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  • 2021-05-13 发布

新课标高考二轮备考抓分点透析文专题四三角函数

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专题四 三角函数 ‎【重点知识回顾】‎ 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧:‎ ‎1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 ‎2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是:在第一象限各三角函数值皆为正;在第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正 ‎3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“‎1”‎的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取 ‎4.求三角函数值域的常用方法:‎ 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法:‎ ‎(1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域;‎ ‎(2)利用的有界性求值域;‎ ‎(3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 ‎5. 三角函数的图象与性质 ‎(一)列表综合三个三角函数,,的图象与性质,并挖掘:‎ ‎⑴最值的情况;‎ ‎⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况;‎ ‎⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;‎ 的对称轴是,对称中心是;‎ 的对称轴是,对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化.‎ ‎⑷写单调区间注意.‎ ‎(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式.‎ ‎⑴“五点法”作图的列表方式;‎ ‎⑵求解析式时处相的确定方法:代(最高、低)点法、公式.‎ ‎(三)正弦型函数的图象变换方法如下:‎ 先平移后伸缩 ‎  的图象 得的图象 得的图象 得的图象 得的图象.‎ 先伸缩后平移 的图象 得的图象 得的图象 得的图象得的图象.‎ ‎【典型例题】‎ 例1.已知,求(1);(2)的值.‎ 解:(1);‎ ‎(2) ‎ ‎ .‎ 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化 例2.已知向量 ‎,且,‎ ‎(1)求函数的表达式;‎ ‎(2)若,求的最大值与最小值 解:(1),,,又,‎ 所以,‎ 所以,即;‎ ‎(2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下:‎ t ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,3)‎ 导数 ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 递减 极小值 递增 而所以 说明:本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察,体现了知识之间的融会贯通。‎ 例3. 平面直角坐标系有点 ‎(1)求向量和的夹角的余弦用表示的函数;‎ ‎(2)求的最值.‎ 解:(1),‎ ‎ 即 ‎ ‎(2) , 又 ,‎ ‎ , , .‎ 说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意 例4. 设 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq‎-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.‎ 解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq‎-2m-2<0 恒成立.‎ 令 t=sinq, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt‎-2m-2<0 恒成立.‎ 即 f(t)=t2-2mt+‎2m+1=(t-m)2-m2+‎2m+1>0 对 tÎ[0, 1] 恒成立.‎ 故可讨论如下: ‎ ‎(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 ‎2m+1>0. 解得 m>, ∴0. 即 -m2+‎2m+1>0. 亦即 m2‎-2m-1<0. 解得: 11, 则 f(1)>0. 即 ‎0×‎m+2>0. ∴mÎR, ∴m>1.‎ 综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).‎ 解法 2 题中不等式即为 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.‎ 当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mÎR; ‎ 当 0≤sinq<1 时,恒成立. ‎ 令 t=1-sinq, 则 tÎ(0, 1], 且 恒成立. ‎ 易证 g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - , ‎ ‎∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞). ‎ 说明:三角函数与不等式综合,注意“恒成立”问题的解决方式 ‎【模拟演练】‎ 一、选择 ‎1.点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.函数在区间(,)内的图象大致是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知∠A.∠B.∠C为三角形的三个内角,且,则△ABC是 (  )‎ A.等边三角形   B.等腰三角形  C.直角三角形  D.无法确定 ‎7.关于函数的图象,有以下四个说法:‎ ‎①关于点对称; ②关于点对称;‎ ‎③关于直线对称; ④关于直线对称 则正确的是 (  )‎ A.①③  B.②③  C.①④   D.②④‎ ‎9.如图,某走私船在航行中被我军发现,我海军舰艇在处获悉后,测出该走私船在方位角为,距离为的 处,并测得走私船正沿方位角为的方向,以的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 ( )‎ A.20 B. C.30 D.50‎ ‎11.在中,分别为三个内角的对边,设向量,若向量,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空 ‎13.已知向量且,则与方向相反的单位向量的坐标为_________。‎ 原专题三的平面向量与三角函数的第15题 ‎16.已知函数(, ,)的一段图象如图所示,则这个函数的单调递增区间为 。‎ ‎18.(12分)已知,‎ ‎(1)求的最大值和最小值;‎ ‎(2)若不等式在上恒成立,求m的取值范围。‎ ‎19.(12分)已知向量,且分别为的三边所对的角。‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若成等差数列,且,求c的边长。‎ ‎21.(12)已知:向量 ,,函数 ‎(1)若且,求的值;‎ ‎(2)求函数的单调增区间以及函数取得最大值时,向量与的夹角.‎ 专题训练答案 ‎1.D 解析: ,易知角终边在第三象限,从而有为正,为负,所以点位于第四象限。‎ ‎2.A.解:y=,所以,选A.。‎ ‎6.B.解:因为,所以 ‎ 即:,有 即=,即 则,又因为为三角形的内角,则,所以为等腰三角形。‎ ‎7.B.解:当时,=1,当x=时,=0,所以,②③正确。‎ ‎9.B 解:设舰艇收到信号后在处靠拢走私船,则,,又nmile,.‎ 由余弦定理,得 ‎,‎ 即 ‎.‎ 化简,得 ‎,‎ 解得(负值舍去).‎ 答案:B ‎11.B 解析:由,得,又,所以,所以。‎ ‎13. 解:因为,所以,解得:,所以,所以,所以与方向相反的单位向量的坐标为。‎ ‎16. 解:由图象可知: ;A==3。所以,y=3sin(2x+),‎ 将代入上式,得:=1,=2k+,即=2k+,‎ 由||<,可得:所以,所求函数解析式为:。‎ ‎∵当时,单调递增 ‎ ∴‎ ‎18.解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 。 4分 ‎ 所以当=1时。 ‎ ‎ 所以当=-1时。 6分 ‎(2)在上恒成立,‎ ‎ 即在上恒成立,‎ ‎ 只需, 。 8分 ‎ 令,, ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以当时,有最小值,, ‎ ‎ 故。 12分 ‎19.解:(1),‎ ‎ , ‎ ‎ 。 2分 ‎ 又,, ‎ ‎ 。 4分 ‎ ,。 6分 ‎(2)成等差数列, 。 ‎ ‎ 。 8分 ‎ 又,。 ‎ ‎ , 。 10分 ‎ ‎ ,, ‎ ‎ ,。 12分 ‎21.解:∵=。 2分 ‎(1)由得即,‎ ‎∵     ∴或 ‎∴或。 4分 ‎(2)∵‎ ‎=‎ ‎。 8分 由得,‎ ‎∴的单调增区间. 10分 由上可得,当时,由得 ‎,,   ∴。 12分