高考数学试题山东卷文科 12页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（山东卷）文科数学全解全析 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，‎ 选择一个符合题目要求的选项．‎ ‎1．复数的实部是（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】:B【分析】：将原式，所以复数的实部为2。‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】:C【分析】：求。‎ ‎3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ ‎①正方形 ‎②圆锥 ‎③三棱台 ‎④正四棱锥 A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】D【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。‎ ‎4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】A【分析】： 本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数。注意题中给出的函数不同名，而，故应选A。‎ ‎5．已知向量，若与垂直，则（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【答案】:C【分析】：，由与垂直可得：‎ ‎， 。‎ ‎6．给出下列三个等式：，‎ ‎．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A满足，‎ C满足，而D满足，‎ B不满足其中任何一个等式.‎ ‎7．命题“对任意的”的否定是（ ）‎ A．不存在 B．存在 C．存在 D．对任意的 ‎【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。‎‎0‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 秒 频率/组距 ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.18‎ ‎0.34‎ ‎0.36‎ ‎8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，‎ 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于 ‎15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方 图中可以分析出和分别为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】 A【分析】：从频率分布直方图上可以看出，‎ ‎.‎ 开始 输入 结束 输出S，T 否 是 ‎9．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，‎ 与轴正向的夹角为，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B【分析】：（利用圆锥曲线的第二定义）‎ 过A 作轴于D，令，‎ 则，，。‎ ‎10．阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的 变量和的值依次是（ ）‎ A．2550，2500 ‎ B．2550，2550 ‎ C．2500，2500 ‎ D．2500，2550‎ ‎【答案】A.【试题分析】：依据框图可得，。‎ ‎11．设函数与的图象的交点为，‎ 则所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.【试题分析】令，可求得：‎ ‎。易知函数的零点所在区间为。‎ ‎12．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定 平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件 ‎，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎ C．2和5 D．3和4‎ ‎【答案】D【试题分析】事件的总事件数为6。只要求出当n=2,3,4,5时 的基本事件个数即可。‎ 当n=2时，落在直线上的点为（1，1）；‎ 当n=3时，落在直线上的点为（1,2）、（2,1）；‎ 当n=4时，落在直线上的点为（1,3）、（2,2）；‎ 当n=5时，落在直线上的点为（2,3）；‎ 显然当n=3,4时，事件的概率最大为。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．‎ ‎13．设函数则 ．‎ ‎【答案】【分析】：‎ ‎。‎ ‎14．函数的图象恒过定点，若点在直线 上，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】:4【分析】：函数的图象恒过定点，‎ ‎，，，‎ ‎（方法一）：， .‎ ‎（方法二）：‎ ‎15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】【分析】：构造函数：。由于当时，‎ 不等式恒成立。则，即 ‎。解得：。‎ ‎16．与直线和曲线都相切的 半径最小的圆的标准方程是 ．‎ ‎【答案】:. ‎ ‎【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求．‎ 解：（1）‎ ‎ 又 ‎ 解得．‎ ‎ ，是锐角．‎ ‎ ．‎ ‎（2），，．‎ ‎ 又 ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，‎ 且构成等差数列．‎ ‎（1）求数列的等差数列．‎ ‎（2）令求数列的前项和．‎ 解：（1）由已知得 ‎ 解得．‎ ‎ 设数列的公比为，由，可得．‎ 又，可知，‎ 即，‎ 解得．‎ 由题意得．‎ ‎．‎ 故数列的通项为．‎ ‎（2）由于 ‎ 由（1）得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 是等差数列．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？‎ ‎0‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ y x l M 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，‎ 由题意得 ‎ 目标函数为．‎ ‎ 二元一次不等式组等价于 ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．‎ ‎ 如图：‎ ‎ 作直线，‎ ‎ 即．‎ ‎ 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值． ‎ ‎ 联立解得．‎ ‎ 点的坐标为．‎ ‎ （元）‎ 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，‎ 最大收益是70万元．‎ B C D A ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直四棱柱中，已知 ‎，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设是上一点，试确定的位置，‎ 使平面，并说明理由．‎ ‎（1）证明：在直四棱柱中，‎ ‎ 连结， ，‎ ‎ 四边形是正方形．‎ ‎ ．‎ B C D A ‎ 又，，‎ ‎ 平面，‎ ‎ 平面，‎ ‎ ．‎ ‎ 平面，‎ ‎ 且，‎ ‎ 平面，‎ B C D A M E ‎ 又平面，‎ ‎ ．‎ ‎（2）连结，连结，‎ ‎ 设，‎ ‎ ，连结，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 要使平面，‎ ‎ 须使，‎ ‎ 又是的中点．‎ ‎ 是的中点．‎ ‎ 又易知，‎ ‎ ．‎ ‎ 即是的中点．‎ ‎ 综上所述，当是的中点时，可使平面．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数，其中．‎ ‎ 证明：当时，函数没有极值点；当时，‎ 函数有且只有一个极值点，并求出极值．‎ 证明：因为，所以的定义域为．‎ ‎ ．‎ ‎ 当时，如果在上单调递增；‎ ‎ 如果在上单调递减．‎ ‎ 所以当，函数没有极值点．‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令，‎ ‎ 得（舍去），，‎ ‎ 当时，随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极小值 从上表可看出，‎ ‎ 函数有且只有一个极小值点，极小值为．‎ ‎ 当时，随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极大值 ‎ 从上表可看出，‎ 函数有且只有一个极大值点，极大值为．‎ ‎ 综上所述，‎ ‎ 当时，函数没有极值点；‎ ‎ 当时，‎ ‎ 若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．‎ ‎ 若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，‎ 由已知得：，，‎ ‎，，‎ ‎　椭圆的标准方程为　‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 联立 得，‎ 又，‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，　‎ 解得：，，且均满足，‎ 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ 当时，的方程为，直线过定点　‎ 所以，直线过定点，定点坐标为　‎