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- 2021-05-13 发布
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1．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：选C．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f1，即0<|x|<1，
所以00
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B．因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
6．(2019·湖北八校联考(一))设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
答案：
7．函数f(x)＝|x－1|＋x2的值域为________．
解析：因为f(x)＝|x－1|＋x2＝，
所以f(x)＝，
作出函数图象如图，
由图象知f(x)＝|x－1|＋x2的值域为.
答案：
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
所以f＝－2＝，
f(2)＝－＝2，解得a＝.
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).
因为1≥x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1x2>0.
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a<0时，f(x)＝2x＋，
当 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当 <1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，
无最大值，当x＝时取得最小值2.
1．已知函数f(x)＝对于任意的x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1，3)
解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)为R上的单调递减函数，则解得1≤a<3.故选D.
2．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C．在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
3．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A．[1，＋∞) B．[0，]
C．[0，1] D．[1，]
解析：选D.因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，]．
4．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a的值是________．
解析：f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，
作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是，所以解得a＝8.
答案：8
5．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝x＋，
当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，
所以g(a)＝f(0)＝；
当012，
由f(x)－f≥－12，
即f(x(x－12))≥f(64)，
所以x2－12x－64＝(x－16)(x＋4)≤0，
得－4≤x≤16，又x>12，所以x∈(12，16]．
故原不等式的解集为{x|12
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