全国统一高考数学真题及逐题详细解析理科—福建卷 13页

‎2014年福建高考数学试题（理）‎ 第Ｉ卷（选择题 共50分）‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的共轭复数等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）‎ 圆柱 圆锥 四面体 三棱柱 ‎3．等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎4．若函数的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A B C D ‎5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎6．直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）‎ 充分而不必要条件 必要而不充分条件 ‎ 充分必要条件 既不充分又不必要条件 ‎7．已知函数则下列结论正确的是（ ）‎ A．是偶函数 B． 是增函数 C．是周期函数 D．的值域为 ‎8．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）‎ A． B ． ‎ C． D． ‎ ‎9．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“‎1”‎表示一个球都不取．“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和篮球都取出来。．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A． B．‎ C． D．‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ ‎11．若变量满足约束条件则的最小值为________‎ ‎12．在中， ,则的面积等于_________‎ ‎13．要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）‎ ‎14．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．‎ ‎15．若集合且下列四个关系：‎ ‎①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在平行四边形中，，．将沿折起，使得平面平面，如图．‎ ‎（1）求证：ABCD；‎ ‎（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 ‎ 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 ‎ 客所获的奖励额．‎ ‎ （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ‎ ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ‎ ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;‎ ‎ （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 ‎ 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励 ‎ 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 ‎ 的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ ‎19．（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为．‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，‎ ‎ 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 ‎ 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。‎ ‎20． （本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处 的切线斜率为-1．‎ ‎（I）求的值及函数的极值；‎ ‎（II）证明：当时，；‎ ‎（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．‎ ‎21．（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵的逆矩阵．‎ ‎ （I）求矩阵；‎ ‎ （II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．‎ ‎22．（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为参数）．‎ ‎ （I）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎23．（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知定义在R上的函数的最小值为．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若为正实数，且，求证：．‎ 参考答案 一．选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，共50分．‎ ‎1．C[解析] 由复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数z的共轭复数z＝2－3i.‎ ‎2．A[解析] 由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形 ‎3．C[解析] 设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.‎ ‎4．B[解析] 由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.‎ 选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．‎ ‎5．B[解析] 输入S＝0，n＝1，第一次循环，S＝0＋2＋1＝3，n＝2；‎ 第二次循环，S＝3＋22＋2＝9，n＝3；‎ 第三次循环，S＝9＋23＋3＝20，n＝4，满足S≥15，结束循环，输出S＝20‎ ‎6．A[解析] 由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d＝<1，解得k≠0.‎ 当k＝1时，d＝，|AB|＝2＝，则△OAB的面积为××＝；‎ 当k＝－1时，同理可得△OAB的面积为，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．‎ ‎7．D[解析] 由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；‎ 当x>0时，令f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；‎ 当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈[－1，1]；‎ ‎∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．‎ ‎8．B[解析] 由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ‎9．D[解析] 设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝.设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，‎ ‎∴|CQ|＝＝＝，‎ 当y0＝－时，|CQ|有最大值5　，‎ 则P，Q两点间的最大距离为5　＋r＝6　 ‎10．A[解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5‎ 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分。‎ ‎11． 1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，‎ 把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，则当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1.‎ ‎12． [解析] 由＝，得sin B＝＝1，‎ ‎∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，‎ 则S△ABC＝·AC·BCsin C＝×4×2sin 30°＝2，即△ABC的面积等于2 ‎ ‎13． 160 [解析] 设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为‎4 m3‎，高为‎1 m得，另一边长为 m.‎ 记容器的总造价为y元，则 y＝4×20＋2×1×10＝80＋20≥80＋20×2＝160(元)，‎ 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．‎ 因此，当x＝2时，y取得最小值160元，‎ 即容器的最低总造价为160元．‎ ‎14． [解析] 因为函数y＝ln x的图像与函数y＝ex的图像关于正方形的对角线所在直线y＝x对称，则图中的两块阴影部分的面积为 S＝2ln xdx＝2(xln x－x)1＝2[(eln e－e)－(ln 1－1)]＝2，‎ 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P＝. ‎ ‎15． 6 [解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；‎ 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.‎ 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；‎ 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；‎ 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎16．本小题主要考查同角三角函数的基本关系．二倍角公式．两角和与差的三角函数及三角函数的 图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分13分．‎ 解法一：(1)因为所以．‎ 所以 ‎ ‎(2)因为,所以．由得．所以的单调递增区间为．‎ 解法二：‎ ‎（1）因为所以 从而 ‎（2）‎ 由得．所以的单调递增区间为．‎ ‎17． 本小题主要考查空间直线与直线．直线与平面．平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想 象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．化归与转化思想．函数与方程思想。满分13分。‎ 解：(1)因为平面,平面平面平面所以平面又平面所以． ‎ ‎(2)过点在平面内作,如图． ‎ 由(1)知平面平面平面所以．‎ 以为坐标原点,分别以的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 依题意,得．‎ 则．‎ 设平面的法向量．‎ 则即．‎ 取得平面的一个法向量．‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎18．本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望．方差等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然与或然思想．分类与整合思想。满分13分。‎ ‎ 解：(1)设顾客所获的奖励为X． ‎ ‎①依题意,得．‎ 即顾客所获得的奖励额为60元的概率为．‎ ‎②依题意,得X的所有可能取值为20,60． ‎ ‎．‎ 即X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P ‎0．5‎ ‎0．5‎ 所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）．‎ ‎(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1．‎ 对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2．‎ 以下是对两个方案的分析:‎ 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为 ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的期望为, ‎ 的方差为．‎ 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为 ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的期望为, ‎ 的方差为．‎ 由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2．‎ ‎19． 本小题主要考查双曲线的 方程与性质．直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力．推理论证能力．运算求解能力，考查特殊与一般思想．数形结合思想．分类与整合思想．函数与方程思想。满分13分。‎ 解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和．‎ 所以,‎ 从而双曲线E的离心率．‎ ‎(2)由(1)知,双曲线E的方程为． ‎ 设直线与x轴相交于点C．‎ 当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则,‎ 又因为的面积为8,‎ 所以．‎ 此时双曲线E的方程为．‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为．‎ 以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件． ‎ 设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2．‎ 则，记．‎ 由,得,同理得．由得, 即．‎ 由得, ．因为,‎ 所以,‎ 又因为．所以,即与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为．‎ ‎20．本小题主要考查导数的运算及导数的应用．全称量词等基础知识的考查运用，考查抽象概括能力．推理论证能力，考查函数与方程思想．有限与无限思想．化归与转化思想．分类与整合思想．函数与方程思想等。 满分14分。‎ 解法一：（I）由，得．又,得．所以 ‎．令,得．当时, 单调递减;当时, 单调递增．所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值．‎ ‎（II）令,则．由（I）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即．‎ ‎（III）①若,则．又由（II）知，当时, ．所以当时, ．取,当时，恒有．‎ ‎②若,令,要使不等式成立，只要成立．而要使成立，则只要,只要成立．令,则．所以当时, 在内单调递增．取,所以在内单调递增．又．易知．所以．即存在,当时，恒有．‎ 综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有．‎ 解法二：（I）同解法一 ‎（II）同解法一 ‎（III）对任意给定的正数c，取 由（II）知，当x>0时，，所以 当时， ‎ 因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有．‎ ‎21．（1）选修4—2：矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵．矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ ‎（I）因为矩阵A是矩阵的逆矩阵,且,所以 ‎．‎ ‎（II）矩阵的特征多项式为,令,得矩阵的特征值为或,所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量． 是矩阵的属于特征值的一个特征向量．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查直线与圆的 参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ ‎（I）直线的普通方程为．圆C的普通方程为．‎ ‎（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式．柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。‎ ‎（I）因为,当且仅当时,等号成立,‎ 所以的最小值等于3,即．‎ ‎（II）由（I）知,又因为是正数,‎ 所以,‎ 即．‎