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  • 2021-05-13 发布

上海高考数学理科试题及答案

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‎2012年上海高考数学(理科)试卷 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)‎ ‎1.计算:= (i为虚数单位).‎ ‎2.若集合,,则= .‎ ‎3.函数的值域是 .‎ ‎4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 (结果用反三角 函数值表示).‎ ‎5.在的二项展开式中,常数项等于 .‎ ‎6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则 . ‎ ‎7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范围是 .‎ ‎8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 .‎ ‎9.已知是奇函数,且.若,则 .‎ x O M l a O M x l a ‎10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则 .‎ ‎11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).‎ ‎12.在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 .‎ ‎13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .‎ A B C D ‎14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ ‎15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( )‎ ‎ (A). (B). (C).(D).‎ ‎16.在中,若,则的形状是 ( )‎ ‎ (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.‎ ‎17.设,. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则 ( )‎ ‎ (A)>. (B)=. (C)<.‎ ‎ (D)与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎18.设,. 在中,正数的个数是 ( )‎ ‎ (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)‎ A B C D P E ‎19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:‎ ‎(1)三角形PCD的面积;(6分)‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1) 若,求的取值范围;(6分)‎ ‎(2) 若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)‎ x O y P A ‎21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.‎ ‎ (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积;(4分)‎ ‎ (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)‎ ‎ (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)‎ ‎23.对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ (1)若x>2,且,求x的值;(4分)‎ ‎ (2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)‎ ‎ (3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)‎ ‎2012年上海高考数学(理科)试卷解答 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)‎ ‎1.计算:= 1-2i (i为虚数单位).‎ ‎[解析] .‎ ‎2.若集合,,则= .‎ ‎[解析] ,,A∩B=.‎ ‎3.函数的值域是 .‎ ‎[解析]Î.‎ ‎4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角 函数值表示).‎ ‎[解析] 方向向量,所以,倾斜角a=arctan2.‎ ‎5.在的二项展开式中,常数项等于 -160 .‎ ‎[解析] 展开式通项,令6-2r=0,得r=3,‎ 故常数项为.‎ ‎6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为 V1,V2,…,Vn,…,则 . ‎ ‎[解析] 易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项,3为公比的等比数列,所以 ‎ .‎ ‎7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范 围是 (-¥, 1] .‎ ‎[解析]令,则,由于底数,故↑ó↑,‎ ‎ 由的图像知在区间[1,+¥)上是增函数时,a≤1.‎ P O r l h P l ‎2pr ‎ 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为 .‎ ‎[解析] 如图,Þl=2,又2pr2=pl=2pÞr=1,‎ ‎ 所以h=,故体积.‎ ‎9.已知是奇函数,且.若,则 -1 .‎ x O M l a ‎ [解析] 是奇函数,则,所以,‎ ‎ 1.‎ ‎10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角 ‎.若将的极坐标方程写成的形式,则 ‎ .‎ ‎[解析] 的直角坐标也是(2,0),斜率,所以其直角坐标方程为,‎ ‎ 化为极坐标方程为:,,‎ ‎ ,,即.(或)‎ ‎11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).‎ ‎ [解析] 设概率p=,则,求k,分三步:①选二人,让他们选择的 项目相同,有种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有种;③确定另一 人所选的项目,有种. 所以,故p=.‎ ‎12.在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别 x y A B C D M N 是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是 [2, 5] .‎ ‎ [解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).‎ ‎ 设Î[0,1],则,,‎ ‎ 所以M(2+,),N(-2t,),‎ 故=(2+)(-2t)+×=,‎ 因为tÎ[0,1],所以f (t)递减,()max= f (0)=5,()min= f (1)=2.‎ ‎[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!‎ ‎13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).‎ x y A B C ‎1‎ ‎5‎ 图1‎ N x y O D M ‎1‎ ‎5‎ P 图2‎ 函数的图像与x轴围成的图形的面积为.‎ ‎ [解析]如图1,,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.‎ A B C D E ‎[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路。‎ ‎14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2. ‎ 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为 常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 .‎ A D B E C ‎ [解析] 作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,‎ ‎ 由题设,B与C都是在以AD为焦距的椭球上,且BE、CE都 垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC中点F,‎ 连接EF,则EF⊥BC,EF=2,,‎ 四面体ABCD的体积,显然,当E在AD中点,即 B是短轴端点时,BE有最大值为b=,所以.‎ ‎ [评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时AC=CD),从而致命一击,逃出生天!‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)‎ ‎15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ( B )‎ ‎ (A). (B). (C).(D).‎ ‎ [解析] 实系数方程虚根成对,所以也是一根,所以-b=2,c=1+2=3,选B.‎ ‎16.在中,若,则的形状是 ( C )‎ ‎ (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.‎ ‎[解析] 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得,‎ ‎ 所以C是钝角,选C.‎ ‎17.设,. 随机变量取值、、、、的 概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2. ‎ 若记、分别为、的方差,则 ( A )‎ ‎ (A)>. (B)=. (C)<.‎ ‎ (D)与的大小关系与、、、的取值有关.‎ ‎[解析]=t,++++)=t,‎ ‎++++]‎ ‎ ;‎ ‎ 记,,…,,同理得 ‎,‎ 只要比较与有大小,‎ ‎,所以,选A.‎ ‎[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现和相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得>而迅即攻下此题。‎ ‎18.设,. 在中,正数的个数是 ( D )‎ x y a ‎2a ‎12a ‎13a ‎…‎ ‎24a ‎23a ‎26a ‎27a ‎49a ‎48a ‎38a ‎37a ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.‎ ‎ [解析] 对于1≤k≤25,ak≥0(唯a25=0),所以Sk(1≤k≤25)都为正数.‎ 当26≤k≤49时,令,则,画出ka终边如右,‎ 其终边两两关于x轴对称,即有,‎ 所以++…+++0‎ ‎ ++…+‎ ‎=++…+++…‎ ‎+,其中k=26,27,…,49,此时,‎ 所以,又,所以,‎ 从而当k=26,27,…,49时,Sk都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0.‎ 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上,可选D.‎ ‎ [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号,为此,需借助分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻题之关键。‎ A B C D P E 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)‎ ‎19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,‎ PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,‎ AD=2,PA=2.求:‎ ‎(1)三角形PCD的面积;(6分)‎ ‎(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)‎ ‎[解](1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,‎ 从而CD⊥PD. ……3分 A B C D P E x y z 因为PD=,CD=2,‎ 所以三角形PCD的面积为. ……6分 ‎(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 则B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1),‎ ‎,. ……8分 设与的夹角为q,则 ‎ ,q=.‎ ‎ 由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎ [解法二]取PB中点F,连接EF、AF,则 ‎ EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 ‎ BC与AE所成的角 ……8分 ‎ 在中,由EF=、AF=、AE=2‎ ‎ 知是等腰直角三角形,‎ 所以∠AEF=. ‎ 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若,求的取值范围;(6分)‎ ‎(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数 的反函数.(8分)‎ ‎[解](1)由,得.‎ 由得. ……3分 因为,所以,.‎ 由得. ……6分 ‎(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为,所以所求反函数是,. ……14分 ‎21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴 x O y P A 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.‎ ‎(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)‎ ‎(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)‎ ‎[解](1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程 中,得P的纵坐标yP=3. ……2分 由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. ……6分 ‎(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.‎ 由,整理得.……10分 因为,当且仅当=1时等号成立,‎ 所以,即.‎ 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 ‎22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.‎ ‎(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积;(4分)‎ ‎(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:‎ OP⊥OQ;(6分)‎ ‎(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,‎ 求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)‎ ‎[解](1)双曲线,左顶点,渐近线方程:.‎ 过点A与渐近线平行的直线方程为,即.‎ 解方程组,得. ……2分 所以所求三角形的面积1为. ……4分 ‎(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,‎ 故,即. ……6分 由,得.‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.‎ 又,所以 ‎,‎ 故OP⊥OQ. ……10分 ‎(3)当直线ON垂直于x轴时,‎ ‎|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.‎ 当直线ON不垂直于x轴时,‎ 设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.‎ 由,得,所以.‎ 同理. ……13分 设O到直线MN的距离为d,因为,‎ 所以,即d=.‎ 综上,O到直线MN的距离是定值. ……16分 ‎23.对于数集,其中,,定义向量集 ‎. 若对于任意,存在,使得,则称X 具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎(1)若x>2,且,求x的值;(4分)‎ ‎(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)‎ ‎(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通 项公式.(8分)‎ ‎[解](1)选取,Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b,从而x=4. ……4分 ‎(2)证明:取.设满足.‎ 由得,所以、异号.‎ 因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,‎ 故1ÎX. ……7分 假设,其中,则.‎ 选取,并设满足,即,‎ 则、异号,从而、之中恰有一个为-1.‎ 若=-1,则,矛盾;‎ 若=-1,则,矛盾.‎ 所以x1=1. ……10分 ‎(3)[解法一]猜测,i=1, 2, …, n. ……12分 记,k=2, 3, …, n.‎ 先证明:若具有性质P,则也具有性质P.‎ 任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;‎ 当且时,、≥1.‎ 因为具有性质P,所以有,、Î,使得,‎ 从而和中有一个是-1,不妨设=-1.‎ 假设Î且Ï,则.由,得,与 Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P. ……15分 现用数学归纳法证明:,i=1, 2, …, n.‎ 当n=2时,结论显然成立;‎ 假设n=k时,有性质P,则,i=1, 2, …, k;‎ 当n=k+1时,若有性质P,则 也有性质P,所以.‎ 取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.‎ 若,则,所以,这不可能;‎ 所以,,又,所以.‎ 综上所述,,i=1, 2, …, n. ……18分 ‎[解法二]设,,则等价于.‎ 记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,‎ 所以也只有n-1个数.‎ 由于,已有n-1个数,对以下三角数阵 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ 注意到,所以,从而数列的通项公式为 ‎,k=1, 2, …, n. ……18分