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- 2021-05-13 发布
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几何证明选讲
A组
1.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=________.
2.如图,A, E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________.
3.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=________.
4.如图,已知PA,PB是圆O的切线,A,B分别为切点,C为圆O上不与A,B重合的另一点,若∠ACB=120°,则∠APB=________.
5.如图,点P在圆O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切圆O于C点,CD⊥AB于D点,则CD=________.
6.如图,点A、B、C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=3,CD=6,则线段AC的长为________.
7.如图,已知⊙O的弦AB交半径OC于点D.若AD=3,BD=2,且D为OC的中点,则CD=________.
8.如图,⊙O的割线PBA过圆心O,弦CD交PA于点F,且△COF∽△PDF,若PB=OA=2,则PF=________.
第8题图 第9题图
9.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若=,=,则的值为________.
10.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________.
11.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=________cm.
12.如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,则AB=________.
13.如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.
14.如图所示,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切,则线段CE的长为________.
第14题图 第15题图
15.如图,点D在⊙O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于点C,则CD的最大值为________.
B组
1.如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明:△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.
2.如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
[]
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
3.如图,过圆O外一点M作它的一条切线,切点为A,过A点作直线AP垂直直线OM,垂足为P.
(1)证明:OM·OP=OA2;
(2)N为线段AP上一点,直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.
4.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A,C重合),延长BD至E.
(1)求证:AD的延长线平分∠CDE;
(2)若∠BAC=30°,△ABC中BC边上的高为2+,求△ABC外接圆的面积.
5.如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点P,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AB2=DE·BC;
(2)若BD=9,AB=6,BC=9,求切线PC的长.
6.如图所示,已知⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
参考答案
A组
1.解析 ∵AC=4,AD=12,∠ACD=90°,
∴CD2=AD2-AC2=128,
∴CD=8.
又∵AE⊥BC,∠B=∠D,
∴△ABE∽△ADC,
∴=,
∴BE===4.
答案 4
2.解析 如图,连接CE,AO,AB.根据A,E是半
圆周上的两个三等分点,BC为直径,可得∠CEB
=90°,∠CBE=30°,∠AOB=60°,故△AOB为
等边三角形,AD=,OD=BD=1,∴DF=,
∴AF=AD-DF=.
答案
3.解析 连结DE,由于E是AB的中点,故BE=.
又CD=,AB∥DC,CB⊥AB,
∴四边形EBCD是矩形.
在Rt△ADE中,AD=a,F是AD的中点,故EF=.
答案
4.解析 如图,连接OA,OB,∠PAO=∠PBO=90°,∵∠ACB=120°,∴∠AOB=120°.又P,A,O,B四点共圆,故∠APB=60°.
答案 60°
5.解析 由切割线定理知,PC2=PA·PB,
解得PC=2.
又OC⊥PC,故CD===.
答案
6.解析 由切割线定理,得CD2=BD·AD.
因为CD=6,AB=5,则36=BD(BD+5),
即BD2+5BD-36=0,
即(BD+9)(BD-4)=0,所以BD=4.
因为∠A=∠BCD,所以△ADC∽△CDB,于是=.
所以AC=·BC=×3=.
答案
7.解析 延长CO交圆O于点M,由题意知DC=,DM=r.由相交弦定理知AD·DB=DC·DM,即r2=6,∴r=2,∴DC=.
答案
8.解析 由相交弦定理可得
BF·AF=DF·CF,
由△COF∽△PDF可得=,
即得DF·CF=PF·OF.∴BF·AF=PF·OF,
即(PF-2)·(6-PF)=PF·(4-PF),解得PF=3.
答案 3
9.解析 ∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,∴△PCB∽△PAD.
∴==.
∵=,=,∴=.
答案
10.解析 在梯形ABCD中,过C作CG∥AD交AB于G,EF于H.
则HF=1,GB=2.又EF∥AB,
即HF∥GB,∴==.
∴F应为CB的中点.∴EF为梯形ABCD的中位线.
设梯形EFCD的高为h,则梯形ABCD的高为2h.
S梯形ABCD===6h,
S梯形EFCD===.
所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD=12∶5=,S梯形ABFE∶S梯形EFCD=7∶5.
答案 7∶5
11.解析 如图,连接DC,则CD⊥AB,
Rt△ADC∽Rt△ACB.
故=,即=,
AD=(cm),BD=5-=(cm).
答案
12.解析 ∵直线PB与圆相切于点B,且∠PBA=∠DBA,
∴∠ACB=∠ABP=∠DBA,由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点,则由切割线定理得|AB|2=|AD|·|AC|=mn,即得|AB|=.
答案
13.解析 由相交弦定理得AF·FB=EF·FC,
∴FC==2.
由△AFC∽△ABD,可知=,
∴BD==.
由切割线定理得DB2=DC·DA,又DA=4CD,
∴4DC2=DB2=,∴DC=.
答案
14.解析 设AF=4k,BF=2k,BE=k,由DF·FC=AF·BF,得2=8k2,即k=.
所以AF=2,BF=1,BE=,AE=.
由切割线定理,得CE2=BE·EA=×=,
所以CE=.
答案
15.解析 当OD的值最小时,DC最大,易知D为AB的中点时,DB=DC=2最大.
答案 2
B组
1.(1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)解 因为△ABE∽△ADC,所以=,
即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE,
故AB·AC·sin∠BAC=AD·AE.
则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.
2.证明 (1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.
因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.
(2)由(1)知AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.
连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,
故∠FAE=∠GBE.
又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,
所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A,B,G,F四点共圆.
3.证明 (1)因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM,在Rt△OAM中,由射影定理知,OA2=OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线,BN⊥OK,同(1),有OB2=ON·OK,又OB=OA,所以OP·OM=ON·OK,
即=.又∠NOP=∠MOK,
所以△ONP∽△OMK,
故∠OKM=∠OPN=90°.
4.(1)证明 如图,设F为AD延长线上一点.
∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠CDF=∠ABC.
又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
且∠ADB=∠ACB,
∴∠ADB=∠CDF.
对顶角∠EDF=∠ADB,
故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE.
(2)解 设O为外接圆圆心,连结AO交BC于H,
则AH⊥BC.
连结OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°,
∴∠OCH=60°.
设圆半径为r,则r+r=2+,得r=2,外接圆面积为4π.
5.(1)证明 ∵AD∥BC,∴.
∴AB=CD,∠EDC=∠BCD.
又PC与⊙O相切,∴∠ECD=∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴=.
∴CD2=DE·BC,即AB2=DE·BC.
(2)解 由(1)知,DE===4,
∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC,
∴==.
又∵PB-PD=9,
∴PD=,PB=.
∴PC2=PD·PB=·=.∴PC=.
6.(1)证明 连接AB,如图所示
∵AC是⊙O1的切线,
∴∠BAC=∠D.
又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E.
∴AD∥EC.
(2)解 设BP=x,PE=y,
∵PA=6,PC=2,
∴xy=12.①
∵根据(1),可得△ADP∽△CEP,
∴=,即=,②
由①②,可得
或(负值舍去),
∴DE=9+x+y=16.
∵AD是⊙O2的切线,
∴AD2=DB·DE=9×16.
∴AD=12.