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  • 2021-05-13 发布

35三角恒等变换练习题高考总复习

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第五节 三角恒等变换 时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知α为锐角,cosα= 5 5 ,则 tan π 4 +2α =( ) A.-3 B.-1 7 C.-4 3 D.-7 解析 依题意得,sinα=2 5 5 ,故 tanα=2,tan2α=2×2 1-4 =-4 3 , 所以 tan π 4 +2α = 1-4 3 1+4 3 =-1 7. 答案 B 2.已知 cos x-π 6 =- 3 3 ,则 cosx+cos x-π 3 的值是( ) A.-2 3 3 B.±2 3 3 C.-1 D.±1 解析 cosx+cos x-π 3 =cosx+1 2cosx+ 3 2 sinx=3 2cosx+ 3 2 sinx= 3 3 2 cosx+1 2sinx = 3cos x-π 6 =-1. 答案 C 3.已知 cos2θ= 2 3 ,则 sin4θ+cos4θ的值为( ) A.13 18 B.11 18 C.7 9 D.-1 解 析 ∵ cos2θ = 2 3 , ∴ sin22θ = 7 9 , ∴ sin4θ + cos4θ = 1 - 2sin2θcos2θ=1-1 2(sin2θ)2=11 18. 答案 B 4.已知α+β=π 4 ,则(1+tanα)(1+tanβ)的值是( ) A.-1 B.1 C.2 D.4 解析 ∵α+β=π 4 ,tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ =1, ∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ. ∴(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ =1+1-tanαtanβ+tanαtanβ=2. 答案 C 5. (2014·成都诊断检测)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角α,β 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它们的终边分 别与单位圆相交于 A,B 两点,若点 A,B 的坐标为 3 5 ,4 5 和 -4 5 ,3 5 , 则 cos(α+β)的值为( ) A.-24 25 B.- 7 25 C.0 D.24 25 解析 cosα=3 5 ,sinα=4 5 ,cosβ=-4 5 ,sinβ=3 5 ,cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ=3 5·(-4 5)-4 5·3 5 =-24 25.选 A. 答案 A 6.若sin α-π 4 cos2α =- 2,则 sinα+cosα的值为( ) A.- 7 2 B.-1 2 C.1 2 D. 7 2 解析 ∵ 2 2 (sinα-cosα)=- 2(cos2α-sin2α), ∴sinα+cosα=1 2. 答案 C 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若 tan α+π 4 =2 5 ,则 tanα=________. 解析 ∵tan α+π 4 =tanα+1 1-tanα =2 5 , ∴5tanα+5=2-2tanα. ∴7tanα=-3,∴tanα=-3 7. 答案 -3 7 8.(2013·江西卷)函数 y=sin2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为 ________. 解析 y=sin2x+2 3sin2x=sin2x- 3cos2x+ 3 =2sin(2x-π 3)+ 3,所以 T=π. 答案 π 9.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________. 解析 f(x)=sinx-2cosx= 5( 1 5sinx- 2 5cosx)= 5sin(x-φ)而 sinφ= 2 5 ,cosφ= 1 5 ,当 x-φ=π 2 +2kπ(k∈Z)时,f(x)取最大值 5, 即θ=φ+π 2 +2kπ时,f(x)取最大值.cosθ=cos(φ+π 2 +2kπ)=-sinφ= - 2 5 =-2 5 5 . 答案 -2 5 5 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.已知 tan2θ=3 4(π 2<θ<π),求 2cos2θ 2 +sinθ-1 2cosθ+π 4  的值. 解 ∵tan2θ= 2tanθ 1-tan2θ =3 4 , ∴tanθ=-3 或 tanθ=1 3. 又θ∈(π 2 ,π),∴tanθ=-3. ∴ 2cos2θ 2 +sinθ-1 2cosθ+π 4  =cosθ+sinθ cosθ-sinθ =1+tanθ 1-tanθ =1-3 1+3 =-1 2. 11.已知函数 f(x)=2cos ωx+π 6 (其中ω>0,x∈R)的最小正周期 为 10π. (1)求ω的值; (2)设α,β∈ 0,π 2 ,f 5α+5 3π =-6 5 , f 5β-5 6π =16 17 ,求 cos(α+β)的值. 解 (1)∵T=10π=2π ω ,∴ω=1 5. (2)由(1)得 f(x)=2cos 1 5x+π 6 , ∵f 5α+5π 3 =2cos α+π 2 =-2sinα=-6 5. ∴sinα=3 5 ,cosα=4 5. ∵f 5β-5π 6 =2cosβ=16 17 , ∴cosβ= 8 17 ,sinβ=15 17. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =4 5 × 8 17 -3 5 ×15 17 =-13 85. 12.(2013·重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (Ⅰ)求 C; (Ⅱ)设 cosAcosB=3 2 5 ,cosα+Acosα+B cos2α = 2 5 ,求 tanα的值. 解 (Ⅰ)因为 a2+b2+ 2ab=c2, 由余弦定理有 cosC=a2+b2-c2 2ab =- 2ab 2ab =- 2 2 . 故 C=3π 4 . (Ⅱ)由题意得 sinαsinA-cosαcosAsinαsinB-cosαcosB cos2α = 2 5 . 因此(tanαsinA-cosA)(tanαsinB-cosB)= 2 5 , tan2αsinAsinB - tanα(sinAcosB + cosAsinB) + cosAcosB = 2 5 , tan2αsinAsinB-tanαsin(A+B)+cosAcosB= 2 5 .① 因为 C=3π 4 ,A+B=π 4 ,所以 sin(A+B)= 2 2 , 因为 cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,即3 2 5 -sinAsinB= 2 2 , 解得 sinAsinB=3 2 5 - 2 2 = 2 10. 由①得 tan2α-5tanα+4=0,解得 tanα=1 或 tanα=4.