数学版年高考年模拟函数与基本初等函数函数的概念与性质 50页

第二章 函数与基本初等函数I 第一节 函数的概念与性质 第一部分 六年高考荟萃 ‎2010年高考题 一、 选择题 ‎1.（2010湖南文）8.函数y=ax2+ bx与y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是 答案 D ‎2.（2010浙江理）（10）设函数的集合 ‎，‎ 平面上点的集合 ‎，‎ 则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是 ‎（A）4 （B）6 （C）8 （D）10‎ 答案 B 解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题 ‎3.（2010辽宁文）（4）已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 答案 C 解析：选C.函数的最小值是 等价于，所以命题错误.‎ ‎4.（2010江西理）9．给出下列三个命题：‎ ‎①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网 ‎②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；‎ ‎③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。‎ 其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②‎ 答案 C ‎【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。‎ ‎5.（2010重庆理）(5) 函数的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 答案 D 解析： 是偶函数，图像关于y轴对称 ‎6.（2010天津文）(5)下列命题中，真命题是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 答案A ‎【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.‎ ‎【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。‎ ‎7.（2010天津理）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 ‎ (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 ‎（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 ‎（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 ‎（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 答案 B ‎【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。‎ 否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。‎ ‎【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。‎ ‎8.（2010广东理）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则 A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 答案 D ‎【解析】．‎ ‎9.（2010广东文）3.若函数与的定义域均为R，则 A. 与与均为偶函数 B.为奇函数，为偶函数 C. 与与均为奇函数 D.为偶函数，为奇函数 答案 D 解:由于,故是偶函数,排除B、C 由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C 在，，故，选D ‎10.（2010广东文）2.函数的定义域是 A. B. C. D. ‎ 答案 B 解：，得，选B.‎ ‎11.（2010全国卷1理）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。‎ ‎12.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B 解析 ，代入，解得，所以，选B.‎ ‎13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）‎ A. 在时刻，甲车在乙车前面 ‎ B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. ‎ ‎14.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是 （ ） ‎ 答案 C 解析 ，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。‎ 或当时，当时，选C ‎15.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是 （ ）‎ 答案 C 解析 可得的两个零解.‎ 当时,则 当时,则当时,则选C。‎ ‎16.（2009江西卷文）函数的定义域为 （ ）‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案 D 解析 由得或,故选D. ‎ ‎17.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 （ ）‎ A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ 答案 C 解析 ,故选C.‎ ‎18.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，‎ 速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象 大致为 ( )‎ A B C D 答案 B 解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.‎ ‎19.（2009江西卷理）函数的定义域为 ( )‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案 C 解析 由.故选C ‎20.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 ( )‎ A． B． C． D．不能确定 ‎ 答案 B 解析 ，，，，选B ‎21.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增 当，令 解得。‎ 当，‎ 故 ，解得 ‎【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ ‎22.（2009天津卷文）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且‎2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 A ‎ 解析 由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。‎ ‎23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数( )‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 答案 D 解析 由原函数是，从中解得 即原函数的反函数是，故选择D ‎24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 ( )‎ A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为‎2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为‎2C ‎ 答案 D 解析 由题意可知球的体积为，则，由此可 ‎，而球的表面积为，‎ 所以，‎ 即，故选 ‎25.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎ ，则的值是 ( )‎ ‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ 答案 A 解析 若≠0，则有，取，则有：‎ ‎ （∵是偶函数，则 ‎ ）由此得于是 ‎26.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 ( )‎ A. B C D ‎ 答案 D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.‎ ‎27.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ( )‎ ‎（A）（，） B.［，） C.（，） D.［，）‎ 答案 A 解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎28.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 ( )‎ ‎ 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ 答案 C ‎29.（2009陕西卷文）函数的反函数为 ( )‎ ‎（A） B. ‎ ‎（C） (D)学科 答案 D ‎ 解析 令原式 则 ‎ 故 故选D.‎ ‎30.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ( )‎ ‎(A) B. ‎ C. D. ‎ 答案 A ‎ 解析 由等价，于则在 上单调递增, 又是偶函数,故在 单调递减.且满足时, , ,得 ‎,故选A.‎ ‎31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意 的，有.‎ 则当时,有 ( )‎ ‎(A) B. ‎ C. C. D. ‎ 答案 C ‎32.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )‎ ‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ 答案 A 解析 若≠0，则有，取，则有：‎ ‎ （∵是偶函数，则 ）‎ 由此得于是，‎ ‎33.（2009湖北卷文）函数的反函数是 ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 D 解析 可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D ‎34.(2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 ‎ 的图像分别对应曲线和 , 则 ( )‎ A B ‎ C D ‎ 答案 B 解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函 ‎ 数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。‎ ‎35.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 ( )‎ 取函数=。若对任意的，恒有=，则 ( ) ‎ A．K的最大值为2 B. K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 ‎ 答案 D ‎ 解析 由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。‎ ‎36.（2009天津卷理）已知函数若则实数 的取值范围是 ( )‎ ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择 C。‎ ‎37.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )‎ A.0 B. C.1 D. ‎ ‎ 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）‎ 答案 A 解析 令，则；令，则 由得，所以 ‎，故选择A。‎ ‎38.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ( )‎ ‎ A . B. C. D.‎ 答案 A 解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.‎ ‎39.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 ( )‎ A．‎ B. ‎ C. ‎ D．‎ 答案 C 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增， 显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减， 不符合题意，综上选C。‎ ‎40.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则 的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 B 解析 根据题意曲线C的解析式为则方程 ‎，即，即对任意 · 恒成立，于是的最大值，令则 · 由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。‎ ‎41.（2009重庆卷理）若是奇函数，则 ． ‎ 答案 ‎ 解析 解法1‎ ‎42（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.‎ 答案 ‎ 解析 由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。‎ ‎44（2009北京文）已知函数若，则 . ‎ ‎.w.w.k.s.5 答案 ‎ ‎.w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由，无解，故应填.‎ ‎45.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.‎ 答案 ‎ 解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.‎ ‎ （1）由.‎ ‎ （2）由.‎ ‎ ∴不等式的解集为，∴应填.‎ ‎46.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . ‎ 解析 考查指数函数的单调性。 ‎ ‎，函数在R上递减。由得：m0)在区间上有四个不同的根,则 ‎ 答案 -8‎ 解析 因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 ‎-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ‎ y ‎ x ‎ f(x)=m (m>0) ‎ ‎【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,‎ 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,‎ 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. ‎ ‎14.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ‎①设是平面上的线性变换，，则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎③对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）‎ 答案 ①③④‎ 解析 ①：令，则故①是真命题 ‎ 同理，④：令，则故④是真命题 ‎ ③：∵，则有 ‎ 是线性变换，故③是真命题 ‎ ②：由，则有 ‎ ‎ ‎ ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新 颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。‎ ‎48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 解 （1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ， ‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ； ‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点 ‎ ‎49.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，，‎ 其中． ‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解 （I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 ‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有， 于是，得，而当时有在 上有两个相等的实根，故舍去，所以； ‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意． ‎ ‎7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) ‎ 设为实数，函数. ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 ‎（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎50.（2009年上海卷理）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。‎ （1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； ‎ （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ （3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。‎ 解 （1）函数的反函数是 ‎ ‎ 而其反函数为 ‎ 故函数不满足“1和性质”‎ ‎（2）设函数满足“2和性质”，‎ ‎…….6分 而得反函数………….8分 由“2和性质”定义可知=对恒成立 即所求一次函数为………..10分 ‎ ‎（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，‎ ‎ 故，可得， 　　．．．．．．12分 ‎ ‎ 令，则。，即。　　　　．．．．．．14分 综上所述，，此时，其反函数就是，‎ 而，故与互为反函数 。 ‎ ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008年山东文科卷）设函数则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案 A ‎2.（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间 是减函数，则函数 （ ）‎ A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 答案 B ‎3. (07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围 是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 答案 C ‎4.(07重庆)已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案 D ‎5.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )‎ A. (0≤x≤2) ‎ B. (0≤x≤2)‎ C. (0≤x≤2)‎ D. (0≤x≤2)‎ 答案 B ‎6.（2005年上海13）若函数，则该函数在上是 （ ）‎ A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值 答案 A 二、填空题 ‎7.（2007上海春季5）设函数是奇函数. 若 则 . ‎ 答案 ‎ ‎8.（2007年上海）函数的定义域是 ． ‎ 答案 ‎ ‎9.（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若 则_______________。‎ 答案 -‎ 解析 。‎ ‎10.（2006年上海春）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，‎ ‎，则当时， .‎ 答案 -x-x4 三、解答题 ‎11.(2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间 上有零点，求a的取值范围. ‎ 解析 若 , ,显然在上没有零点, 所以 .‎ ‎ 令 , 解得 ‎ ‎ ①当 时, 恰有一个零点在上;‎ ‎ ②当，即时，在 上也恰有一个零点.‎ ‎ ③当在上有两个零点时, 则 ‎ 或 解得或 综上所求实数的取值范围是或.‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2010年联考题 题组二（5月份更新）‎ 一、选择题 ‎1.（安徽两地三校国庆联考）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间 是减函数，则函数 （ ）‎ A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 答案 B ‎2.（昆明一中一次月考理）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A． 　B． C． D．‎ 答案:C ‎3.（岳野两校联考）已知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案 C ‎4.（安徽两地三校国庆联考）（安徽两地三校国庆联考）函数的反函数为 ( )‎ ‎（A） B. ‎ ‎（C） (D) ‎ 答案 D ‎5．（师大附中理）已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是 ‎ A． B．‎4 ‎C． D． ‎ 答案：B ‎6.(安徽六校联考)函数零点的个数是( )‎ A. B. C. D.‎ 答案C ‎7．如果函数对任意的实数，存在常数M,使得不等式恒成立，那么就称函数为有界泛函，下面四个函数：‎ ‎①； ②；③； ④．‎ 其中属于有界泛函的是（ ）．‎ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ 答案 B ‎8．（师大附中理）中，如果边满足，则 A．一定是锐角 B．一定是钝角 C．一定是直角 D．以上情况都有可能 答案：A ‎9．（三明市三校联考）函数f（x） =的零点所在的大致区间是 （ ）‎ A．（1, 2） B．（2，e） C．（e，3） D．（e，+∞）‎ 答案B ‎ ‎10.（昆明一中一次月考理）二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 ‎ A、 B、 C 、 D、 ‎ 答案:C ‎11.（昆明一中一次月考理）已知是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是，且的图象过两点，若，则x的取值范围是 ‎ A、 B、 C、 D、‎ 答案:B 二、填空题 ‎1. 对于任意，函数的值恒大于零，那么的取值范围是 . ‎ 答案 ‎ ‎2．（安徽两地三校国庆联考）若函数f (x) = 4x3－ax+3的单调递减区间是，则实数a的值为 ‎ 答案 3‎ 三、解答题 ‎1.（池州市七校元旦调研）设函数有两个极值点，且，‎ 求的取值范围，并讨论的单调性；‎ 解: （I）‎ 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得 ‎⑴当时，在内为增函数；‎ ‎⑵当时，在内为减函数；‎ ‎⑶当时，在内为增函数；‎ ‎ ‎ ‎2．（本小题满分13分）已知函数．‎ ‎ （I）求的单调区间；‎ ‎ （II）若不等式恒成立，求实数的取值组成的集合．‎ 解：（I）由已知得．因为，……………………2分 所以当．‎ 故区间为的单调递减区间，‎ 区间为的单调递增区间. ……………………5分 ‎（II）(i)当时，．‎ 令，则．……7分 由（１）知当时，有，所以，‎ 即得在上为增函数，所以，‎ 所以． ……………………10分 ‎(ii)当时，．‎ 由①可知，当时，为增函数，所以，‎ 所以。‎ 综合以上,得．故实数的取值组成的集合为． ……………………13分 ‎3. （安庆市四校元旦联考）（满分16分）设函数，，当时，取得极值。‎ ‎⑴求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；‎ ‎⑵当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围。‎ 解：（1）由题意 ‎ ‎ 当时，取得极值， 所以 ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 此时当时，，当时，，‎ ‎ 是函数的最小值。‎ ‎ （2）设，则 ， ‎ ‎ 设，‎ ‎ ，令解得或 ‎ 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎__‎ ‎0‎ ‎+‎ 函数在和上是增函数，在上是减函数。‎ 当时，有极大值；当时，有极小值 函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点 ‎ 或 ‎ ‎4. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正的数列满足：求证：‎ 解：（1）‎ 依题意在时恒成立，即在恒成立.‎ 则在恒成立，即 ‎ 当时，取最小值 ‎∴的取值范围是 ……‎ ‎（2）‎ 设则列表：‎ 极大值 ¯ 极小值 ‎∴极小值，极大值，又 ……‎ 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根. ‎ 则， 得 ………… ‎ ‎（3）设，则 在为减函数，且故当时有.‎ 假设则，故 从而 即，∴ …………‎ 题组一（1月份更新）‎ 一、选择题 ‎1、（2009广东三校一模）2.函数在处取到极值，则的值为 ‎ ‎ 答案 B ‎2、（2009昆明市期末）函数的最小值是 （ ）‎ ‎ A． B． C．9 D．27‎ 答案 B ‎3、（2009滨州一模）设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为 ‎ A . B . C . D . ‎ 答案 B ‎4、（2009昆明一中第三次模拟）设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（　）‎ ‎　Ａ. B C. D. ‎ 答案 D ‎5、（2009东莞一模）下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是 A． B C． D．‎ 答案 A ‎6、（2009牟定一中期中）将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A ‎7、（2009聊城一模）若a>2,则函数在区间（0，2）上恰好有 （ ）‎ ‎ A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点 答案 B ‎8、（2009茂名一模）已知函数是定义域为的偶函数,且,若在上是减函数,那么在上是 ( ) ‎ ‎ A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 答案 A ‎9、（2009玉溪一中期中）函数的图像过点，则函数的图像过（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 答案 C 二、填空题 ‎1、（2009滨州一模）给出下列四个结论：‎ ‎①命题“的否定是“”；‎ ‎②“若则”的逆命题为真；‎ ‎③函数（x）有3个零点；‎ ‎④对于任意实数x，有 且x>0时,则x<0时 其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）‎ 答案 ①④‎ ‎2、（2009宣威六中第一次月考）已知函数， ．‎ 答案 -2‎ ‎3、（2009泰安一模）已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都 有f(x+60=f(x)+f(3)成立，当，且时，都有给出下列命题：‎ ‎①f(3)=0；‎ ‎②直线x=一6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；‎ ‎③函数y=f(x)在[一9，一6]上为增函数； ‎ ‎④函数y=f(x)在[一9，9]上有四个零点．‎ 其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上)‎ 答案 ①②④‎ ‎4、（2009上海闸北区）函数的定义域为___________.‎ 答案 ‎ ‎5、（2009重点九校联考）函数的定义域为 .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎1、（2009上海八校联考）对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。‎ ‎① 对任意的，总有；‎ ‎② 当时，总有成立。‎ 已知函数与是定义在上的函数。‎ ‎（1）试问函数是否为函数？并说明理由；‎ ‎（2）若函数是函数，求实数组成的集合；‎ 解：（1）当时，总有，满足①，‎ 当时，‎ ‎，满足②‎ ‎（2）为增函数，‎ 由 ，得，‎ 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 因为 ‎ 所以 与不同时等于1 ‎ ‎ ；　　　　　　　‎ 当时，；　　　　　　‎ 综合上述：　　　‎ ‎2、（2009滨州一模）设函数 ‎（I）若直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点 ‎（1，0），求实数p的值；‎ ‎（II）若在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围；‎ 解：（Ⅰ）方法一：∵，‎ ‎∴． ‎ 设直线, ‎ 并设l与g(x)=x2相切于点M()‎ ‎∵ ∴2‎ ‎∴‎ 代入直线l方程解得p=1或p=3.‎ ‎ ‎ 方法二： ‎ 将直线方程l代入 得 ‎∴ ‎ 解得p=1或p=3 . ‎ ‎（Ⅱ）∵， ‎ ‎①要使为单调增函数，须在恒成立，‎ 即在恒成立，即在恒成立，‎ 又，所以当时，在为单调增函数； ②要使为单调减函数，须在恒成立，‎ 即在恒成立，即在恒成立，‎ 又，所以当时，在为单调减函数． ‎ 综上，若在为单调函数，则的取值范围为或． ‎ ‎3、（2009上海十校联考）已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值.‎ 解：因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的 函数的对称轴为，所以或 ‎ 若，在区间上函数是单调递增的，所以，解得，符合 ‎ 若，在区间上函数是单调递减的，所以 ‎，解得，与矛盾，舍去 ‎ 综上所述，满足题意的实数的值为 ‎ ‎4、（2009江门一模）已知函数，是常数，．‎ ‎⑴若是曲线的一条切线，求的值；‎ ‎⑵，试证明，使．‎ ‎⑴-------1分，解得，或-------2分 当时，，，所以不成立-------3分 当时，由，即，得-----5分 ‎⑵作函数-------6分 ‎，函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分，------8分 ‎①若，，，使，即-------10分www.ks5u.com ‎②若，，，‎ ‎，当时有最小值，且当时-------11分，‎ 所以存在（或）从而，使，即-------12分 ‎5、（2009南华一中12月月考）设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），‎ 因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即解得，．………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．　………………………7分 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．　　　………………………8分 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．　　………………………10分 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，‎ 解得　或，‎ 因此的取值范围为．………………………12分 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1. (北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象可能是 ( ) ‎ 答案 A ‎2.（2009龙岩一中）函数的定义域是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B ‎3.（2009湘潭市一中12月考）已知定义在R上的函数满足，且 ‎，, （ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案 A ‎4.（2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则 等于 ( )‎ A.-1 B‎.0 ‎ C.1 D.4‎ 答案 B ‎5.（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测）函数在上单调，则的取值范围是 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 A ‎6.（黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）对于函数定义域中任意 有如下结论：①；‎ ‎②； ③； ‎ ‎ ④。上述结论中正确结论的序号是 ( )‎ ‎ A．② B．②③ C．②③④ D．①②③④‎ 答案 B ‎7.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知函数 两函数的图像的交点个数 为 ( ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 答案 B ‎8.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知 ‎，则不等式 的解集是 （ ） ‎ A．（—2，0） B．‎ C． D．‎ 答案 C ‎9.（江门市2009年高考模拟考试）设函数的定义域为，的定义域为，则 ( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 C ‎10．（2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科））设，又记 则 ( )‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎11.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数是奇函数，并且在R上为增函 数，若0≤≤时，f（msin）＋f（1—m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )‎ A．（0，1）B．（－∞，0）C． D．（－∞，1）‎ 答案 D 二、填空题 ‎12．（2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数为上的奇函数，‎ 当时，.若，则实数 .‎ 答案 ‎ ‎13.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域是R，值域是[0，]；‎ ‎②函数的图像关于直线对称；‎ ‎③函数是周期函数，最小正周期是1；‎ ‎④ 函数在上是增函数； ‎ 则其中真命题是__ ．‎ 答案 ①②③‎ ‎14.（安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考）已知函数，则不 等式的解集为 ‎ 答案 ‎ ‎15.(北京市石景山区2009年4月高三一模理)函数，则，若，则实数的取值范围是　　　　　　　 　　　　‎ 答案 ‎ ‎16. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)设a为常数，.‎ 若函数为偶函数，则=__________；=_______.‎ 答案 2,8 ‎ ‎17.（2009丹阳高级中学一模）若函数在上是增函数，则的取 值范围是____________。‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎18.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数。‎ ‎（1）画出函数y=f(x)的图像；‎ ‎（2）若不等式，（a¹0,a、bÎR）恒成立，求实数x的范围。‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ x y 解：(1)‎ ‎ (2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)‎ 得 又因为 则有2≥f(x)‎ 解不等式 2≥|x-1|+|x-2|‎ 得 ‎ ‎2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数满足 ‎，且在[-1，0]上单调递增，设， ，，‎ 则大小关系是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ 答案 D ‎2.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数是 ( )A．奇函数 B.偶函数 ‎ C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案 D ‎3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R上的函数，且在 ‎(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是 ( )‎ A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 D.偶函数，且在(-‎ ‎∞，+∞)上是减函数 答案 A ‎4.(广东省2008届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积 与时间(月)的关系: , 有以下叙述:‎ ‎①这个指数函数的底数为2;‎ ‎②第5个月时, 浮萍面积就会超过30;‎ ‎③浮萍从4蔓延到12需要经过1.5个月;‎ ‎④浮萍每月增加的面积都相等;‎ ‎⑤若浮萍蔓延到2, 3, 6所经过的时间分别是, ‎ 则.其中正确的是 ( ) ‎ ‎ A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D. ①②⑤‎ 答案 D ‎5.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）.映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一 个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为 （ 　）‎ A.24 B‎.6 ‎ C.36 D.72‎ 答案 C 二、填空题 ‎6.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）若对于任意a[-1,1], 函数f(x) = x+ (a ‎－4)x + 4－‎2a的值恒大于零,　则x的取值范围是 ‎ 答案 （‎ ‎7.(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数，给出以下三个条件:‎ ‎(1) 存在，使得；‎ ‎(2) 成立；‎ ‎(3) 在区间上是增函数.‎ 若同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则 的一个可能的解析式为 .‎ 答案 满足条件(1)(2)时,等；满足条件(1)(3)时,等；满足条件(2)(3)时,等.‎ 三、解答题 ‎8.(2007年安徽省六校)已知函数,在R上有定义，对任意的有 且 ‎（1）求证：为奇函数 ‎（2）若， 求的值 解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)-‎ g(u)f(v)]=-f(x) ………………4分 ‎（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)}‎ ‎∵f(2)=f(1)≠0‎ ‎∴g(-1)+g(1)=1 …………………8分