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- 2021-05-13 发布
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2012年上海高考数学(理科)试卷
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= (i为虚数单位).
2.若集合,,则= .
3.函数的值域是 .
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角
函数值表示).
5.在的二项展开式中,常数项等于 .
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则 .
7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范围是 .
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 .
9.已知是奇函数,且.若,则 .
x
O
M
l
a
O
M
x
l
a
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则 .
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).
12.在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 .
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .
A
B
C
D
14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( )
(A). (B). (C).(D).
16.在中,若,则的形状是 ( )
(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.
17.设,. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则 ( )
(A)>. (B)=. (C)<.
(D)与的大小关系与、、、的取值有关.
18.设,. 在中,正数的个数是 ( )
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
A
B
C
D
P
E
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)
20.已知函数.
(1) 若,求的取值范围;(6分)
(2) 若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)
x
O
y
P
A
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;(4分)
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)
23.对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)
2012年上海高考数学(理科)试卷解答
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:= 1-2i (i为虚数单位).
[解析] .
2.若集合,,则= .
[解析] ,,A∩B=.
3.函数的值域是 .
[解析]Î.
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角
函数值表示).
[解析] 方向向量,所以,倾斜角a=arctan2.
5.在的二项展开式中,常数项等于 -160 .
[解析] 展开式通项,令6-2r=0,得r=3,
故常数项为.
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…,则 .
[解析] 易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项,3为公比的等比数列,所以
.
7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范
围是 (-¥, 1] .
[解析]令,则,由于底数,故↑ó↑,
由的图像知在区间[1,+¥)上是增函数时,a≤1.
P
O
r
l
h
P
l
2pr
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 .
[解析] 如图,Þl=2,又2pr2=pl=2pÞr=1,
所以h=,故体积.
9.已知是奇函数,且.若,则 -1 .
x
O
M
l
a
[解析] 是奇函数,则,所以,
1.
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角
.若将的极坐标方程写成的形式,则
.
[解析] 的直角坐标也是(2,0),斜率,所以其直角坐标方程为,
化为极坐标方程为:,,
,,即.(或)
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).
[解析] 设概率p=,则,求k,分三步:①选二人,让他们选择的
项目相同,有种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有种;③确定另一
人所选的项目,有种. 所以,故p=.
12.在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
x
y
A
B
C
D
M
N
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 [2, 5] .
[解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).
设Î[0,1],则,,
所以M(2+,),N(-2t,),
故=(2+)(-2t)+×=,
因为tÎ[0,1],所以f (t)递减,()max= f (0)=5,()min= f (1)=2.
[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).
x
y
A
B
C
1
5
图1
N
x
y
O
D
M
1
5
P
图2
函数的图像与x轴围成的图形的面积为.
[解析]如图1,,
所以,
易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.
A
B
C
D
E
[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路。
14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.
若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为
常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .
A
D
B
E
C
[解析] 作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,
由题设,B与C都是在以AD为焦距的椭球上,且BE、CE都
垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC中点F,
连接EF,则EF⊥BC,EF=2,,
四面体ABCD的体积,显然,当E在AD中点,即
B是短轴端点时,BE有最大值为b=,所以.
[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时AC=CD),从而致命一击,逃出生天!
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( B )
(A). (B). (C).(D).
[解析] 实系数方程虚根成对,所以也是一根,所以-b=2,c=1+2=3,选B.
16.在中,若,则的形状是 ( C )
(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.
[解析] 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得,
所以C是钝角,选C.
17.设,. 随机变量取值、、、、的
概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2.
若记、分别为、的方差,则 ( A )
(A)>. (B)=. (C)<.
(D)与的大小关系与、、、的取值有关.
[解析]=t,++++)=t,
++++]
;
记,,…,,同理得
,
只要比较与有大小,
,所以,选A.
[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现和相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得>而迅即攻下此题。
18.设,. 在中,正数的个数是 ( D )
x
y
a
2a
12a
13a
…
24a
23a
26a
27a
49a
48a
38a
37a
…
…
…
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
[解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.
当26≤k≤49时,令,则,画出ka终边如右,
其终边两两关于x轴对称,即有,
所以++…+++0
++…+
=++…+++…
+,其中k=26,27,…,49,此时,
所以,又,所以,
从而当k=26,27,…,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.
对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.
[评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键。
A
B
C
D
P
E
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,
PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,
AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)
[解](1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,
从而CD⊥PD. ……3分
A
B
C
D
P
E
x
y
z
因为PD=,CD=2,
所以三角形PCD的面积为. ……6分
(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,
则B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1),
,. ……8分
设与的夹角为q,则
,q=.
由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分
[解法二]取PB中点F,连接EF、AF,则
EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC与AE所成的角 ……8分
在中,由EF=、AF=、AE=2
知是等腰直角三角形,
所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解](1)由,得.
由得. ……3分
因为,所以,.
由得. ……6分
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此
. ……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,. ……14分
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
x
O
y
P
A
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)
[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程
中,得P的纵坐标yP=3. ……2分
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. ……4分
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度. ……6分
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.
由,整理得.……10分
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;(4分)
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:
OP⊥OQ;(6分)
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)
[解](1)双曲线,左顶点,渐近线方程:.
过点A与渐近线平行的直线方程为,即.
解方程组,得. ……2分
所以所求三角形的面积1为. ……4分
(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,
故,即. ……6分
由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
又,所以
,
故OP⊥OQ. ……10分
(3)当直线ON垂直于x轴时,
|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时,
设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,所以.
同理. ……13分
设O到直线MN的距离为d,因为,
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值. ……16分
23.对于数集,其中,,定义向量集
. 若对于任意,存在,使得,则称X
具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通
项公式.(8分)
[解](1)选取,Y中与垂直的元素必有形式. ……2分
所以x=2b,从而x=4. ……4分
(2)证明:取.设满足.
由得,所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,
故1ÎX. ……7分
假设,其中,则.
选取,并设满足,即,
则、异号,从而、之中恰有一个为-1.
若=-1,则,矛盾;
若=-1,则,矛盾.
所以x1=1. ……10分
(3)[解法一]猜测,i=1, 2, …, n. ……12分
记,k=2, 3, …, n.
先证明:若具有性质P,则也具有性质P.
任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;
当且时,、≥1.
因为具有性质P,所以有,、Î,使得,
从而和中有一个是-1,不妨设=-1.
假设Î且Ï,则.由,得,与
Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分
现用数学归纳法证明:,i=1, 2, …, n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时,有性质P,则,i=1, 2, …, k;
当n=k+1时,若有性质P,则
也有性质P,所以.
取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若,则,所以,这不可能;
所以,,又,所以.
综上所述,,i=1, 2, …, n. ……18分
[解法二]设,,则等价于.
记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. ……14分
注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,
所以也只有n-1个数.
由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
……
注意到,所以,从而数列的通项公式为
,k=1, 2, …, n. ……18分