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- 2021-05-13 发布
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第3讲应用问题中的“瓶颈题”
数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1) 函数与不等式模型;(2) 函数与导数模型;(3) 三角函数模型;(4) 数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1) 阅读题目,理解题意;(2) 设置变量,建立函数关系;(3) 应用函数知识或数学方法解决问题;(4) 检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:
分类解密———专题突破
函数与不等式模型的应用题
例1 某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).
(1) 比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;
(2) 应怎样分组,才能使完成任务用时最少?
练习 如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.
(1) 用x,y,a,b表示S;
(2) 若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,
求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.
(练习)
函数与导数模型的应用题
例1 某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).
(1) 将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2) 若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
(例1)
练习 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.
(1) 求出y关于v的函数解析式;
(2) 设00)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.
(1) r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?
(2) 当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?
练习 (2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1) 求新桥BC的长;
(2) 当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
(练习)
数列模型
例1 商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.
(1) 若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:
到哪一年可还清建行全部贷款?
(2) 若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)
练习 某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如,g(3)=.
(1) 求g(10);
(2) 求第x个月的当月利润率;
(3) 该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.
立体几何体模型
例1 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为 m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
(1) 求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;
(2) 求该容器的建造费用最小时半径r的值.
(例1)
【归纳提升】
常见应用问题与数学模型及其处理:
1. 优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.
2. 预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.
3. 最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.
4. 等量关系问题:建立“方程模型”解决.
5. 测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.
总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.
考点1 函数与不等式模型的应用题
【例1】 【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.
【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)==.
单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)==.
(1) g(x)-h(x)=-=,
因为1≤x<214,x∈N,
所以:①当1≤x≤137时,g(x)>h(x);
②当138≤x≤213时,g(x)0).
(2) 因为x,y>0,所以2bx+2ay≥2,当且仅当bx=ay时,等号成立.
从而S≥4+4xy+ab,(*)
令t=,则t>0,
上述不等式(*)可化为4t2+4t+ab-S≤0,
解得≤t≤,
因为t>0,所以00)可得f'(x)=-2ax,P(t,f(t)).
直线MN的斜率k=f'(t)=-2at,则直线MN的方程为y-1+at2=-2at(x-t),
令y=0,可得xM=t+,可得M;
令x=0,可得yM=1+at2,可得N(0,1+at2),
所以S(t)=S△OMN=×(1+at2)×=.
(2) 当t=时,S(t)取得最小值,
S'(t)==,
由题意知S'=0,即12a2×-4a=0,解得a=,
此时S(t)的最小值为S===.
【练习】 【分析】构建函数模型,然后利用导数研究函数的单调性和最值.
【解答】(1) 潜入水底用时单位时间,用氧量为×cv2=30cv;水底作业时用氧量为5×0.4=2;
返回水面用时单位时间,用氧量为×0.2=.
所以y=30cv+2+(v>0).
(2) y=30cv+2+≥2+2=2+12.
当且仅当30cv=,即v=时取等号.
当≤5,即c≥时,v=时,y的最小值为2+12.
当>5,即c<时,y'=30c-=<0,
因此函数y=30cv+2+在(0,5]上为减函数,
所以当v=5时,y的最小值为150c+.
综上,当c≥时,下潜速度为时,用氧量最小为2+12;
当040,所以轮船会受到台风影响.
航程为2=40km,所以当r=60km时,轮船在航行途中受到影响的航程是40km.
【点评】此类问题实际上就是判断直线与圆的位置关系,该类问题的解决有代数法和几何法两种方法.
【练习】 【解答】方法一:
(1) 如图(1)所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.
又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a,b),
则kBC==-,kAB==,
解得a=80,b=120,
所以BC==150(m).
因此新桥BC的长是150m.
(练习(1))
(2) 设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).
由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),
即4x+3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以
即
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.
方法二:
(练习(2))
(1) 如图(2)所示,延长OA,CB交于点F.
因为tan∠FCO=,
所以sin∠FCO=,
cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170,
所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,从而AF=OF-OA=.
因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.
因此新桥BC的长是150m.
(2) 设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,
并设MD=r m,OM=dm(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,
所以
即
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.
考点5 数列模型
【例1】 【分析】将该问题转化为等比数列求和问题.利率问题有两种:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型.若每期存入本金p元,每期利率为r,则n期后本利和为Sn=p(1+r)+p(1+2r)+…+p(1+nr)=p(等差数列问题).②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型.若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n期还清.如果每期利率为r(按复利),那么每期等额还款x元应满足:p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+…+x(1+r)+x(等比数列问题).
【解答】依题意,公寓2012年底建成,2013年开始使用.
(1) 设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1000×800=800000=80(万元),扣除18万元,可偿还贷款62万元.
依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1,
化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1.
所以1.05n≥1.7343,
两边取对数整理得n≥==11.28,所以取n=12.
所以到2024年年底可还清全部贷款.
(2) 设每名学生和每年的最低收费标准为x元,因为到2020年底公寓共使用了8年,
依题意有[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9,
化简得(0.1x-18)≥500×1.059,
所以x≥10
=10
=10×(18+81.2)=992.
故每名学生每年的最低收费标准为992元.
【点评】在经济活动中,如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时,是否是数列问题,一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从特殊的情形入手,再寻找一般的规律.
【练习】 【解答】(1) 依题意得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(9)=1,
所以g(10)==.
(2) 当x=1时,g(1)=.
当1,所以当x=40时,g(x)有最大值为,
即该企业经销此产品期间,第40个月的当月利润率最大,其当月利润率为.
考点6 立体几何体模型
【例1】 【分析】根据球的体积和圆柱的体积公式求出y关于r的函数表达式,再利用导数研究其最值.
【解答】(1) 因为容器的体积为πm3,所以πr3+πr2l=π,
解得l=-r=,
由于l≥2r,所以03,所以c-2>0,当r3=时,即y'=0,
令=m,则m>0,
所以y'=(r-m)(r2+mr+m2).
①当0时,
当r=m时,y'=0;
当r∈(0,m)时,y'<0;
当r∈(m,2)时,y'>0,
所以r=m时函数y取得极小值点,也是最小值点.
②当m≥2,即3时,建造费用最小时r=.
=(x>200).
要使tan∠BPC达到最大,只需x+-288达到最小,由均值不等式可知
x+-288≥2-288,
当且仅当x=时上式取得等号,故当x=320时,tan∠BPC最大,这时,点P的纵坐标为y==60.
由此实际问题知,0<∠BPC<,所以tan∠BPC最大时,∠BPC最大,故当此人距水平地面60m时,观看铁塔的视角∠BPC最大.