2017年度高考数学（文）二模试题（上海市闵行区） 8页

上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研考试（二模）‎ 数学（文）试题 考生注意：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写．‎ ‎2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．‎ ‎3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．‎ 一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1． ．‎ ‎2．关于方程的解为 ．‎ ‎3．已知全集，集合，则= ．‎ ‎4．设，向量，，且，则 ．‎ ‎5．在中，若，，，则 ．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ 第7题图 ‎6．若点位于曲线与所围成的封闭区域内(包 括边界), 则的最小值为 ．‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎8．复数(，且)，若是实数，‎ 则有序实数对可以是 ．（写出一对即可）‎ ‎9．已知关于的不等式的解集 为，则实数的取值范围 ．‎ ‎10．将函数的图像向右平移个单位长 度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ．‎ ‎11．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 ．‎ ‎12．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．‎ ‎13．已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．‎ ‎14．对于函数，有下列4个命题：‎ ‎ ①任取，都有恒成立；‎ ‎②，对于一切恒成立；‎ ‎③函数有3个零点；‎ ‎④对任意，不等式恒成立．‎ 则其中所有真命题的序号是 ．‎ 二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．下列命题中，错误的是（ ）．‎ ‎（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行 ‎（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 ‎（C）若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面 ‎（D）垂直于同一个平面的两条直线平行 ‎16．已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎17．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎18．已知等差数列的前项和为，向量，， ，且，则用表 示（ ）．‎ ‎（A）      （B）       （C）     （D）‎ 三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ B A C E D 第19题图 如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．‎ x y A B C O 第20题图 如图，点A、B是单位圆上的两点，点C是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到.‎ ‎（1）若点A的坐标为，求的值；‎ ‎（2）用表示，并求的取值范围.‎ ‎21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．‎ 东 北 A B C O 第21题图 ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ Z 为了寻找马航残骸,我国“雪龙号”科考船于‎2014年‎3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且.现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资后，继续沿方向全速追赶科考船，并在处相遇给科考船补给物资．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优.‎ ‎ （1）求关于的函数关系式；‎ ‎ （2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ ‎ ‎ ‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．‎ 设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点F作直线，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎（1）求，的标准方程；‎ ‎（2）设是准线上一点，直线的斜率为，的斜率依次为，请探究：与的关系；‎ x y A B C D F0‎ O F 第22题图 ‎（3）若与交于C、D两点，为的左焦点，问是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.‎ ‎23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．‎ 已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，……，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．‎ ‎（1）指出，并求与的关系式（）；‎ ‎（2）求（）的通项公式，并指出点列，，…，，… 向哪一点无限接近？说明理由；‎ ‎（3）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．‎ 参考答案 一. 填空题1．； 2．2； 3．； 4．； 5．； 6． (文) -5； 7．（文）； 8． 或满足的任意一对非零实数对； 9．（文）； 10． (文) 6； 11．4； 12． (文) ； 13．39366（） 14．（文）①③④．‎ 二. 选择题 15． B； 16． A； 17．C； 18． C B A C E D 第19题图 O F 三.解答题19. 解：（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）‎ 又在正三角形中得，所以 ‎ ‎……………………………（理2分文4分）‎ 取中点，连结、，故∥，‎ 所以就是异面直线与所成的角．（理4分文6分）‎ 在△中，，，…………………（理5分文8分）‎ ‎ 所以．…………………（理6分文10分）‎ 所以，异面直线与所成的角的大小为．……（理7分文12分）‎ ‎（2）由可得正三棱锥的侧面积为 ‎ …………………（理10分）‎ 所以正三棱锥的表面积为 ‎． …………………………（理12分）‎ ‎20.解：（1）由已知， ………（2分）‎ ‎ ………（4分）‎ ‎=.………………………………………………（6分）‎ ‎（2）……………………（8分）‎ ‎ ………………………（10分）‎ ‎，，……（12分）‎ ‎ ……………………（14分）‎ ‎21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）‎ 则直线OZ的方程为，设点A（x0，y0），则，，即A（900，600）， …………………（3分）‎ 又B（m，0），则直线AB的方程为：，…………（4分）‎ 东 北 A B C O 第21题图 ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ y x Z 由此得到C点坐标为：，…（6分）‎ ‎ …（8分）‎ ‎（2）由（1）知 …（10分）‎ ‎………（12分）‎ ‎ 所以当，即时，最小，‎ ‎（或令，则 ，当且仅当时，最小）‎ ‎ ∴征调海里处的船只时，补给方案最优. …………………（14分）‎ ‎22．解：（1）在椭圆上，在抛物线上，‎ ‎ ： …………………（4分）‎ ‎（2）（文）是抛物线的焦点，①当直线的斜率存在时，‎ 设：,，‎ 联立方程，得，时恒成立 ‎，， ………………（6分）‎ 因准线为，设，，，‎ 与的关系是. .……………………………（8分）‎ ②当直线的斜率不存在时，：，得 ‎ ，，，仍然有 ………（10分）‎ ‎（3）(文) =.‎ 是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线的斜率存在时，‎ 设：,，‎ 联立方程,得，时恒成立. ‎ ‎（也可用焦半径公式得：）………………（11分）‎ 联立方程，得，恒成立.‎ ‎, ……（12分）‎ ‎=. ………………（14分）‎ ②当直线的斜率不存在时，：，‎ 此时，，，=.……………………………（15分）‎ 所以，的最小值为. ……………………………（16分）‎ ‎23. 解：（1）． …………………………………………………………（1分）‎ 设，，由题意得 ． …………（2分）‎ ‎ …………………（4分）‎ ‎（2）分别用、代换上式中的n得 ‎ () ………………（6分）‎ 又，， …………………（8分）‎ 因，所以点列，，…，，…向点无限接近（10分）‎ ‎（3）（文），． ………（12分）‎ ‎，只要比较．………（13分）…（15分）‎ 当n=1时， …………………（16分）‎ 当n=2时， …………………（17分）‎ 当n>2时，． …………………（18分）‎