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- 2021-05-13 发布
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2017年黄浦区高考数学二模试卷含答案 2017年4月
(完卷时间:120分钟 满分:150分)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分. 其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1.函数的定义域是 .
2.若关于的方程组有无数多组解,则实数_________.
3.若“”是“”的必要不充分条件,则的最大值为 .
4.已知复数,(其中i为虚数单位),且是实数,则实数t等于 .
5.若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是 .
6.设变量满足约束条件 则目标函数的最小值为 .
7. 已知圆和两点,若圆上至少存在一点,使得,则的取值范围是 .
8. 已知向量,,如果∥,那么的值为 .
(第11题图)
9.若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点,则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是
.
10.若将函数的图像向左平移个单位后,所得
图像对应的函数为偶函数,则的最小值是 .
11.三棱锥满足:,,,,
则该三棱锥的体积V的取值范围是 .
12.对于数列,若存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列是以为
周期的周期数列.设,对任意正整数n都有 若数列
是以5为周期的周期数列,则的值可以是 .(只要求填写满足条件的一个m值即可)
二、选择题(本大题共有4题,满分20分.)每题
有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是 ( )
A.y = sin(2x+ B.y = cos(2x+
C.y = sin(x+ D.y = cos(x+
14.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的
表面积是 ( )
A. B.
C. D.
15.已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等
于它到渐近线距离的2倍,则其渐近线方程为 ( )
A. B.
C. D.
16.如图所示,,圆与分别相切于点,
,点是圆及其内部任意一点,且
,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,在直棱柱中,,,分别是的中点.
(1)求证:;
(2)求与平面所成角的大小及点到平面的距离.
18.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分.
在中,角的对边分别为,且成等差数列.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的值.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
如果一条信息有n种可能的情形(各种情形之间互不相容),且这些情形发生的概率分别为,则称(其中)为该条信息的信息熵.已知.
(1)若某班共有32名学生,通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动,试求“谁被选中”的信息熵的大小;
(2)某次比赛共有n位选手(分别记为)参加,若当时,选手获得冠军的概率为,求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
设椭圆M:的左顶点为、中心为,若椭圆M过点,且.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上,试求△APQ面积的最大值;
x
y
(3)过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点,且,求证:直线恒过一个定点.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若函数满足:对于任意正数,都有,且,则称函数为“L函数”.
(1)试判断函数与是否是“L函数”;
(2)若函数为“L函数”,求实数a的取值范围;
(3)若函数为“L函数”,且,求证:对任意,都有
.
高三数学参考答案与评分标准
一、填空题:(1~6题每题4分;7~12题每题5分)
1. ; 2. ; 3.; 4.; 5.; 6. ;
7. ; 8. ; 9.; 10. ; 11. ; 12. (或,或).
二、选择题:(每题5分)
13.A 14.D 15. C 16. B
三、解答题:(共76分)
x
y
z
O
17.解:(1)以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、
为z轴建立如图的空间直角坐标系.
由题意可知,
故,…………………4分
由,
可知,即. …………………6分
(2)设是平面的一个法向量,
又,
故由解得 故. …………9分
设与平面所成角为,则,…………12分
所以与平面所成角为,
点到平面的距离为. …………………14分
18.解:(1)由成等差数列,
可得, …………………2分
故,所以, ………4分
又,所以,故,
又由,可知,故,所以. …………………6分
(另法:利用求解)
(2)在△ABC中,由余弦定理得, …………………8分
即,故,又,故,………………10分
所以
…………………12分
,
故. …………………14分
19.解:(1)由,可得,解之得. …………………2分
由32种情形等可能,故, ……………………4分
所以,
答:“谁被选中”的信息熵为. ……………………6分
(2)获得冠军的概率为,……………8分
当时,,又,
故, ……………………11分
,
以上两式相减,可得,故,
答:“谁获得冠军”的信息熵为. ……………………14分
20.解:(1)由,可知,
又点坐标为故,可得, ……………………………2分
因为椭圆M过点,故,可得,
所以椭圆M的方程为. ……………………………4分
(2)AP的方程为,即,
由于是椭圆M上的点,故可设, ……………………………6分
所以 ……………………………8分
当,即时,取最大值.
故的最大值为. ……………………………10分
法二:由图形可知,若取得最大值,则椭圆在点处的切线必平行于,且在直线的下方. …………………………6分
设方程为,代入椭圆M方程可得,
由,可得,又,故. …………………………8分
所以的最大值. ……………………………10分
(3)直线方程为,代入,可得
,,
又故,, ………………12分
同理可得,,又且,可得且,
所以,,,
直线的方程为, ………………14分
令,可得.
故直线过定点. ………………16分
(法二)若垂直于轴,则,
此时与题设矛盾.
若不垂直于轴,可设的方程为,将其代入,
可得,可得,………12分
又,
可得, ………………14分
故,
可得或,又不过点,即,故.
所以的方程为,故直线过定点. ………………16分
21.解:(1)对于函数,当时,,
又,所以,
故是“L函数”. ………………2分
对于函数,当时,,
故不是“L函数”. ………………4分
(2)当时,由是“L函数”,
可知,即对一切正数恒成立,
又,可得对一切正数恒成立,所以. ………………6分
由,可得,
故,又,故,
由对一切正数恒成立,可得,即. ………………9分
综上可知,a的取值范围是. ………………………10分
(3)由函数为“L函数”, 可知对于任意正数,
都有,且,
令,可知,即, ………………………12分
故对于正整数k与正数,都有
, ………………………………14分
对任意,可得,又,
所以,…………………16分
同理,
故. ……………………………18分