高考山东理科数学试题及答案word解析版 6页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2014年山东，理1，5分】已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】与互为共轭复数，，故选D．‎ ‎（2）【2014年山东，理2，5分】设集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，，，，，故选C．‎ ‎（3）【2014年山东，理3，5分】函数的定义域为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】或 或，故选C．‎ ‎（4）【2014年山东，理4，5分】用反证法证明命题“设，则方程至少有一个实根”时要做的假设是（ ）‎ ‎ （A）方程没有实根 （B）方程至多有一个实根 ‎（C）方程至多有两个实根 （D）方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是：方程没有实根，故选A．‎ ‎（5）【2014年山东，理5，5分】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，排除A，B，对于C，是周期函数，排除C，故选D．‎ ‎（6）【2014年山东，理6，5分】直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）4‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】，，解得直线和曲线的交点为，，，第一象限面积，故选D．‎ ‎（7）【2014年山东，理7，5分】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床 试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13)，[13,14)，‎ ‎[14,15)，[15,16)，[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，‎ 第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有 ‎20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）‎ ‎（A）6 （B）8 （C）12 （D）18‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一组与第二组频率之和为，，，，故选C．‎ ‎（8）【2014年山东，理8，5分】已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致，故选B．‎ ‎（9）【2014年山东，理9，5分】已知满足的约束条件，当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（ ）‎ ‎（A）5 （B）4 （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方，故选B．‎ ‎（10）【2014年山东，理10，5分】已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】，，，，故选A．‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ‎（11）【2014年山东，理11，5分】执行下面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值 为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据判断条件，得，输入，‎ 第一次判断后循环，；‎ 第二次判断后循环，；‎ 第三次判断后循环，；‎ 第四次判断不满足条件，退出循环，输出．‎ ‎（12）【2014年山东，理12，5分】在中，已知，当时，的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件可知，当，，．‎ ‎（13）【2014年山东，理13，5分】三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别过向平面做高，由为的中点得，由为的中点得，‎ 所以．‎ ‎（14）【2014年山东，理14，5分】若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将展开，得到，令．由，得，‎ 所以．‎ ‎（15）【2014年山东，理15，5分】已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据图像分析得，当与在第二象限相切时，，由恒成立得．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2014年山东，理16，12分】已知向量，函数，且的图像过点和点． ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最 高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间．‎ 解：（1）已知，过点，，‎ ‎，，解得．‎ ‎ （2），左移后得到．‎ 设的对称轴为，解得，，解得．‎ ‎．．‎ ‎ ．的单调增区间为．‎ ‎（17）【2014年山东，理17，12分】如图，在四棱柱中， 底面是等腰 梯形，，，是线段的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）‎ 的余弦值．‎ 解：（1）连接，为四棱柱，，，， ‎ ‎，，为平行四边形，，又， ‎ ‎，．‎ ‎（2）解法一：‎ ‎，，，作，连接，‎ 则即为所求二面角，在中， ，‎ 在中，，， ．‎ 解法二：‎ 作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，，，‎ 显然平面的法向量为，，显然二面角为锐角，‎ 所以平面和平面所成角的余弦值为，．‎ ‎（18）【2014年山东，理18，12分】乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域，，乙被划分为两个不相交的区域，．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在上的概率为，在上的概率为．假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响．求：‎ ‎（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎（2）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．‎ 解：（1）设恰有一次的落点在乙上这一事件为，．‎ ‎（2）的可能取值为，；；；‎ ‎；；． ‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎．‎ ‎（19）【2014年山东，理19，12分】已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ 解：（1），，，成等比，，解得．‎ ‎（2），当为偶数时，‎ ‎，，‎ 当为奇数时，‎ ‎，．‎ ‎（20）【2014年山东，理20，12分】设函数（为常数，是自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．‎ 解：（1），当时，，，‎ ‎ 令，则．当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎（2）令，则，，．，，‎ ‎，，‎ 综上：的取值范围为．‎ ‎（21）【2014年山东，理21，14分】已知抛物线的焦点为，为上异 于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形． ‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线，且和有且只有一个公共点．‎ ‎（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意知．设，则的中点为．因为，‎ 由抛物线的定义知：，解得或（舍去）．由，解得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）（ⅰ）由（1）知．设，，因为，则，‎ ‎ 由得，故．故直线和直线平行，设直线的方程为，‎ ‎ 代入抛物线方程得：，由题意，得．设，‎ 则，．当时，，可得直线的方程为：‎ ‎，由，整理可得：，直线恒过点．‎ 当时，直线的方程为，过点．所以直线过定点．‎ ‎（ⅱ）由（ⅰ）知直线过焦点，所以．‎ ‎ 设直线的方程为，因为点在直线上，故．设，‎ ‎ 直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得：‎ ‎ ．所以，可求得，．‎ ‎ 所以点到直线的距离为：，‎ ‎ 则的面积，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎ 所以的面积的最小值为16．‎