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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷(理工农医类)
满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选其他答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数
A. B. C. D.
2.“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
3.已知,则
A. B. 2 C.3 D.6
4.的展开式中的系数相等,则n=
A.6 B.7 C.8 D.9
5.下列区间中,函数在其上为增函数的是
A.(- B. C. D.
6.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且C=60°,则ab的值为
A. B. C. 1 D.
7.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是
A. B.4 C. D.5
8.在圆
内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
9.高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
A. B. C.1 D.
10.设m,k为整数,方程在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为
A.-8 B.8 C.12 D.13
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案写在答题卡相应位置上
11.在等差数列中,,则__________
12.已知单位向量,的夹角为60°,则__________
13.将一枚均匀的硬币投掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________
14.已知,且,则的值为__________
15.设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为__________
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本小题满分13分)
设,满足,求函数在上的最大值和最小值.
17.(本小题满分13分)(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分)
某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中:
(Ⅰ)恰有2人申请A片区房源的概率;
(Ⅱ)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
18.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)
设的导数满足,其中常数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ) 设,求函数的极值.
19.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
如题(19)图,在四面体中,平面平面,,,.
(Ⅰ)若,,求四面体的体积;
(Ⅱ)若二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.
20.(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分.)
如题(20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)
设实数数列的前n项和,满足
(I)若成等比数列,求和;
(II)求证:对
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分50分.
1—5 CADBD 6—10 ACBCD
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分25分.
11.74 12. 13. 14. 15.
三、解答题:满分75分.
16.(本题13分)
解:
由
因此
当为增函数,
当为减函数,
所以
又因为
故上的最小值为
17.(本题13分)
解:这是等可能性事件的概率计算问题.
(I)解法一:所有可能的申请方式有34种,恰有2人申请A片区房源的申请方式种,从而恰有2人申请A片区房源的概率为
解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A,则
从而,由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知,恰有2人申请A片区房源的概率为
(II)ξ的所有可能值为1,2,3.又
综上知,ξ有分布列
ξ
1 2 3
P
从而有
18.(本题13分)
解:(I)因故
令
由已知
又令由已知
因此解得
因此
又因为故曲线处的切线方程为
(II)由(I)知,
从而有
令
当上为减函数;
当在(0,3)上为增函数;
当时,上为减函数;
从而函数处取得极小值处取得极大值
19.(本题12分)
(I)解:如答(19)图1,设F为AC的中点,由于AD=CD,所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,
且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=.
在Rt△ABC中,因AC=2AF=,AB=2BC,
由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
(II)解法一:如答(19)图1,设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG//AD,GH//BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点,则EF//BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB.又由(I)有DF⊥平面ABC,
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角,由题设知∠DEF=60°
设
在
从而
因Rt△ADE≌Rt△BDE,故BD=AD=a,从而,在Rt△BDF中,,
又从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得
因此,异面直线AD与BC所成角的余弦值为
解法二:如答(19)图2,过F作FM⊥AC,交AB于M,已知AD=CD,
平面ABC⊥平面ACD,易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM,FC,FD分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2,由CD=AD,∠CAD=30°,易知点A,C,D的坐标分别为
显然向量是平面ABC的法向量.
已知二面角C—AB—D为60°,
故可取平面ABD的单位法向量,
使得
设点B的坐标为,有
易知与坐标系的建立方式不合,舍去.
因此点B的坐标为所以
从而
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为
20.(本题12分)
解:(I)由
解得,故椭圆的标准方程为
(II)设,则由
得
因为点M,N在椭圆上,所以
,
故
设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值,又因,因此两焦点的坐标为
21.(本题12分)
(I)解:由题意,
由S2是等比中项知
由解得
(II)证法一:由题设条件有
故
从而对有
①
因,由①得
要证,由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二:由题设知,
故方程(可能相同).
因此判别式
又由
因此,
解得
因此
由,得
因此