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- 2021-05-13 发布
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高考数学考点归纳之 随机事件的概率
一、基础知识
1.频数、频率和概率
(1)频数、频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次
试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数❶,称事件 A 出现的比例 fn(A)=
nA
n 为事件 A
出现的频率❷.
(2)概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)
稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率.
2.事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 A 发生⇒B 发生
事件B 包含事件A(事件A
包含于事件 B)
B⊇A(或 A⊆B)
相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B 事件 A 与事件 B 相等 A=B
并(和)
事件
A 发生或 B 发生
事件A与事件B的并事件
(或和事件)❸ A∪B(或 A+B)
交(积)
事件
A 发生且 B 发生
事件A与事件B的交事件
(或积事件)
A∩B(或 AB)
互斥事件 A∩B 为不可能事件 事件 A 与事件 B 互斥❹ A∩B=∅
对立事件
A∩B 为不可能事件,A∪
B 为必然事件
事件A与事件B互为对立
事件❺
A∩B=∅,
P(A∪B)=1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:P(E)=1.
(3)不可能事件的概率:P(F)=0.
(4)概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事件,P(A∪B)
=1,P(A)=1-P(B).
频数是一个整数,其取值范围为 0≤nA≤n,nA∈N,因此随机事件 A 发生的频率 fn(A)
=nA
n
的可能取值介于 0 与 1 之间,即 0≤fn(A)≤1.
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是,频率不是一个完全确定的
数,随着试验次数的不同,产生的频率也可能不同.
并(和)事件包含三种情况:①事件 A 发生,事件 B 不发生;②事件 A 不发生,事件 B
发生;③事件 A,B 都发生.即事件 A,B 至少有一个发生.
互斥事件具体包括三种不同的情形:①事件 A 发生且事件 B 不发生;②事件 A 不发生
且事件 B 发生;③事件 A 与事件 B 都不发生.
“事件 A 与事件 B 是对立事件”是“其概率满足 P(A)+P(B)=1”的充分不必要条件,
这里一定不要认为是充要条件.事实上,若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事
件,再由概率的加法公式得 P(A)+P(B)=1;反之不一定成立.
二、常用结论
探究概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即 P(A1∪A2∪…∪An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An).
(2)P( A1∪A2∪…∪An )=1-P(A1∪A2∪…∪An)=1-P(A1)-P(A2)-…-P(An).注意涉
及的各事件要彼此互斥.
考点一 随机事件的关系
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
解析:选 D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由
互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.
2.从 1,2,3,…,7 这 7 个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
解析:选 C “至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”,而从 1,2,3,…,
7 这 7 个数中任取两个数,根据取到数的奇偶性知共有三种情况:“两个都是奇数”“一奇
一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知
其余都不是对立事件.故选 C.
3.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移
动卡”的概率是 3
10
,那么概率是 7
10
的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
解析:选 A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”
两个事件,它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A.
4.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机},B={两次都没
击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是
________________________,互为对立事件的是________.
解析:设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为 A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C
=∅,B∩D=∅,故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为互斥事件.而 B∩D=∅,B∪D=I,故
B 与 D 互为对立事件.
答案:A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D B 与 D
考点二 随机事件的频率与概率
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气
温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为了确定六
月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为
450 瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率.
[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25 ℃,由表格
数据知,最高气温低于 25 ℃的频率为2+16+36
90
=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过
300 瓶的概率的估计值为 0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,
若最高气温不低于 25 ℃,则 Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则 Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于 20 ℃,则 Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,
所以,Y 的所有可能值为 900,300,-100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于 20 ℃的频率
为36+25+7+4
90
=0.8,因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.
[题组训练]
某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该保险的投保人称为续保人,续保人本
年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记 A 为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值;
(2)记 B 为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”.
求 P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解:(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知,一年内出险次数小
于 2 的频率为60+50
200
=0.55,故 P(A)的估计值为 0.55.
(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.
由所给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30+30
200
=0.30,故 P(B)的估计
值为 0.30.
(3)由所给数据得如下关系:
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的 200 名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.
考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用
[典例精析]
某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单
位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的
事件分别为 A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1 张奖券的中奖概率;
(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
[解] (1)易知 P(A)= 1
1 000
,P(B)= 1
100
,P(C)= 1
20.
(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则
M=A∪B∪C.
因为 A,B,C 两两互斥,
所以 P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=1+10+50
1 000
= 61
1 000.
故 1 张奖券的中奖概率为 61
1 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖
或中一等奖”为对立事件,
所以 P(N)=1-P(A∪B)=1-
1
1 000
+ 1
100 = 989
1 000.
故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989
1 000.
[题组训练]
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购
物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间
(分钟/人)
1 1.5 2 2.5 3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
(1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)
解:(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20.该超市所有顾客一次
购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个
容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估
计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10
100
=1.9(分钟).
(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2 分别表示事件
“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将
频率视为概率得 P(A1)= 20
100
=1
5
,P(A2)= 10
100
= 1
10.则 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1-1
5
- 1
10
= 7
10.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7
10.
[课时跟踪检测]
A 级
1.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是
( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析:选 D A 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B 中的两个事件是对立事件;
C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D 中的两个事件是互
斥而不对立的关系.
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为1
7
,都是白子的
概率为12
35.则从中任意取出 2 粒恰好是同一颜色的概率为( )
A.1
7 B.12
35
C.17
35 D.1
解析:选 C 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A,“从中取出 2 粒都是白子”为事
件 B,“任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C,则 C=A∪B,且事件 A 与 B 互斥.所以 P(C)
=P(A)+P(B)=1
7
+12
35
=17
35
,即任意取出 2 粒恰好是同一颜色的概率为17
35.
3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级
品和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95 B.0.97
C.0.92 D.0.08
解析:选 C 记抽检的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,
这三个事件彼此互斥,因而所求概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.
4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示
“小于 5 的点数出现”,则一次试验中,事件 A+ B 发生的概率为( )
A.1
3 B.1
2
C.2
3 D.5
6
解析:选 C 掷一个骰子的试验有 6 种可能结果,依题意 P(A)=2
6
=1
3
,P(B)=4
6
=2
3
,
所以 P( B )=1-P(B)=1-2
3
=1
3
,
因为 B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件,所以事件 A 与 B 互斥,从而 P(A+ B )=P(A)
+P( B )=1
3
+1
3
=2
3.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点)一次,观察掷出
向上的点数,设事件 A 为掷出向上为偶数点,事件 B 为掷出向上为 3 点,则 P(A∪B)=( )
A.1
3 B.2
3
C.1
2 D.5
6
解析:选 B 事件 A 为掷出向上为偶数点,所以 P(A)=1
2.
事件 B 为掷出向上为 3 点,所以 P(B)=1
6.
又事件 A,B 是互斥事件,
所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)=2
3.
6.若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且 P(A)=2-a,P(B)=4a-5,
则实数 a 的取值范围是( )
A.
5
4
,2 B.
5
4
,3
2
C.
5
4
,3
2 D.
5
4
,4
3
解析:选 D 由题意可得
0<PA<1,
0<PB<1,
PA+PB≤1,
即
0<2-a<1,
0<4a-5<1,
3a-3≤1,
解得5
4
<a≤4
3.
7.若 A,B 为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则 P(B)=________.
解析:∵A,B 为互斥事件,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B),
∴P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.
答案:0.3
8.已知某台纺纱机在 1 小时内发生 0 次、1 次、2 次断头的概率分别是 0.8,0.12,0.05,则
这台纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________,
________.
解析:断头不超过两次的概率 P1=0.8+0.12+0.05=0.97.于是,断头超过两次的概率
P2=1-P1=1-0.97=0.03.
答案:0.97 0.03
9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利,却习惯在网络上
大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查:在随
机抽取的 50 人中,有 14 人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有 9 600 人,则可估计
该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.
解析:在随机抽取的 50 人中,持反对态度的频率为 1-14
50
=18
25
,则可估计该地区对“键
盘侠”持反对态度的有 9 600×18
25
=6 912(人).
答案:6 912
10.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只
取一个,取得两个红玻璃球的概率为 7
15
,取得两个绿玻璃球的概率为 1
15
,则取得两个同色玻
璃球的概率为________;至少取得一个红玻璃球的概率为________.
解析:由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃
球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为 P= 7
15
+ 1
15
= 8
15.
由于事件 A“至少取得一个红玻璃球”与事件 B“取得两个绿玻璃球”是对立事件,则
至少取得一个红玻璃球的概率为 P(A)=1-P(B)=1- 1
15
=14
15.
答案: 8
15
14
15
11.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取 1 000 名网络购物者进行调查.这 1 000
名购物者 2018 年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:[0.3,0.4),
[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下:
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下:
购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9]
发放金额 50 100 150 200
(1)求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数;
(2)以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠
券金额不少于 150 元的概率.
解:(1)购物者的购物金额 x 与获得优惠券金额 y 的频率分布如下表:
x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9
y 50 100 150 200
频率 0.4 0.3 0.28 0.02
这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数为
1
1 000(50×400+100×300+150×280+200×20)=96.
(2)由获得优惠券金额 y 与购物金额 x 的对应关系及(1)知
P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,
P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,
从而,获得优惠券金额不少于 150 元的概率为 P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28
+0.02=0.3.
12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付
结果统计如下:
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主
是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率.
解:(1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”,
以频率估计概率得
P(A)= 150
1 000
=0.15,P(B)= 120
1 000
=0.12.
由于投保金额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000 元和
4 000 元,所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”,由已知,可得样本车辆中车主
为新司机的有 0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为 4 000 元的车辆中,车主为新司机的有
0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 24
100
=0.24,由
频率估计概率得 P(C)=0.24.
B 级
1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534
石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134 石 B.169 石
C.338 石 D.1 365 石
解析:选 B 这批米内夹谷约为 28
254
×1 534≈169 石,故选 B .
2.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数
中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是( )
A.3
5 B.1
2
C. 3
10 D.1
5
解析:选 A 由题意得 an=(-3)n-1,易知前 10 项中奇数项为正,偶数项为负,所以小
于 8 的项为第一项和偶数项,共 6 项,即 6 个数,所以所求概率 P= 6
10
=3
5.
3.[与不等式交汇]若 A,B 互为对立事件,其概率分别为 P(A)=4
x
,P(B)=1
y
,则 x+y 的
最小值为________.
解析:由题意,x>0,y>0,4
x
+1
y
=1.则 x+y=(x+y)·
4
x
+1
y =5+
4y
x
+x
y ≥5+2 4y
x ·x
y
=9,当且仅当 x=2y 时等号成立,故 x+y 的最小值为 9.
答案:9
4.某超市随机选取 1 000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整
理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解:(1)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙,所以
顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200
1 000
=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这 1 000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有
200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品,所以顾客在甲、乙、丙、
丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100+200
1 000
=0.3.
(3)与(1)同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200
1 000
=0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+300
1 000
=0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100
1 000
=0.1.
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
5.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位
从 A 地到火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择 L1 的人数 6 12 18 12 12
选择 L2 的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允
许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解:(1)共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44(人),
用频率估计概率,可得所求概率为 0.44.
(2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,
故由调查结果得频率分布如下表:
所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
L1 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)记事件 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;
记事件 B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.
用频率估计概率及
由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(A1)>P(A2),故甲应选择 L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(B2)>P(B1),故乙应选择 L2.