高考数学全国1卷第12题出处及变式 5页

‎1. 2018 全国 1 卷理科第 12 题 ‎——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算 ‎1.（2018 全国 1 卷理科第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面a所成的 角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ A． 3 3‎ ‎4‎ ‎B． 2 3‎ ‎3‎ ‎C． 3 2‎ ‎4‎ ‎D． 3‎ ‎2‎ ‎【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即 可，注意到正方体的结构，则平面应为图 1 中所示，所以只需由图中平面平移即可。 最大面积截面如图 2 所示，‎ ‎，故本题正确答案为 A。‎ 变式 1：（1994 全国联赛填空题第 5 题）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于a， 则 sina= ‎ ‎【解析】如上图 1，顶点到平面 ABC 的距离为体对角线的 1 ，则 sina = ‎3‎ ‎ 3 a ‎3 = 3 .‎ a 3‎ 变式 2：（2004 湖南数学竞赛第 8 题）过正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 的截面面 积为 S ，则 Smax 的值为（ ）‎ Smin ‎3 6 2 3 2 6‎ A. B. C. D.‎ ‎2 2 3 3‎ ‎【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面 BED1 F 为平行四边形，则 ‎1‎ ‎1‎ S = 2SDBED ‎= 2 ´ ‎2‎ ‎BD1 ´ h ，此时 E 到 BD1 的最小值为 CC1 与 BD1 的距离，即当 E 为中点 时，h ‎= 2 a （ a 为正方体棱长），S ‎= 2 ´ 1 ´ ‎‎ ‎3a ´ ‎2 a = ‎6 a 2 ，又因为 S 为 min 2‎ ‎min 2 2 2‎ ‎max 四边形 BC1 D1 F 的面积，选 C.‎ 变式 3：（2005 全国高中数学联赛第 4 题）在正方体 ABCD - A' B' C ' D' 中，任作平面a与 对角线 AC ' 垂直，使得a与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S ，周 长为 l ，则（ ）‎ A. S 为定值， l 不为定值 B. S 不为定值， l 为定值 C. S 与 l 均为定值 D. S 与 l 均不为定值 ‎【解析】选 B，将正方体切去两个正三棱锥 A - A' BD 与 C '- D' B' C 后,得到一个以平行平 面 A' BD 与 D' B' C 为上、下底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱 A' B' 剪开,展平在一张平面 上,得到一个平行四边形 A' B' B1 A1 ,如图 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A' A1 平行的线段(如图中 E ' E1 ),显然 E ' E1 = A' A ,‎ 故 l 为定值.‎ 当 E'位于 A' B' 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E'移至 A'处时,W 为正三角形,易知周长为 定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 ‎3 l 2 与 ‎24‎ ‎3 l 2 ,故 S 不为定值.‎ ‎36‎ 变式 4：在长方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中， AB = AD = 4, AA1 = 2 ，过点 A1 作平面a 与 ‎1‎ AB, AD 分别交于 M , N 两点，若 AA 与平面a 所成角为 450 ，则截面面积的最小值 为 ．‎ 解析：过 A 作 MN 的垂线，垂足为T ，‎ 第一步：寻找T 的轨迹：T 的轨迹是平面 ABCD 内，以 A 为圆心， 2 为半径的圆 法一：（直观感知，作出线面角并证明）连接 A1T ，因为 AA1 ^ MN ，所以 MN ^ 平面 AA1T ，‎ ‎0‎ 过 A 作 A1T 的垂线，垂足为 Q ，易证 AQ ^ 平面 A1 MN ，所以 ÐAA1T = 45‎ ‎，则 AT = 2 。‎ ‎1‎ 法二：（运动变化的观点探求轨迹问题）作一个以 AA 为轴，母线与对称轴所成角为 450 的 圆锥，过任意一条母线作圆锥的切面 A1 MN ，与平面 ABCD 的交线为 MN ，则 AT = 2 。 第二步：求最值 法一：（注意运动中的不变性）因为 A1T = 2‎ ‎2 为定值，且 A1T ^ MN ，则要求截面面积 的 最 小 值 ， 只 需 求 MN 的 最 小 值 ，‎ ‎AT 2 = MT × NT = 4‎ ‎， 所 以 MN = MT + TN ³ 2‎ MT = NT 。‎ ‎‎ MT × TN ‎‎ = 4 ，则 S ‎‎ DA1MN ‎³ 1 ´ 4 ´ 2‎ ‎2‎ ‎‎ ‎2 = 4‎ ‎‎ ‎2 ，等号成立当且仅当 ‎1‎ 法二：（利用二面角实现面积的转化）切面 A MN 与平面 ABCD 所成角为 450 ，由射影面 积法知 cos 450 = ‎S DAMN ‎1‎ S DA MN ‎‎ ‎，所以 S ‎‎ DA1MN = ‎‎ ‎2S DAMN = ‎2 ´ 1 ´ MN ´ AT = ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎‎ ‎2MN ³ 4 2‎ ‎1‎ ‎1‎ 法三：（等体积法实现面积的转化）由V A - ‎‎ AMN ‎= V A ‎- A MN 得 ‎S DAMN ‎3‎ ‎´ AA1‎ ‎= 3 S DA1MN ‎´ d ，‎ ‎1‎ 因为线面角为 450 ，所以 d = AA ‎‎ ´ sin 450 ，所以 S ‎‎ DA1MN ‎‎ = 2S ‎‎ DAMN ‎‎ ‎，同上。‎ 法四：（类比勾股定理）设切点 T (x0 , y0 ) ，则切线 MN 方程为 x0 x + y0 y = 4 ，则求得 æ 4 ö ‎æ 4 ö M ç ,0 ÷, M ç 0,‎ ‎÷ ，类比直角三角的勾股定理，猜想截面的平方等于三角直角面的平方 è x0 ø ‎è y0 ø ‎‎ ‎ 64 16 16‎ ‎‎ ‎ 64 ‎ ‎‎ ‎16(x 2 + y 2 ) ‎‎ ‎ 128‎ 和，从而把截面面积的平方化为 ‎‎ x 2 y 2‎ ‎+ + x 2 y 2‎ ‎= + x 2 y 2‎ ‎0 0‎ x 2 y 2‎ ‎= x 2 y 2‎ ‎0 0 0 0 0 0 0 0 0 0‎ ‎2 2‎ 因为 x0 + y0‎ ‎= 4 ³ 2 x0 y0 ，即 0 < x0 y0 £ 2 ，‎ ‎128‎ 所以面积平方的最小值为 = 32 ，面积是最小为 4 2‎ ‎4‎ 变式 5：已知正四面体 ABCD 的棱长为 2‎ ‎6 ，四个顶点都在球心为 O 的球面上，P 为棱 BC 的中点，过点 P 作求 O 的截面，则截面面积的最小值为 ‎ ‎【解析】当截面与 PO 垂直时面积最小，设截面半径为 ‎OA2 - OP 2‎ ‎= PA = ‎6 ，答案为 6p 变式 6：棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中， E 为棱 AD 的中点，过 B1 点，且与平面 A1 BE 平行的正方体截面的面积为（ ）‎ A. 5 B. 2 5‎ ‎C. 2 6‎ ‎D. 6‎ ‎【分析】对正方体结构和截面的认知，根据平行作图，得到一个菱形，对角线分别为面对角 线和体对角线，选 C.‎ 变式 7：在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体， 液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 . 解析：如图，正方体 ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，‎ ç ÷ 则液面必须高于平面 EHD，且低于平面 AFC． 可以求出液体取值范围为 æ 1 , 5 ö è 6 6 ø ‎【点评】在运动变化中，空间想象能力得到了很好的考查。‎ 拓展 1：点 M 为正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的内切球 O 球面上的动点，点 N 为 B1C1 上一点，‎ ‎2 NB1 = NC1 , DM ^ BN ，若球 O 的体积为 9 2π ，则动点 M 的轨迹的长度为 ．‎ 拓展 2：（1989 高中数学联赛解答题第 4 题）已知三棱锥 S - ABC 的高 SO = 3 ，底面边长 为 6 ，过点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线，垂足为 O，在 AO 上取一点 P，是 AP = 8 ，则经 PO 过点 P 且与底面平行的截面的面积为 ．‎ ‎【答案】 3‎