全国高考文科数学试题及答案四川卷 11页

www.ks5u.com www.ks5u.com ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝‎ ‎(A){x|－1＜x＜3} (B){x|－1＜x＜1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3}‎ ‎2、设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝‎ ‎(A)2 (B)3 (C)4 (D)6‎ ‎3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ‎(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法 ‎4、设a,b为正实数，则“a＞b＞1”是“”的 ‎(A)充要条件 (B)充分不必要条件 ‎(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎5、下列函数中，最小正周期为π的奇函数是 ‎(A)y＝sin(2x＋) (B)y＝cos(2x＋)‎ ‎(C)y＝sin2x＋cos2x (D)y＝sinx＋cosx ‎6、执行如图所示的程序框图，输出S的值为 ‎(A)－ (B) ‎ ‎(C)－ (D) ‎ ‎7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则|AB|＝‎ ‎(A) (B)2 (C)6 (D)4‎ ‎8、某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度(单位：℃)满足函数关系 (e＝2.718…为自然对数的底数，为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是 ‎(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)28小时 ‎9、设实数x,y满足，则的最大值为 ‎(A) (B) (C)12 (D)16‎ ‎10、设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段中点，若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 ‎(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎11、设i是虚数单位，则复数＝_____________.‎ ‎12、的值是_____________.‎ ‎13、已知，则的值是______________.‎ ‎14、在三棱柱中，，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是______.‎ ‎15、已知函数(其中).‎ 对于不相等的实数，设，，‎ 现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数，都有；‎ ‎②对于任意的及任意不相等的实，都有；‎ ‎③对于任意的，存在不相等的实数，使得；‎ ‎④对于任意的，存在不相等的实数，使得。‎ 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16、(本小题满分12分)‎ 设数列（n=1,2,3…）的前项和满足，且成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为，求. ‎ ‎17、(本小题满分12分)‎ 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.‎ ‎（Ⅰ）若乘客坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）‎ 乘客 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客坐到5号座位的概率。‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。‎ ‎（Ⅰ）请按字母标记在正方体相应地顶点处（不需说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）证明：直线平面 ‎19、(本小题满分12分)‎ 已知A、B、C为的内角，是关于方程的两个实根.‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值 ‎20、(本小题满分13分)‎ 如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且 ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21、(本小题满分14分)‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）设为的导函数，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.‎ 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1.A 2.B 3.C 4.A 5.B ‎6.D 7.D 8.C 9.A 10.D 二、填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分25分。‎ ‎11. 12. 2 13. -1 14. 15. ①④‎ 三、解答题：共6小题，共75分。‎ ‎16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和等基础知识，考查运算求解能力。‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，有 ‎，‎ 即 从而 又因为成等差数列，即 所以，解得 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列 故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以 ‎17．本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。‎ ‎（Ⅰ）余下两种坐法如下表所示：‎ 乘客 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）若乘客坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为：‎ 乘客 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 于是，所有可能的坐法共8种。‎ 设“乘客坐到5号座位”为事件，则事件中的基本事件的个数为4‎ 所以 答：乘客坐到5号座位的概率是 ‎18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力。‎ ‎（Ⅰ）点的位置如图所示。‎ ‎（Ⅱ）平面平面，证明如下：‎ 因为为正方体，所以，‎ 又，所以，‎ 于是为平行四边形 所以 又平面平面，‎ 所以平面 同理平面 又 所以平面平面 ‎（Ⅲ）连接 因为为正方体，所以平面 因为平面，所以 又，所以平面 又平面，所以 同理 又，‎ 所以平面 ‎19. 本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。‎ ‎（Ⅰ）由已知，方程的判别式 所以或 由韦达定理，有 于是，‎ 从而 所以，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由正弦定理，得 ‎，‎ 解得，或（舍去）‎ 于是 则 所以 ‎20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。‎ ‎（Ⅰ）由已知，点的坐标分别为 又点的坐标为，且，‎ 于是解得 所以椭圆方程为 ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为的坐标分别为 联立得 其判别式，‎ 所以，‎ 从而，‎ 所以，当时，‎ 此时，为定值 当直线斜率不存在时，直线即为直线 此时，‎ 故存在常数，使得为定值 ‎21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。‎ ‎（Ⅰ）由已知，函数的定义域为，‎ ‎，‎ 所以 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增 ‎（Ⅱ）由，解得 令，‎ 则 于是，存在，使得 令，其中 由知，函数在区间上单调递增 故 即 当时，有 再由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，‎ 当时，，从而；‎ 当时，，从而；‎ 又挡时，‎ 故时，‎ 综上所述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解。‎