2004高考数学全国卷2文科 13页

‎2004年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.‎ 第I卷 球的表面积公式 S=4‎ 其中R表示球的半径，‎ 球的体积公式 V=，‎ 其中R表示球的半径 参考公式：‎ ‎ 如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）‎ ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，则集合= （ ）‎ ‎ A．{} B．{} ‎ ‎ C．{} D． {}‎ ‎2．函数的反函数是 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3．曲线在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5．已知函数的图象过点，则可以是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）‎ ‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎7．函数的图象 （ ）‎ ‎ A．与的图象 关于轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称 ‎ C．与的图象关于轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称 ‎8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|= （ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则 ‎ 球心O到平面ABC的距离为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．函数的最小正周期为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521‎ ‎ 的数共有 （ ）‎ ‎ A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．已知a为实数，展开式中的系数是－15，则 .‎ ‎14．设满足约束条件：‎ ‎ 则的最大值是 .‎ ‎15．设中心的原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .‎ ‎16．下面是关于四棱柱的四个命题：‎ ‎①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ‎ ‎④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列{}， ‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前n项和Sn.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知锐角三角形ABC中，‎ ‎（Ⅰ）求证；‎ ‎（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.‎ 求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；‎ ‎（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，‎ CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，‎ B1C1的中点为M.‎ ‎（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；‎ ‎（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间 ‎（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎ 给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）设的斜率为1，求夹角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设，求在轴上截距的变化范围.‎ ‎2004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题 ‎ C A B C A C D B D B B C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13． 14．5 15． 16．②④‎ 三、解答题 ‎17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以的通项公式为 ‎（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.‎ 于是得的前n项和 ‎ ‎18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，‎ ‎ 满分12分.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ 所以 ‎（Ⅱ）解：，‎ ‎ 即 ，将代入上式并整理得 ‎ ‎ 解得，舍去负值得，‎ ‎ 设AB边上的高为CD.‎ 则AB=AD+DB=‎ 由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.‎ ‎19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用 ‎ 数学知识解决问题的能力，满分12分.‎ ‎（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 ‎ 故有一组恰有两支弱队的概率为 解法二：有一组恰有两支弱队的概率 ‎（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 ‎ ‎ 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为 ‎20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.‎ ‎ 满分12分.‎ 解法一：（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=‎ ‎ ∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，‎ 又知D为其底边A1B的中点，‎ ‎ ∴CD⊥A1B. ∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=‎ ‎ 又BB1=1，A1B=2. ∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，‎ ‎ ∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M.‎ ‎ ∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.‎ ‎ 因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.‎ ‎（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG//CD，FG=CD.‎ ‎ ∴FG=，FG⊥BD.‎ ‎ 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1，‎ ‎ 所以△BB1D是边长为1的正三角形.‎ ‎ 于是B1G⊥BD，B1G= ∴∠B1GF是所求二面角的平面角，‎ ‎ 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 即所求二面角的大小为 解法二：如图，以C为原点建立坐标系.‎ ‎（Ⅰ）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），‎ D（，M（，1，0），‎ 则 ∴CD⊥A1B，CD⊥DM.‎ 因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.‎ ‎（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则 ‎ G（），、、）， ‎ 所以所求的二面角等于 ‎21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 ‎ 用数学知识解决问题的能力.满分12分.‎ ‎ 解：函数的导数 令，解得 ‎ ‎ ‎ 为增函数.‎ 依题意应有 当 所以 解得 所以a的取值范围是[5，7].‎ ‎22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。‎ 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为 将代入方程，并整理得 ‎ 设则有 ‎ 所以夹角的大小为 ‎（Ⅱ）由题设 得 ‎ ‎①‎ ‎②‎ 即 由②得， ∵ ∴③‎ 联立①、③解得，依题意有 ‎∴又F（1，0），得直线l方程为 ‎ ‎ 当时，l在方程y轴上的截距为 由 可知在[4，9]上是递减的，‎ ‎∴ ‎ 直线l在y轴上截距的变化范围为