2017年度高考数学（理）二模试题（天津市大港） 10页

天津市大港油田实验中学 ‎2014届高三第二次六校联考 数学（理）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至4页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并认真核对答题卡上的姓名、考号与本人姓名、考号是否一致。祝各位考生考试顺利！第I卷 注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·表示底面积，表示底面的高·如果事件、互斥，那么 柱体体积 ， ． 锥体体积 ．一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．是虚数单位，复数=‎ ‎ A．i B． C．1 D．‎ ‎2.设实数、满足 则为 ‎ ‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 ‎ C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎3.设等比数列中，前n项和为,已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知函数则函数的零点为 ‎ A．和1 B．和‎0 C． D． ‎ ‎5.给出下列三个结论：‎ ‎（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；‎ ‎（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”；‎ ‎（3）命题“”的否定是“ ”.则以上结论正确的个数为 A． B． C． D．‎ ‎6.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 ‎7.已知向量，，且，若实数满足不等式，则实数的取值范围为 A．[－3,3] B． C． D．‎ ‎8.设,分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点,使,为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ 第II卷 注意事项：答卷前将密封线内的项目填写清楚。本卷共12小题，共110分。‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （第9题） （第10题） （第12题） ‎ ‎10.某几何体的三视图如图，则它的体积是________．‎ ‎11.若展开式的常数项为60，则常数的值为 .‎ ‎12.如图，已知和是圆的两条弦，过点作圆的切线与的延长线相交于 ‎，过点作的平行线与圆交于点,与相交于点,,,,则线段的长为 ．‎ ‎13.两曲线参数方程分别为，，、为参数，其交点坐标为 ．‎ ‎14.函数和函数，若存在使得成立，则实数的取值范围是 .‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的周期；（Ⅱ）若，求函数的值域；‎ ‎（Ⅲ）如果△的三边、、满足，且边所对的角为，试求的范围．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为.‎ ‎（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球,有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率；‎ ‎（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列及期望.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ A A1‎ B C D B1‎ C1‎ ‎ 如图，直三棱柱中,，，，,点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）若是中点，证明∥平面；‎ ‎（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为 ‎ ‎，椭圆的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的菱 形面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的极值；‎ ‎（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知数列中，，且．为数列的前项和，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项的和；‎ ‎（Ⅲ）证明对一切，有．‎ ‎2014届第二次六校联考（2014–01）‎ 数学理科试卷答案 一．选择题：每小题5分，共40分。‎ ‎1.D 2.B 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A ‎ 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.600 10. 8－ 11. 4 12. 13. 14. ‎ 三. 解答题：‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为，‎ 则两次取球的编号的一切可能结果有种， ‎ 其中和为的结果有，共种，‎ 则所求概率为. ………………3分 ‎（Ⅱ）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率. ‎ 所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为 ‎. 　　　　　 ………………8分 ‎（Ⅲ）随机变量所有可能的取值为. ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎. ‎ 所以，随机变量的分布列为:‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ 　　　　　　　　　　　……………13分 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 证明：（Ⅰ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则 (3, 0, 0)，‎ A A1‎ B C D B1‎ C1‎ x y z ‎ (0, 4, 0)， (0, 4, 4)， (3, 0, 4)， (0, 4, 4)．‎ ‎ ‎ ‎ 所以 …………４分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎ ‎ A A1‎ B C D B1‎ C1‎ E 设平面B1 CD的法向量为，‎ 由 ‎ 且， ‎ 令x = 4得，‎ 所以 ‎ 又 所以 AC1∥平面B1CD；‎ 解法二：证明：连结BC1，交B‎1C于E，DE．‎ 因为 直三棱柱ABC-A1B‎1C1，D是AB中点，‎ 所以 侧面B B‎1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，‎ 所以 DE// AC1． ‎ 因为 DE平面B1CD， AC1平面B1CD， ‎ 所以 AC1∥平面B1CD． 　　　　　　　　　　　　　　 ……………８分 ‎（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，‎ 设D (a, b, 0)（，），‎ 因为 点D在线段AB上，且， 即．‎ 所以 ，，．‎ 所以，．‎ 平面BCD的法向量为． ‎ 设平面B1 CD的法向量为，‎ 由 ，， 得 ， ‎ 所以 ，，． ‎ 设二面角的大小为，‎ 所以 ． ‎ 所以 二面角的余弦值为． ………………………1３分 ‎18．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）椭圆的离心率为 ，‎ 又由连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为可得 ‎ ， 所求椭圆方程为. 　……… 6分 ‎（Ⅱ）由, ：‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ 设，‎ ‎ 则， ‎ ‎ =‎ ‎ 由于菱形对角线垂直，则 ‎ ‎ 得 ‎ 当时，上式恒成立.又P、M、N三点不共线，所以 当时，由上式可得， 解得且 故存在满足题意的P, 当时，.‎ 当时，的取值范围是且 . 　 ……………… 13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ） ，且． ‎ 又，‎ ‎． ‎ 在点处的切线方程为：，‎ 即． 　　　 ……………………… 4分 ‎（Ⅱ）的定义域为，， ‎ 令得．‎ 当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数； ‎ 在处取得极大值，即．　　　……… 8分 ‎（Ⅲ）（i）当，即时，‎ 由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数，‎ 当时，取得最大值，即．‎ 又当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 所以，的图像与的图像在上有公共点，‎ 等价于，解得，‎ 又因为，所以． ‎ ‎（ii）当，即时，在上是增函数，‎ 在上的最大值为，‎ 原问题等价于，解得，‎ 又 无解 综上，的取值范围是． 　　 ……………… 14分 ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（I）由已知得，‎ ‎，，‎ 由题意，即， ‎ 当n为奇数时，；当n为偶数时，. ‎ 所以.　　　　　　　　　　　 …………4分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 由已知，对有，‎ 两边同除以，得，‎ 即，‎ 于是，==，‎ 即，，所以=，‎ ‎，，又时也成立，故，.‎ 所以， ………8分 解法二：也可以归纳、猜想得出，然后用数学归纳法证明．‎ ‎（Ⅲ）当，有，‎ 所以时，有 ‎=.‎ 当时，. 故对一切，有.　　　　………14分 ‎ ‎