全国卷高考文科数学解析版 11页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）‎ 数学（文史类）‎ 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ｉ卷 注意事项：‎ ‎１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径 次独立重复试验中恰好发生次的概率是 一．选择题 ‎（1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( )‎ ‎（A）9 (B)6 (C)5 (D)3‎ ‎（2）已知集合，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）函数的最小正周期是( )‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ ‎（4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( )‎ ‎（A）　　（B） （C）　（D）‎ ‎（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )‎ ‎（A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12‎ ‎（6）已知等差数列中，，则前10项的和＝( )‎ ‎（A）100 (B)210 (C)380 (D)400‎ ‎（7）如图，平面平面，与两平面、‎ 所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( )‎ ‎（A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9‎ ‎（8）已知函数，则的反函数为( )‎ ‎（A）　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　（D）‎ ‎（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ ‎（10）若则( )‎ ‎（A）　（B） （C）　　（D）‎ ‎（11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )‎ ‎（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。‎ ‎（13）在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）‎ ‎（14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。‎ ‎（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 ‎（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。‎ 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分１２分）‎ 在,求 ‎（1）‎ ‎（2）若点 ‎（18）（本小题满分１２分）‎ 设等比数列的前n项和为，‎ ‎（19）（本小题满分１２分）‎ 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。‎ ‎（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。‎ ‎（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。‎ ‎（20）（本小题１２分）‎ 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。‎ ‎（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；‎ ‎（II）设求二面角的大小 ‎(21）（本小题满分为１４分）‎ 设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。‎ ‎（22）（本小题满分１２分）‎ 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。‎ ‎（I）证明为定值；‎ ‎（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）‎ 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华）‎ 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ｉ卷 注意事项：‎ ‎１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径 次独立重复试验中恰好发生次的概率是 一．选择题 ‎（1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( B )‎ ‎（A）9 (B)6 (C)5 (D)3‎ 解：//Þ4×3－2x＝0，解得x＝6，选B ‎（2）已知集合，则( D )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：,用数轴表示可得答案D ‎（3）函数的最小正周期是(D )‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ 解析: 所以最小正周期为,故选D ‎（4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( D )‎ ‎（A）　　（B） （C）　（D）‎ 解：以－y，－x代替函数中的x，，得 的表达式为 ‎，选D ‎（5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( C )‎ ‎（A）　　　　（B）6　　　　（C）　　　　（D）12‎ 解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C ‎（6）已知等差数列中，，则前10项的和＝(B )‎ ‎（A）100 (B)210 (C)380 (D)400‎ 解：d＝，＝3，所以 ＝210，选B ‎（7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( A )‎ ‎（A）4　　　（B）6 （C）8　　　　（D）9‎ 解：连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A ‎（8）已知函数，则的反函数为(B )‎ ‎（A）　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　（D）‎ 解：所以反函数为故选B ‎（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( A )‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ 解：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎（10）若则(C )‎ ‎（A）　（B） （C）　　（D）‎ 解：‎ 所以,因此故选C ‎（11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( D )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且 于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得 ‎＝0或－4，代入可验正D正确。选D ‎（12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( A )‎ ‎（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3‎ 若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种 所以共有150种，选A 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。‎ ‎（13）在的展开式中常数项是45。（用数字作答）‎ 解： 要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得 ‎（14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比1 : 3。‎ 解：设圆的半径为r，则＝，＝，由得r : R＝: 3‎ 又，可得1 : 3‎ ‎（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 解：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以 ‎（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。‎ 解：由直方图可得（元）月收入段共有人 按分层抽样应抽出人 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分１２分）‎ 在,求 ‎（1）‎ ‎（2）若点 ‎（18）（本小题满分１２分）‎ 设等比数列的前n项和为，‎ ‎（19）（本小题满分１２分）‎ 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。‎ ‎（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。‎ ‎（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。‎ ‎（20）（本小题１２分）‎ 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。‎ ‎（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；‎ ‎（II）设求二面角的大小 ‎(21）（本小题满分为１４分）‎ 设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。‎ ‎（22）（本小题满分１２分）‎ 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。‎ ‎（I）证明为定值；‎ ‎（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。‎ ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）‎ 数学（文史类）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D D D C B B B A C D A 二、填空题 ‎（13）45；（14）；（15）；（16）25‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）由 由正弦定理知 ‎（2）‎ 由余弦定理知 ‎（18）解：设的公比为q，由，所以得 ‎……………………………………①‎ ‎……………………………………②‎ 由①、②式得 整理得 解得 所以 q＝2或q＝－2‎ 将q＝2代入①式得，‎ 所以 将q＝－2代入①式得，‎ 所以 ‎19解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；‎ 表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；‎ ‎（1）依题意所求的概率为 ‎(2)解法一：所求的概率为 解法二：所求的概率为 ‎20．解法一：‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ O F ‎（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ‎∵AB＝BC，∴BO⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，‎ ‎∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 ‎（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，‎ ‎∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠‎ A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．‎ 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，‎ tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．‎ 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．‎ 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．‎ 则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ O z x y ＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．‎ ·＝0，∴ED⊥BB1．‎ 又＝(－2a，0，2c)，‎ ·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．‎ ‎（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，‎ ＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，‎ ·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，‎ ‎∴BC⊥平面A1AD．‎ 又　　E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，‎ ＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，‎ ·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，‎ ‎∴　　EC⊥面C1AD．　　……10分 cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．‎ 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 ‎（21）解：由f（x）为二次函数知 令f（x）＝0解得其两根为 由此可知 ‎（i）当时，‎ 的充要条件是，即解得 ‎（ii）当时，‎ 的充要条件是，即解得 综上，使成立的a的取值范围为 ‎22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，‎ 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， ‎ 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③‎ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，‎ 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．‎ 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0‎ 所以·为定值，其值为0．　　　……7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．‎ ‎|FM|＝＝ ‎＝ ‎＝＝＋．‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 ‎|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．‎ 于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，‎ 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．‎