2004高考数学试题天津理及答案 8页

‎2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）‎ 第一卷（选择题 共60分）‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么。‎ 如果事件A、B相互独立，那么。‎ 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式。‎ 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. i是虚数单位，=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎3. 若平面向量与向量的夹角是，且，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ‎ A. 1或5 B. ‎6 ‎ C. 7 D. 9‎ ‎5. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 A. B. C. D. ‎ ‎7. 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9. 函数为增函数的区间是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，。分别过BC、 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，。若，则截面 的面积为 A. B. C. D. 16‎ ‎11. 函数（）的反函数是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A. B. C. D. ‎ 第二卷（非选择题 共90分）‎ 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 。‎ ‎14. 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 。‎ ‎15. 若，则 ‎ 。（用数字作答）‎ ‎16. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个。（用数字作答）‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知，（1）求的值；（2）求的值。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎ 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数。‎ ‎ （1）求的分布列；‎ ‎（2）求的数学期望；‎ ‎（3）求“所选3人中女生人数”的概率。‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。‎ ‎ （1）证明PA//平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C—PB—D的大小。‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数在处取得极值。‎ ‎ （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；‎ ‎（2）过点作曲线的切线，求此切线方程。‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：‎ ‎ ，‎ ‎，其中a为常数，k为非零常数。‎ ‎（1）令，证明数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）当时，求。‎ ‎22. （本小题满分14分）‎ ‎ 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。‎ ‎ （1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）若，求直线PQ的方程；‎ ‎（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。‎ ‎2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。‎ ‎1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD 二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。‎ ‎13. 80 14. 15. 2004 16. 300 ‎ 三. 解答题：‎ ‎17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎ （1）解：‎ ‎ 由，有 解得 ‎（2）解法一：‎ 解法二：由（1），，得 ‎∴ ∴‎ 于是，‎ 代入得 ‎18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ ‎ （1）解：可能取的值为0，1，2。 。‎ 所以，的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎（2）解：由（1），的数学期望为 ‎（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为 ‎19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。‎ ‎ 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。‎ ‎ ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 ‎ 在中，EO是中位线，∴PA // EO ‎ 而平面EDB且平面EDB，‎ ‎ 所以，PA // 平面EDB ‎（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴‎ ‎∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，‎ ‎∴。 ①‎ 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。‎ ‎∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。‎ 而平面PDC，∴。 ②‎ 由①和②推得平面PBC。‎ 而平面PBC，∴‎ 又且，所以PB⊥平面EFD。‎ ‎（3）解：由（2）知，，故是二面角C—PB—D的平面角。‎ 由（2）知，。‎ 设正方形ABCD的边长为a，则 ‎， ‎ ‎。‎ 在中，。‎ 在中，，∴。‎ 所以，二面角C—PB—D的大小为。‎ 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。‎ ‎（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。‎ 依题意得。‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且 ‎。‎ ‎∴，这表明PA//EG。‎ 而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。‎ ‎（2）证明；依题意得，。又，故。∴。‎ 由已知，且，所以平面EFD。‎ ‎（3）解：设点F的坐标为，，则 ‎。‎ 从而。所以 ‎。‎ 由条件知，，即 ‎，解得∴点F的坐标为，且 ‎，‎ ‎∴即，故是二面角C—PB—D的平面角。‎ ‎∵，且 ‎，，‎ ‎∴。∴。‎ 所以，二面角C—PB—D的大小为。‎ ‎20. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分。‎ ‎ （1）解：，依题意，，即 ‎ 解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 令，得。‎ 若，则，故在上是增函数，‎ 在上是增函数。‎ 若，则，故在上是减函数。‎ 所以，是极大值；是极小值。‎ ‎（2）解：曲线方程为，点不在曲线上。‎ 设切点为，则点M的坐标满足。‎ 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。‎ 所以，切点为，切线方程为。‎ ‎21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。‎ ‎ （1）证明：由，可得。‎ ‎ 由数学归纳法可证。‎ ‎ 由题设条件，当时 ‎ ‎ 因此，数列是一个公比为k的等比数列。‎ ‎（2）解：由（1）知，‎ 当时，‎ 当时， 。‎ 而 ‎ 所以，当时 ‎ 。‎ 上式对也成立。所以，数列的通项公式为 当时 ‎ 。‎ 上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，‎ ‎（2）解：当时 ‎22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。‎ ‎ （1）解：由题意，可设椭圆的方程为。‎ ‎ 由已知得解得 所以椭圆的方程为，离心率。‎ ‎（2）解：由（1）可得A（3，0）。‎ 设直线PQ的方程为。由方程组 得 依题意，得。‎ 设，则， ①‎ ‎。 ②‎ 由直线PQ的方程得。于是 ‎。 ③‎ ‎∵，∴。 ④‎ 由①②③④得，从而。‎ 所以直线PQ的方程为或 ‎（2）证明：。由已知得方程组 注意，解得 因，故 ‎。‎ 而，所以。‎