I）知，∴ ‎ ‎ 由得 ‎，即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ …………………………………………12分 ‎18.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分10分）‎ 设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。‎ 分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。‎ 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。‎ 评析：本小题考生得分易，但得满分难。‎ ‎19.（2009湖南卷文）（每小题满分12分）‎ ‎ 已知向量 ‎（Ⅰ）若，求的值； ‎ ‎（Ⅱ）若求的值。 ‎ 解：（Ⅰ） 因为，所以 于是，故 ‎（Ⅱ）由知，‎ 所以 从而，即，‎ 于是.又由知，，‎ 所以，或.‎ 因此，或 ‎ ‎20.（2009福建卷理）（本小题满分13分）‎ 如图，某市拟在长为‎8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定MNP=120‎ ‎（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；‎ ‎（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ ‎ ‎18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，‎ 解法一 ‎（Ⅰ）依题意，有，，又，。‎ 当 是，‎ ‎ 又 ‎（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，‎ 设∠PMN=，则0°<<60°‎ 由正弦定理得 ‎,‎ 故 ‎0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长 亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，‎ 由余弦定理得∠MNP=‎ 即 故 从而，即 当且仅当时，折线段道MNP最长 注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等 ‎21.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ ‎（18）解：‎ ‎ 在中，＝30°，＝60°－＝30°，‎ ‎ 所以CD＝AC＝0.1‎ ‎ 又＝180°－60°－60°＝60°，‎ ‎ 故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 ‎ 在中，， ‎ ‎ 即AB＝‎ ‎ 因此，‎ ‎ 故B、D的距离约为‎0.33km。 12分 ‎22.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449） ‎ ‎(17)解:‎ 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        ……5分 在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为‎0.33km。  ……12分 ‎23.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）‎ 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。‎ ‎(17) 解：‎ 方案一：①需要测量的数据有：A ‎ 点到M，N点的俯角；B点到M，‎ N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ……….3分 ‎ ②第一步：计算AM . 由正弦定理　；‎ ‎ 第二步：计算AN . 由正弦定理　；‎ ‎ 第三步：计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二：①需要测量的数据有：‎ ‎ A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.‎ ‎ ②第一步：计算BM . 由正弦定理　；‎ ‎　　　第二步：计算BN . 由正弦定理　； ‎ ‎ 第三步：计算MN . 由余弦定理 ‎24.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.‎ ‎ (Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.‎ 解析:（1）由最低点为 由 由点在图像上得即 所以故 又，所以所以 ‎（Ⅱ）因为 ‎ 所以当时，即x=0时，f(x)取得最小值1；‎ ‎；‎ ‎25.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域. ‎ ‎17、解（1）由最低点为得A=2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，‎ 由点在图像上的 故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又 ‎（2）‎ 当=，即时，取得最大值2；当 即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2] w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎26.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对的边分别为，且 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】（I）∵为锐角， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ …………………………………………6分 ‎（II）由（I）知，∴ ‎ ‎ 由得 ‎，即 又∵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ …………………………………………12分 ‎27.（2009湖北卷文）（本小题满分12分） ‎ ‎ 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小： ‎ ‎（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。‎ 解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 是锐角三角形，‎ ‎（2）解法1：由面积公式得 由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由②变形得 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎28.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分） ‎ 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF 的余弦值。 ‎ ‎(17) 解：‎ 作交BE于N，交CF于M．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎．　．．．．．．6分 ‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎. ．．．．．．12分 ‎29.(2009湖南卷理)（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 在，已知，求角A，B，C的大小。‎ 解：设 由得，所以 又因此 ‎ 由得，于是 所以，，因此 ‎，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。‎ ‎30.（2009天津卷理）（本小题满分12分）‎ 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA ‎ ‎(I) 求AB的值： ‎ ‎(II) 求sin的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ ‎（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， ‎ 于是AB=‎ ‎（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎31.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若，求的值。‎ 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ 解：（Ⅰ）、为锐角，，‎ 又，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由正弦定理得 ‎，即， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ……………………………………12分 ‎32.（2009福建卷文）（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 已知函数其中，‎ ‎ （I）若求的值； ‎ ‎ （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ 解法一：‎ ‎（I）由得 ‎ 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）由（I）得，‎ ‎ 依题意，‎ ‎ 又故 ‎ 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 ‎ ‎ ‎ 是偶函数当且仅当 ‎ 即 ‎ 从而，最小正实数 解法二：‎ ‎（I）同解法一 ‎（Ⅱ）由（I）得， ‎ ‎ 依题意， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 又，故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当对恒成立 亦即对恒成立。‎ 即对恒成立。‎ 故 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而，最小正实数 ‎33.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期． ‎ ‎（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ 解：（Ⅰ）=‎ ‎ =‎ ‎ = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一：‎ ‎ 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 =‎ ‎ =‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎　　解法二：‎ ‎ 因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于 ‎　　x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值 ‎　　由（Ⅰ）知＝‎ ‎ 当时，‎ ‎　　　因此在上的最大值为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎　　　　　　　 .‎ ‎34.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．‎ 解：（Ⅰ）‎ 依题意得，故的最小正周期为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （Ⅱ）依题意得: ‎ 由 ‎ 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故的单调增区间为: ‎ ‎35.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .‎ ‎ 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，‎ ‎　　， .‎ （1） 若//，求证：ΔABC为等腰三角形； ‎ （2） 若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .‎ 证明：（1）‎ 即，其中R是三角形ABC外接圆半径， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 为等腰三角形 解（2）由题意可知 由余弦定理可知， ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎