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- 2021-05-13 发布
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2012 江苏高考数学试卷答案与解析
一.填空题:
1.已知集合 , ,则 ▲ .
【答案】
【解析】根据集合的并集运算,两个集合的并集就是所有属于集合 A 和集合 B 的元素组成的
集合,从所给的两个集合的元素可知,它们的元素是 , , , ,所以答案为 .
【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目,把并集运算看成交集运算.属
于基本题,难度系数较小.
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年
级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.
【答案】
【解析】根据分层抽样的方法步骤,按照一定比例抽取,样本容量为 ,那么根据题意得:
从高三一共可以抽取人数为: 人,答案 .
【点评】本题主要考查统计部分知识:抽样方法问题,分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也
叫做“按比例抽样”,也就是说,要根据每一层的个体数的多少抽取,这样才能够保证样本的
科学性与普遍性,这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平,本题属于容
易题,也是高考热点问题,希望引起重视.
3. 设 , (i 为虚数单位),则 的值为 ▲ .
【答案】
【解析】据题 ,所以 从
而 .
【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用,属于基本题,一定要注意审
题,对于复数的除法运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,再者,需要注意分母实数化
的实质.
4. 右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .
{1 2 4}A = , , {2 4 6}B = , , A B =
{ }6,4,2,1
1 2 4 6 { }6,4,2,1
3 3 4: :
15
50
1510
350 =× 15
a b∈R, 11 7ii 1 2ia b
−+ = − a b+
8
ii
ii
ii
i
ibia 355
1525
)21)(21(
)21)(711(
21
711 +=+=+−
+−=−
−=+ ,3,5 == ba
8=+ ba
【答案】
【解析】根据循环结构的流程图,当 时,此时 ;不满足条件,继续执行
循 环 体 , 当 时 , ; 不 满 足 条 件 , 继 续 执 行 循 环 , 当 时 ,
不 满 足 条 件 , 然 后 依 次 出 现 同 样 的 结 果 , 当 时 , 此 时
,此时满足条件跳出循环,输出 的值为 .
【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成,考查循环结构的流程图.注意循环条件
的设置,以及循环体的构成,特别是注意最后一次循环的 的值.这是新课标的新增内容,也
是近几年的常考题目,要准确理解循环结构流程图的执行过程.
5. 函数 的定义域为 ▲ .
【答案】
【解析】根据题意得到 ,同时, > ,解得 ,解得 ,
又 > ,所以函数的定义域为: .
【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略 >
这个条件,因此,要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识,在复习中应引起高度
重视.本题属于基本题,难度适中.
6. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机
抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ .
【答案】
【解析】组成满足条件的数列为: 从中随机取
5
1=k 0452 =+− kk
2=k 6452 −=+− kk 3=k
2452 −=+− kk 5=k
4452 =+− kk k 5
k
6( ) 1 2logf x x= −
(0, 6
0log21 6 ≥− x x 0 2
1log6 ≤x 6≤x
x 0 (0, 6
x 0
3−
5
3
.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1 −−−−−
出一个数共有取法 种,其中小于 的取法共有 种,因此取出的这个数小于 的概率为 .
【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时,关键弄清基本事件数和基本事
件总数,本题要注意审题,“一次随机取两个数”,意味着这两个数不能重复,这一点要特别
注意.
7.如图,在长方体 中, , ,则四棱锥
的体积为 cm3.
【答案】
【解析】如图所示,连结 交 于点 ,因为 平面 ,又因为 ,
所 以 , , 所 以 四 棱 锥 的 高 为 , 根 据 题 意
,所以 ,又因为 , ,故矩形
的面积为 ,从而四棱锥 的体积 .
【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强,结合空间中点线面的
位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥 的高为 ,这是
O
D1
A1
C1
B1
A
CD
B
10 8 6 8 5
3
1 1 1 1ABCD ABC D− 3cmAB AD= = 1 2cmAA = DDBBA 11−
36cm
AC BD O DDBBABCD 11⊥ BDAC ⊥
DDBBAC 11平面⊥ DDBBA 11− AO
3cmAB AD= =
2
23=AO 3 2cmBD = 1 2cmAA = DDBB 11
26 2cm DDBBA 11− 31 3 26 2 6cm3 2V = × × =
DDBBA 11− AO
D
A B
C
1C1D
1A
1B
解决该类问题的关键.在复习中,要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢,并且会灵
活运用.本题属于中档题,难度适中.
8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 若 双 曲 线 的 离 心 率 为 , 则 m 的 值 为
▲ .
【答案】
【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 轴上(否则不成立),因此 > ,由离心率公
式得到 ,解得 .
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的,在对
本部分复习时要注意:侧重于基本关系和基本理论性质的考查,从近几年的高考命题趋势看,
几乎年年都有所涉及,要引起足够的重视.本题属于中档题,难度适中.
9. 如图,在矩形 ABCD 中, 点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若
,则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】根据题意 所以
从而得到 ,又因为 ,所以
.
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算,同时,结合平面向量的数量积运算解决.设法
xOy
2 2
2 14
x y
m m
− =+ 5
2
x m 0
542
=++
m
mm 2=m
2 2AB BC= =, ,
2AB AF =
AE BF
2
,
→→→
+= DFBCAF
( ) cos0 2 2,AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF
→ → → → → → → → → → → → → →
• = • + = • + • = • = ⋅ ° = =
1=
→
DF
→→→→→→
+=+= CFBCBFDFADAE ,
2180cos00)()(
2
=⋅+++=+•+=• °→→→→→→→→→
CFDFBCCFBCDFADBFAE
A B
C
E
FD
找到 ,这是本题的解题关键,本题属于中等偏难题目.
10. 设 是定义在 上且周期为 2 的函数,在区间 上,
其中 .若 ,则 的值为 ▲ .
【答案】 .
【解析】因为 ,函数 的周期为 ,所以
,根据 得到 ,
又 ,得到 ,结合上面的式子解得 ,
所以 .
【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性
将式子化简为 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题,难
度适中.
11. 设 为锐角,若 ,则 的值为 ▲ .
【答案】
【解析】根据 , ,
因 为 , 所 以 , 因 为
.
【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三
角函数值时,要注意角的取值情况,切勿出现增根情况.本题属于中档题,运算量较大,难度
1=
→
DF
( )f x R [ 1 1]− ,
0
1
1 1
( ) 2 01
x
x
ax
f x bx
x
<+ −= +
+
≤
≤ ≤
, ,
, ,
a b∈R, 1 3
2 2f f = 3a b+
10−
1 3
2 2f f = ( )f x 2
)2
1()22
3()2
1( −=−= fff
0
1
1 1
( ) 2 01
x
x
ax
f x bx
x
<+ −= +
+
≤
≤ ≤
, ,
, , 223 −=+ ba
)1()1( −= ff 02,2
21 =++=+− baba 即 4,2 −== ba
103 −=+ ba
)2
1()22
3()2
1( −=−= fff
α 4cos 6 5
α π + = )122sin(
πα +
50
217
4cos 6 5
α π + = 25
7125
1621)6(cos2)32cos( 2 =−×=−+=+ παπα
0)32cos(
πα +
25
24
25
71)32sin(
2
=
−=+ πα
50
217
4sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin( =+−+=−+=+ ππαππαππαπα
稍高.
12. 在平面直角坐标系 中,圆 C 的方程为 ,若直线 上至少存在一
点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .
【答案】
【解析】根据题意 将此化成标准形式为: ,得到,该圆的圆
心为 半径为 ,若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆
与圆 C 有公共点,只 需要圆心 到直线 的距离 ,即可,所以有
,化简得 解得 ,所以 k 的最大值是 .
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准
方程的互化,考查知识较综合,考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是
对若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,这句
话的理解,只需要圆心 到直线 的距离 即可,从而将问题得以转化.本题
属于中档题,难度适中.
13. 已知函数 的值域为 ,若关于 x 的不等式 的解
集为 ,则实数 c 的值为 ▲ .
【答案】
【解析】根据函数 ,得到 ,又因为关于 的不等式
, 可 化 为 : , 它 的 解 集 为 , 设 函 数
图 象 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 , 则
,从而, ,即 ,又因为
,代入得到 .
【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系,根与系数的关系.
二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题,难度不大.
xOy 2 2 8 15 0x y x+ − + = 2y kx= −
3
4
2 2 8 15 0x y x+ − + = ( ) 14 22 =+− yx
M ( )0,4 1 2y kx= −
M ( )0,4 2y kx= − 11+≤d
2
1
24
2
≤
+
−=
k
kd 0)43( ≤−kk 3
40 ≤≤ k 3
4
2y kx= −
M ( )0,4 2y kx= − 11+≤d
2( ) ( )f x x ax b a b= + + ∈R, [0 )+ ∞, ( )f x c<
( 6)m m +,
9
0)( 2 ≥++= baxxxf 042 =− ba x
( )f x c< 2 0x ax b c+ + − < ( )6, +mm
cbaxxxf −++= 2)( x 21, xx
6612 =−+=− mmxx 36)( 2
12 =− xx 364)( 21
2
21 =−+ xxxx
axxcbxx −=+−= 2121 , 9=c
14. 已知正数 满足: 则 的取值范围是 ▲ .
【答案】
【解析】根据条件 ,得到
,得到 .又因为 ,所以 ,由已知 ,
得到 .从而 ,解得 .
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形,
做到每一步都要等价.本题属于中高档题,难度较大.
二、解答题
15. (本小题满分 14 分)
在 中,已知 .
(1)求证: ;
(2)若 求 A 的值.
【答案及解析】
【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒
等变形以及向量共线成立的条件.本题综合性较强,转化思想在解题中灵活运用,注意两角
和与差的三角公式的运用,考查分析问题和解决问题的能力,从今年的高考命题趋势看,几
乎年年都命制该类型的试题,因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题,难度适中.
a b c, , 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥, , b
a
[ ]7,e
4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥, , ( )
c
bccbca lnlnln =−≤
ln , 1
a
cb a b ec c c
≥ ≥ > c b< bac ≤− 35 3
5
a bc
+< acb −≤ 4
4
a bc
+> bba ≤+
4 3
1≥
a
b
ABC∆ 3AB AC BA BC=
tan 3tanB A=
5cos 5C = ,
16. (本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 中, , 分别是棱
上的点(点 D 不同于点 C),且 为 的中点.
求证:(1)平面 平面 ;
(2)直线 平面 ADE.
【答案及解析】
【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系,考查线面垂直、面面垂直的性质与判
定,线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用,做题规律就是“无中点、取中点,
相连得到中位线”.本题属于中档题,难度不大,考查基础为主,注意问题的等价转化.
17. (本小题满分 14 分)
如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某
炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上,其中
k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过
多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC= D E,
1BC CC, AD DE F⊥ , 1 1B C
ADE ⊥ 1 1BCC B
1 //A F
2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k= − + >
x(千米)
y(千米)
O (第 17 题)
【答案及解析】
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的
最值问题时,要注意增根的取舍,通过平面几何图形考查函数问题时,首先审清题目,然后
建立数学模型,接着求解数学模型,最后,还原为实际问题.本题属于中档题,难度适中.
18.(本小题满分 16 分)
已知 a,b 是实数,1 和 是函数 的两个极值点.
(1)求 a 和 b 的值;
(2)设函数 的导函数 ,求 的极值点;
(3)设 ,其中 ,求函数 的零点个数.
【答案及解析】
1− 3 2( )f x x ax bx= + +
( )g x ( ) ( ) 2g x f x′ = + ( )g x
( ) ( ( ))h x f f x c= − [ 2 2]c∈ − , ( )y h x=
【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系
统,要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解.本题主要考查数形结合
思想和分类讨论思想,属于中高档试题,难度中等偏上,考查知识比较综合,全方位考查分
析问题和解决问题的能力,运算量比较大.
19. (本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 的左、右焦点分别为 ,
.已知 和 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线
与直线 平行, 与 交于点 P.
(i)若 ,求直线 的斜率;
(ii)求证: 是定值.
【答案及解析】
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1( 0)F c− ,
2 ( 0)F c, (1 )e, 3
2e
,
1AF
2BF 2AF 1BF
1 2
6
2AF BF− = 1AF
1 2PF PF+
A
BP
O1F 2F x
y
(第 19 题)
【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系.本题注意解题中,待
定系数法在求解椭圆的标准方程应用,曲线和方程的关系.在利用条件 时,
2
6
21 =− BFAF
需要注意直线 和直线 平行这个条件.本题属于中档题.
20. (本小题满分 16 分)
已知各项均为正数的两个数列 和 满足: .
(1)设 ,求证:数列 是等差数列;
(2)设 ,且 是等比数列,求 和 的值.
【答案与解析】
【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的
互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法,本题是
有关数列的综合题;从近几年的高考命题趋势看,数列问题仍是高考的热点 、重点问题,在
1AF 2BF
{ }na { }nb 1 2 2
n n
n
n n
a ba n
a b
∗
+
+= ∈
+ N,
1 1 n
n
n
bb na
∗
+ = + ∈N,
2
n
n
b
a
1 2 n
n
n
bb na
∗
+ = ⋅ ∈N, { }na 1a 1b
训练时,要引起足够的重视.
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD
= DC,连结 AC,AE,DE.
求证: .
【答案与解析】
【点评】本题主要考查圆的基本性质,等弧所对的圆周角相等,同时结合三角形的基本性质
考查.本题属于选讲部分,涉及到圆的性质的运用,考查的主要思想方法为等量代换法,属
于中低档题,难度较小,从这几年的选讲部分命题趋势看,考查圆的基本性质的题目居多,
在练习时,要有所侧重.
B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 A 的逆矩阵 ,求矩阵 A 的特征值.
【答案与解析】
E C∠ = ∠
1
1 3
4 4
1 1
2 2
−
−
=
−
A
A
E
B
D
C
O
(第 21-A 题)
【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式
与特征值求解.在求解矩阵的逆矩阵时,首先分清求解方法,然后,写出相应的逆矩阵即可;
在求解矩阵的特征值时,要正确的写出该矩阵对应的特征多项式,难度系数较小,中低档
题.
C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标中,已知圆 C 经过点 ,圆心为直线 与极轴的交点,求
圆 C 的极坐标方程.
【答案与解析】
【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角
和与差的三角函数.本题要注意已知圆的圆心是直线 与极轴的交点,考
查三角函数的综合运用,对于参数方程的考查,主要集中在常见曲线的考查上,题目以中低
档题为主.
D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知实数 x,y 满足: 求证: .
【答案与解析】
( )2 4P
π, ( ) 3sin 3 2
ρ θ π− = −
2
3)3sin( −=− πθρ
1 1| | | 2 |3 6x y x y+ < − <, , 5| | 18y <
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,属于中档题,难度适
中.切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.
22.(本小题满分 10 分)
设 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ;当两条棱
平行时, 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, .
(1)求概率 ;
(2)求 的分布列,并求其数学期望 .
【答案与解析】
【点评】本题主要考查概率统计知识:离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事
件的基本运算.本题属于基础题目,难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求
解,在列分布列时,要注意 的取值情况,不要遗漏 的取值情况.
23.(本小题满分 10 分)
设集合 , .记 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:
① ;②若 ,则 ;③若 ,则 .
ξ 0ξ =
ξ 1ξ =
( 0)P ξ =
ξ ( )E ξ
ξ ξ
{1 2 }nP n= , , ,… n ∗∈N ( )f n
nA P⊆ x A∈ 2x A∉
nPx A∈ 2 nPx A∉
(1)求 ;
(2)求 的解析式(用 n 表示).
【答案与解析】
【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集
和函数的解析式的求法.本题属于中档题,难度适中.
(4)f
( )f n