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- 2021-05-13 发布
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2012年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)
数学试卷(文史类)
一、填空题(56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 计算:_________________(为虚数单位).
2. 若集合,,则_________________.
3. 函数的最小正周期是_________________.
4. 若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为_________________(结果用反三角函数值表示).
5. 一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为_________________.
6. 方程的解是_________________.
7. 有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则_________________.
8. 在的二项展开式中,常数项等于_________________.
9. 已知是奇函数,若且,则_________________.
10. 满足约束条件的目标函数的最小值是_________________.
11. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人只选择一个项目,则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 _________________(结果用最简分数表示).
12. 在矩形中,边、的长分别为2、1,若分别是边上的点,且满足,则的取值范围是_________________.
13. 已知函数的图象是折线段,其中、、,函数()的图象与轴围成的图形的面积为_________________.
1. 已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是_________________.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
2. 若是关于的实系数方程的一个复数根,则
答:【 】
(A), (B),
(C), (D),
3. 对于常数,“”是“方程的曲线是椭圆”的
答:【 】
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
4. 在△中,若,则△的形状是( )
答:【 】
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
5. 若,在中,正数的个数是( )
答:【 】
(A)16 (B)72
(C)86 (D)100
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
6. (本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
如图,在三棱锥中,底面,是的中点,已知,,,,求:
(1)三棱锥的体积;
(2)异面直线与所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).
7. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数()的反函数.
1. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图.现假设:
① 失事船的移动路径可视为抛物线;
② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;
③ 救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
2. (本题满分16分,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分)
在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;
(2)过的左焦点作的两条渐进线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为的直线交于两点,若与圆相切,求证:.
3. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
对于项数为的有穷数列,记,即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的;
(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:();
(3)设,常数,若,是的控制数列,求
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