成都理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测导数及其应用 6页

成都理工大学附中2019高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知函数，且，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎2．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．与坐标轴围成的面积是( )‎ A．4 B． C．3 D．2‎ ‎【答案】C ‎4．设函数则函数的单调递增区间是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎5．函数的导数为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎6．若的展开式中的系数为,则的值等于( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎7．若上是减函数，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积是( )‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎9．函数的导数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎10．设函数则a等于( )‎ A．-1 B．1 C．-2 D．2‎ ‎【答案】C ‎11．已知函数( )‎ A． B． C．1 D．0‎ ‎【答案】C ‎12．下列各式中正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13． ． ‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知直线与曲线相切，则a的值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎15．已知，若，则 _______。‎ ‎【答案】0或2‎ ‎16．过原点作曲线的切线，则切点坐标是____________,切线斜率是____________。‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知函数[来源:1]‎ ‎ (1）求函数的极值 ‎(2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的陪伴切线．‎ 已知两点，试求弦的陪伴切线的方程；‎ ‎【答案】 (1）．‎ ‎ 得．‎ ‎ 当变化时，与变化情况如下表：‎ 当x=1时，取得极小值． 没有极大值．‎ ‎(2）设切点，则切线的斜率为．‎ ‎ 弦AB的斜率为．‎ 由已知得，，则=，解得，‎ 所以，弦的伴随切线的方程为：．‎ ‎18．已知其中是自然对数的底 .‎ ‎(Ⅰ)若在处取得极值,求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间；‎ ‎【答案】 (Ⅰ) . ‎ 由已知, 解得. ‎ 经检验, 符合题意. ‎ ‎1) 当时，在上是减函数.‎ ‎2)当时，.‎ ‎① 若，即， ‎ 则在上是减函数，在上是增函数； ‎ ‎ ② 若 ，即，则在上是减函数. ‎ 综上所述，当时，的减区间是，‎ 当时，的减区间是，增区间是.‎ ‎19．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为 V（t）=‎ ‎(Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？‎ ‎(Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）‎ ‎【答案】（1）①当时，‎ 化简得，‎ 解得.‎ ‎②当时，,‎ 化简得，‎ 解得.‎ 综上得，,或.‎ 故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(2）由（1）知，的最大值只能在(4,10)内内达到。‎ 由,‎ 令，解得（舍去）。‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ 由上表，在时取得最大值（亿立方米）。‎ 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。‎ ‎20． (1)若任意直线过点,且与函数的图象交于两个不同的点A,B，分别过点A,B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)求证：，（其中为无理数，约为）.‎ ‎【答案】 (1)设，由题意知的斜率必存在 设，代入 得 ‎ ‎,， 化简得：‎ ‎ 同理：, 解得：‎ ‎ (2)令： ，‎ ‎ 令 得： 所以 当 ，时 在上单调递减；所以 当 ，时 在上单调递增；‎ ‎ 在时取得最小值， 要恒成立，只要 即 ，解得 ‎(3)由(2)得，取有 化简得： ‎ 变形得： 即 ‎21．已知函数。‎ ‎(Ⅰ）确定在上的单调性；‎ ‎(Ⅱ）设在上有极值，求的取值范围。[来源:1]‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ 设，则 所以，在上单调递减，‎ 所以，， ‎ 因此在上单调递减。‎ 若，任给，，[来源:1ZXXK]‎ 所以，在上单调递减，无极值；‎ 若，在上有极值时的充要条件是在上有零点，所以，解得 综上，的取值范围是 ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(1)当时,求的单调递增区间;‎ ‎(2)是否存在,使得对任意的,都有恒成立.若存在,求出的取值范围; 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)‎ 当时,, ∴在上单增,‎ 当>4时,, ∴的递增区间为 ‎ (2)假设存在,使得命题成立,此时.‎ 则在和递减,在递增.‎ ‎∴在[2,3]上单减,又在[2,3]单减.‎ 因此,对恒成立.‎ 即, 亦即恒成立.‎ ‎∴ ∴. 又 故的范围为