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- 2021-05-13 发布
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专题四 三角函数
【重点知识回顾】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力
方法技巧:
1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于对偶关系的函数而言的
2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是:在第一象限各三角函数值皆为正;在第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正
3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取
4.求三角函数值域的常用方法:
求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法:
(1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域;
(2)利用的有界性求值域;
(3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性
5. 三角函数的图象与性质
(一)列表综合三个三角函数,,的图象与性质,并挖掘:
⑴最值的情况;
⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况;
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;
的对称轴是,对称中心是;
的对称轴是,对称中心是
的对称中心是
注意加了绝对值后的情况变化.
⑷写单调区间注意.
(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式.
⑴“五点法”作图的列表方式;
⑵求解析式时处相的确定方法:代(最高、低)点法、公式.
(三)正弦型函数的图象变换方法如下:
先平移后伸缩
的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象.
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象.
【典型例题】
例1.已知,求(1);(2)的值.
解:(1);
(2)
.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化
例2.已知向量
,且,
(1)求函数的表达式;
(2)若,求的最大值与最小值
解:(1),,,又,
所以,
所以,即;
(2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下:
t
-1
(-1,1)
1
(1,3)
导数
0
-
0
+
极大值
递减
极小值
递增
而所以
说明:本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察,体现了知识之间的融会贯通。
例3. 平面直角坐标系有点
(1)求向量和的夹角的余弦用表示的函数;
(2)求的最值.
解:(1),
即
(2) , 又 ,
, , .
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意
例4. 设 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围.
解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq-2m-2<0 恒成立.
令 t=sinq, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 tÎ[0, 1] 恒成立.
故可讨论如下:
(1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>, ∴0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 11, 则 f(1)>0. 即 0×m+2>0. ∴mÎR, ∴m>1.
综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).
解法 2 题中不等式即为 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.
当 sinq=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 mÎR;
当 0≤sinq<1 时,恒成立.
令 t=1-sinq, 则 tÎ(0, 1], 且 恒成立.
易证 g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - ,
∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).
说明:三角函数与不等式综合,注意“恒成立”问题的解决方式
【模拟演练】
一、选择
1.点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.函数在区间(,)内的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
6.已知∠A.∠B.∠C为三角形的三个内角,且,则△ABC是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定
7.关于函数的图象,有以下四个说法:
①关于点对称; ②关于点对称;
③关于直线对称; ④关于直线对称
则正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
9.如图,某走私船在航行中被我军发现,我海军舰艇在处获悉后,测出该走私船在方位角为,距离为的
处,并测得走私船正沿方位角为的方向,以的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以的速度沿直线方向前去追击.舰艇并在B处靠近走私船所需的时间为 ( )
A.20 B. C.30 D.50
11.在中,分别为三个内角的对边,设向量,若向量,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空
13.已知向量且,则与方向相反的单位向量的坐标为_________。
原专题三的平面向量与三角函数的第15题
16.已知函数(, ,)的一段图象如图所示,则这个函数的单调递增区间为 。
18.(12分)已知,
(1)求的最大值和最小值;
(2)若不等式在上恒成立,求m的取值范围。
19.(12分)已知向量,且分别为的三边所对的角。
(1)求角C的大小;
(2)若成等差数列,且,求c的边长。
21.(12)已知:向量 ,,函数
(1)若且,求的值;
(2)求函数的单调增区间以及函数取得最大值时,向量与的夹角.
专题训练答案
1.D 解析: ,易知角终边在第三象限,从而有为正,为负,所以点位于第四象限。
2.A.解:y=,所以,选A.。
6.B.解:因为,所以
即:,有
即=,即
则,又因为为三角形的内角,则,所以为等腰三角形。
7.B.解:当时,=1,当x=时,=0,所以,②③正确。
9.B 解:设舰艇收到信号后在处靠拢走私船,则,,又nmile,.
由余弦定理,得
,
即
.
化简,得
,
解得(负值舍去).
答案:B
11.B 解析:由,得,又,所以,所以。
13. 解:因为,所以,解得:,所以,所以,所以与方向相反的单位向量的坐标为。
16. 解:由图象可知: ;A==3。所以,y=3sin(2x+),
将代入上式,得:=1,=2k+,即=2k+,
由||<,可得:所以,所求函数解析式为:。
∵当时,单调递增
∴
18.解:(1)
。 4分
所以当=1时。
所以当=-1时。 6分
(2)在上恒成立,
即在上恒成立,
只需, 。 8分
令,,
。
所以当时,有最小值,,
故。 12分
19.解:(1),
,
。 2分
又,,
。 4分
,。 6分
(2)成等差数列, 。
。 8分
又,。
, 。 10分
,,
,。 12分
21.解:∵=。 2分
(1)由得即,
∵ ∴或
∴或。 4分
(2)∵
=
。 8分
由得,
∴的单调增区间. 10分
由上可得,当时,由得
,, ∴。 12分