高考冲刺数学导数三角函数函数及其应用专题复习 21页

高中应用题专题复习 ‎[考点概述]‎ 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。‎ 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。‎ 一、求解应用题的一般步骤：‎ ‎1、审清题意：‎ 认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)‎ ‎2、建立文字数量关系式：‎ 把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。‎ ‎3、转化为数学模型：‎ 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。‎ ‎4、解决数学问题：‎ 利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。‎ ‎5、返本还原：‎ 把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。‎ 二、应用题的常见题型及对策 ‎1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型 ‎ 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。‎ 解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。‎ ‎2、与数列有关的问题 常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。‎ 解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。‎ ‎3、与空间图形有关的问题 常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。‎ 解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。‎ ‎4、与直线、圆锥曲线有关的题型 常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。‎ 常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。‎ ‎5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型 常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。‎ ‎6、与排列、组合有关的问题 运用排列、组合等知识解决 ‎7、与概率、统计有关的应用问题 一． 代数的应用题 ‎1．求函数表达式：‎ 例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元。把总造价y表示为底的一边长x米的函数，并指出函数的定义域。‎ 解：容积=底面积×高= 48 Þ 底面积×3 = 48 Þ 底面另一边长：m = ‎ 池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +)a = 6(x +)a ‎ 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a ‎ ‎∴ y = 6(x +)a + 32a ( x > 0 )‎ ‎2．面积问题：‎ 思考题：在上面的例1中，如何设计水池的长宽，使总造价最低？‎ x ‎2x 例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计. ‎ 解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x ‎ ∴ 窗框的高为3x，宽为 ‎ 即窗框的面积 y = 3x ·= -7x2 + 6x ( 0 < x <)‎ ‎ 配方：y = ( 0 < x < 2 )‎ ‎∴ 当x =米时，即上框架高为米、下框架为米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大.‎ ‎3．利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润×销售量 例3．某工厂生产的产品每件单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50000元. 如果该工厂计划每月至少获得200000的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？‎ 解：设每月生产x件产品，则 总收入为80x, 直接生产成本为60x, 其他开支50000元，即知总成本为60x + 50000‎ ‎∴ 每月利润是：总收入-总成本= 80x - ( 60x + 50000 ) = 20x - 50000‎ 依题意有：20x - 5000≥200000 Þ x≥12500‎ 答：该工厂每月至少要生产12500件产品.‎ 例4. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。如何确定该商品的销售单价，使利润最大？‎ 分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2‎ ‎ （2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x元（即可看成涨了x次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x元, 销售量为100 -10x个 ‎ ∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360‎ 即当x = 4时，y有最大值360‎ ‎ ∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.‎ ‎4．与增长率相关的问题：‎ ‎〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x年 ‎ ‎ 增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x年 ‎ 例5. 一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量每年比上一年增加p%. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.‎ 解：设经过x年后，年产量为y, 则y = a( 1 + p%)x ‎ 例6. 某工厂总产值经过10年翻一番（2倍），求每年比上一年平均增长的百分数.‎ 解：设原来总产值为a, 平均增长率为x，则经过10年的总产值为 a( 1 + x )10 ‎ ‎ 即有：a( 1+ x )10 = 2a Þ 1+ x = ‎ ‎ 取常用对数：lg( 1 + x ) == 0. 0301 Þ 1 + x = 1. 072 Þ x = 0.072 = 7.2%‎ ‎ ∴ 每年比上一年平均增长7.2%.‎ 例7. 电视机厂生产的电视机台数，如果每年平均比上一年增长10.4%，那么约经过多少年可以增长到原来的2倍（保留一位有效数字）？（普高课本代数上册P. 97. 例2）‎ 解：设经过x年可以增长到原来的2倍，则 ‎( 1 + 10.4%)x = 2 Þ xlg1.104 = lg2 Þ 答：大约经过7年.‎ ‎5．记数问题：‎ 例8. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm, 将梯形的一条腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和. ‎ 解：由平面几何知识可知：等腰梯形的上下底与夹在两腰之间的线段长度成等差数列 ‎∵ a1 = 12, a11 = 22 ∴ 公差d =‎ ‎∴ 所求的线段长度的和为a2 + a3 +…+a10 =‎ 例9. 画一个边长2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：‎ （1） 第10个正方形的面积 （2） 这10个正方形的面积的和 解：（1）设{an}表示各正方形的面积 ‎∵ a1 = 22 = 4, a2 = ()2, a3 = 42 = 8‎ ‎∴ {an}是公比为2的等比数列 第10个正方形的面积a10 = a1q9 = 4×29 = 2048 (厘米2)‎ ‎（2）这10个正方形的面积和 （厘米2）‎ 例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？‎ 解：设球落下的高度依次为a1, a2, …, a10 .‎ ‎∵ a1 = 100, a2 = 50, a3 = 25 ∴ {an}是公比为的等比数列 则球第10次落下时落下的路程为 ‎∴本球共经过的路程为S = 2S10 - 100 ≈300 （米）‎ ‎6．图表应用题 例11．中国人民银行某段时间内规定的整存整取定期储蓄的年利率如下表：‎ 存期 ‎1年 ‎2年 ‎3年 ‎5年 年利率（%）‎ ‎2.25‎ ‎2.43‎ ‎2.70‎ ‎2.88‎ 个人存款取得的利息应依法纳税20%. 现某人存入银行5000元，存期3年，试问3‎ 年到期后，这个人取得的银行利息是多少？应纳税多少？实际取出多少？‎ 解：∵ 三年后连本带利一共有：5000( 1 + 2.7%)3≈5416.03（元）‎ ‎∴ 银行利息一共有：5000( 1 + 2.7%)3 - 5000 = 416.03（元）‎ 应纳税：416. 03×20% = 83.21（元），实际取出的金额：5416.03 - 83.21 = 5332.82（元）‎ 例12．光明牛奶加工厂，可将鲜奶加工制成酸奶或奶片，该工厂的生产能力如表1，在市场上销售鲜奶、酸奶、奶片的利润如表2.‎ 表一： 表二：‎ 品种 每天加工吨数 品种 每吨获利润（元）‎ 酸奶 ‎3‎ 鲜奶 ‎500‎ 奶片 ‎1‎ 酸奶 ‎1200‎ 奶片 ‎2000‎ 光明牛奶加工厂现有鲜奶9吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须4天内全部销售或加工完毕. 为此，该厂设计了两种可行方案：‎ 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶.‎ 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.‎ 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？‎ 解：方案一：四天制成奶片4吨用去牛奶4吨，其余5吨牛奶卖掉 利润为：4×2000 +5×500 = 10500（元）‎ 方案二：设制做奶片所需牛奶x吨，制做酸奶所需牛奶y吨，则制做奶片共用= x天，制做酸奶共用天，依题意得：‎ ‎ Þ x = 1.5, y = 7.5，即制成奶片1.5吨，酸奶7.5吨 ‎∴ 利润为：1.5×2000 + 7.5×1200 = 12000（元）‎ 由上可知：第二种方案获得的利润大.‎ 一． 三角的应用题 ‎1．弧长问题 例13．某蒸汽机上的飞轮直径为1.2m，每分钟按逆时针方向旋转300转，求：‎ ‎（1）飞轮每秒钟转过的弧度数;‎ ‎（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长. ‎ 解：( 1 ) ∵飞轮半径r = 0.6m, 每秒钟逆时针旋转5转 ‎∴飞轮每秒钟转过的弧度数是5×2p = 10p ‎( 2 ) 轮周上一点每秒钟经过的弧长l = 10p×0.6 = 6p (m)‎ ‎2．电学 例14．电流I随时间t变化的函数关系式是I = Asinωt. 设ω= 100p (rad /秒)，A = 5（安培）.‎ ‎（1）求电流强度I变化的周期与频率;‎ ‎（2）当t = 0,,,,(秒)时，求电流强度I 解：( 1 ) 周期T ==, 频率f =‎ ‎( 2 ) ∵I = 5sin100pt ‎ ‎∴I (0) = 0, I () = 5sin= 5, I () = 5sinp = 0, ‎ I () = 5sin= -5, I () = 5sin2p = 0‎ ‎3．利用三角函数解决有关面积问题 q ‎2R ‎2Rcosq ‎2Rsinq 例15．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？‎ 解：如图，设矩形对角线与一边的夹角为q ‎ 则矩形的长为2Rcosq, 宽为2Rsinq ‎ ‎ ∴ 矩形面积S = 4R2sinqcosq = 2R2sin2q 当q = 45°时，Smax = 2R2, 即横截面为正方形时面积最大.‎ 一． 解析几何中的应用题 例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？‎ ‎2‎ ‎4‎ x y ‎0‎ 解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x2 = -2py 依题意知：x = 2时，y = -2代入方程得p = 1‎ ‎ 即抛物线方程为 x2 = -y, 当水面下降1米时，y = -3 Þ x =‎ ‎ ∴ 水面宽为2x =≈3.5 (米)‎ B A O y x F1‎ F2‎ ‎·‎ ‎·‎ 例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地 球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439千米，‎ 远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫 星的轨道方程.‎ 解：如图建立坐标系 ‎∵ a -c = |OA| - | OF2| = |F2A| = 6371 + 439 = 6810‎ a + c = |OB| + |OF2| = |F2B| = 6371 + 2384 = 8755‎ ‎∴ a = 7782.5, c = 972.5 Þ b2 = 7721.52 ‎ 即卫星的轨道方程是：‎ 例18．在相距1400米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.‎ 解：设爆炸t秒后A哨所先听到爆炸声，则B哨所t + 3秒后听到爆炸声，爆炸点设为M ‎ 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020‎ ‎ 两式相减：|MA| - |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)‎ B A O y x M ‎ ∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线 以AB为x轴、AB中点为原点建立直角坐标系（如图）‎ ‎∴ A(-700, 0 ), B( 700, 0 ) Þ c = 700‎ 且 2a = 1020 Þ a = 510 Þ b2 =229900‎ ‎ 炮弹爆炸的轨迹方程是： ( x > 0 )‎ 例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P处紧急运往灾区. P往灾区有两条道路PA、PB，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.‎ M P A B 解：要使沿PA、PB两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：‎ ‎（1）沿PA线路 （2）沿PB线路 （3）沿PA、PB线路都相同 故分界线以第（3）种情况划分：即 ‎ |PA| + |MA| = |PB| + |MB| Þ 110 + |MA| = 150 + |MB| ‎ ‎∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A、B为焦点的双曲线 ‎ AB = 50 Þ 2c = 50 Þ c = 25, 2a = 40 Þ a = 20 Þ b2 = 225‎ 若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直角坐标系 则分界线方程是： （在矩形内的一段）‎ 注意：确定分界线的原则是：从P沿PA、PB到分界线上点的距离.‎ 练习：‎ ‎1某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．‎ ‎（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；‎ ‎（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？‎ ‎2‎ 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4m，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。‎ （1） 写出车距d关于车速v的函数关系式;‎ （2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？‎ ‎3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）‎ （1） 若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？‎ （2） 方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？‎ （3） 通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？‎ ‎4在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化. 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画. 其中：正整数表示月份且，例如时表示1月份；和是正整数；.‎ 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：‎ ‎① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；‎ ‎② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；‎ ‎③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.‎ （1） 试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；‎ ‎（2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”. 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.‎ ‎5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。‎ 已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元 (1) 设半圆的半径OA= (米),试建立塑胶跑道 面积S与的函数关系S() ‎ (2) 由于条件限制,问当取何值时,运动场 造价最低?（精确到元）‎ ‎6某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成=10%），售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．‎ ‎（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的取值范围．‎ ‎7国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各种类型家庭的n如下表所示：‎ 家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕 n n>60%‎ ‎50%7时 y=360x+236+70+6[()+()+……+2+1] ‎ ‎ = ………7分 ‎ ∴ ………8分 ‎ ‎ ∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元 ‎ …………11分 当x≤7时 ‎ 当且仅当x=7时 ‎ f(x)有最小值（元）‎ 当x＞7时 ‎=≥393 ‎ ‎ 当且仅当x=12时取等号 ‎∵393<404‎ ‎∴当x=12时 f(x)有最小值393元 ………16分 ‎20（1）2008年A型车价格为32+32×25%=40（万元）‎ 设B型车每年下降d万元，2003，2003，…，2008年B型车价格分别为…，为公差是－d的等差数列）‎ 即 故每年至少下降2万元。‎ ‎（2）2008年到期时共有钱33‎ ‎（万元）‎ 故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车。‎ ‎：‎