2015高考数学（文）（数列的通项与求和）一轮复习学案 9页

学案31　数列的通项与求和 导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ 自主梳理 ‎1．求数列的通项 ‎(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：‎ an＝ ‎(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．‎ ‎(3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用__________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·.‎ ‎(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．‎ ‎(5)归纳、猜想、证明法．‎ ‎2．求数列的前n项的和 ‎(1)公式法 ‎①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；‎ ‎②等比数列前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法．‎ ‎③常见数列的前n项和：‎ a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；‎ b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；‎ c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；‎ d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；‎ e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.‎ ‎(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．‎ ‎(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．‎ 常见的裂项公式有：‎ ‎①＝－；‎ ‎②＝；‎ ‎③＝－.‎ ‎(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．‎ ‎(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．‎ 自我检测 ‎1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的(　　)‎ A.(3n－1) B.(3n－1)‎ C.(9n－1) D.(9n－1)‎ ‎2．(2011·邯郸月考)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为 (　　)‎ A．－1 B．1‎ C．±1 D．0‎ ‎3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，设bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于 (　　)‎ A．n2＋n B．2(n2＋n)‎ C．2n2＋n D．4(n2＋n)‎ ‎4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an＝log2 (n∈N*)，设{an}的前n项的和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n (　　)‎ A．有最大值63 B．有最小值63‎ C．有最大值31 D．有最小值31‎ ‎5．(2011·北京海淀区期末)设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．‎ ‎6．数列1,4，7，10，…前10项的和为________.‎ 探究点一　求通项公式 例1　已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，求数列{an}的通项公式．‎ 变式迁移1　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 探究点二　裂项相消法求和 例2　已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.‎ 变式迁移2　求数列1，，，…，，…的前n项和．‎ 探究点三　错位相减法求和 例3　(2011·荆门月考)已知数列{an}是首项、公比都为q (q>0且q≠1)的等比数列，bn ‎＝anlog4an (n∈N*)．‎ ‎(1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎(2)当q＝时，若bn1 020，那么n的最小值是 (　　)‎ A．7 B．‎8 ‎ C．9 D．10‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝__________.‎ ‎7．(原创题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为________．‎ ‎8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·河源月考)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，试证明数列{an}是等差数列；‎ ‎(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎10．(12分)(2011·三门峡月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常数，n∈N*)，a2＝6.‎ ‎(1)求c的值及数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋<.‎ ‎11．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1) (n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式bn；‎ ‎(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 答案 自主梳理 ‎1．(2)累加法　(3)累积法　2.(1)①　na1＋d　倒序相加法　②na1　　 ③　n2＋n　n2　　2‎ 自我检测 ‎1．C　2.B　3.B　4.B ‎5．10 100　6.145 课堂活动区 例1　解题导引　已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．‎ 解　已知递推可化为 －＝，‎ ‎∴－＝，－＝，－＝，…，－＝.‎ 将以上(n－1)个式子相加得 －＝＋＋＋…＋，‎ ‎∴＝＝1－.‎ ‎∴an＝.‎ 变式迁移1　(1)证明　由已知有 a1＋a2＝‎4a1＋2，‎ 解得a2＝‎3a1＋2＝5，故b1＝a2－‎2a1＝3.‎ 又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)‎ ‎＝4an＋1－4an；‎ 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，‎ 即bn＋1＝2bn.‎ 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，‎ 所以an＋1－2an＝3×2n－1，‎ 于是－＝，‎ 因此数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ＝＋(n－1)×＝n－，‎ 所以an＝(3n－1)·2n－2.‎ 例2　解题导引　1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．‎ ‎2．一般情况如下，若{an}是等差数列，‎ 则＝，＝.‎ 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．‎ 解　(1)∵n≥2时，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，‎ 两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．‎ 又a1＝2，∴a2＝‎7a1＋2＝16＝‎8a1，‎ ‎∴an＋1＝8an(n∈N*)．‎ ‎∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝2·8n－1＝23n－2.‎ ‎(2)∵bn＝＝ ‎＝(－)，‎ ‎∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(1－)<.‎ ‎∴≥，∴最小正整数m＝7.‎ 变式迁移2　解　an＝＝2，‎ ‎∴Sn＝2·[＋＋…＋]＝2·＝.‎ 例3　解题导引　1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．‎ ‎2．用乘公比错位相减法求和时，应注意：‎ ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ 解　(1)由题意得an＝qn，‎ ‎∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn ‎＝n·5n·log45，‎ ‎∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，‎ 设Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①‎ 则5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②‎ ‎①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1‎ ‎＝－n×5n＋1，‎ ‎∴Tn＝(4n×5n－5n＋1)，‎ Sn＝(4n×5n－5n＋1)log45.‎ ‎(2)∵bn＝anlog4an＝nnlog4，‎ ‎∴bn＋1－bn＝(n＋1)n＋1log4－‎ nnlog4 ‎＝nlog4>0，‎ ‎∵n>0，log4<0，‎ ‎∴－<0，∴n>14，‎ 即n≥15时，bn