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- 2021-05-13 发布
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立体几何讲义
第一部分:空间几何体知识点
一、关键字:
1.左视图面积(效果图)
侧视图面积(效果图)
2.左侧面积(真实面积)
侧面积(真实面积)
表面积、全面积(真实面积)
3.斜棱柱、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、正六面体、正三棱锥、正四面体
二、几个基本概念
1. 棱柱:有两个面相互平行,其余各面都是四边形,且相邻的两个四边形公共边都相互平行
2.直棱柱:侧棱与底面垂直
3.斜棱柱:侧棱与底面不垂直
4.正棱柱:底面为正多边形的直棱柱
5.平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱
6.长方体:底面是矩形的直平行六面体
7.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形
8.正棱锥:底面是正多边形,且顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上
9.棱台:棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的部分
三、基本公式
(是柱体的底面积,是柱体的高)
(是锥体的底面积,是锥体的高)
(是柱体的底面周长,是柱体的高)
( × )
( √ )
四、重要结论
1. 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
2. 正方体内切球直径是正方体棱长, 正方体棱切球直径是正方体面对角线
3.正三角形与正四面体
边长
正三角形
正四面体
4.直六面体
(1)体对角线与三条侧棱夹角分别为,则:
(2)体对角线与三条侧面夹角分别为,则:
5.三棱锥的顶点P在地面ABC内的射影的位置
(1)外心三条侧棱长相等,
侧棱与底面所成线面角相等
(2)内心三条侧面斜高相等,
侧面与底面所成线面角相等
(3)垂心相对棱相互垂直
三条侧棱两两垂直,
(4)P点射影为AB中点,
第二部分:点、直线、平面之间的位置关系
一、线面平行:
①定义:直线与平面无公共点.
②判定定理:(线线平行线面平行)
③性质定理:(线面平行线线平行)
④判定或证明线面平行的依据:(i)定义法(反证):(用于判断);(ii)判定定理:“线线平行面面平行”(用于证明);(iii)
“面面平行线面平行”(用于证明);(4)(用于判断);
二、面面平行:
①定义:;
②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行;
符号表述: 【如下图①】
图① 图②
推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行
符号表述: 【如上图②】
判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据:(1)定义法;(2)判定定理及推论(常用)(3)判定2
④面面平行的性质:(1)(面面平行线面平行);(2);(面面平行线线平行)(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】
三、线面垂直
①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。
符号表述:若任意都有,且,则.
②判定定理:(线线垂直线面垂直)
③性质:(1)(线面垂直线线垂直);(2);
④证明或判定线面垂直的依据:(1)定义(反证);(2)判定定理(常用);(3)(较常用);(4);(5)(面面垂直线面垂直)
四、面面垂直
(1)定义:若二面角的平面角为,则;
(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
(线面垂直面面垂直)
(3)性质:①若,二面角的一个平面角为,则;
②(面面垂直线面垂直);
③. ④