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- 2021-05-13 发布
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1.(2018年新课标Ⅲ理)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
C 【解析】A={x|x-1≥0}={x|x≥1},则A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.
2.(2018年新课标Ⅲ理)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
D 【解析】(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.
3.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A B C D
A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.
4.(2018年新课标Ⅲ理)若sin α=,则cos 2α=( )
A. B. C.- D.-
B 【解析】cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.
5.(2018年新课标Ⅲ理)5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20 C.40 D.80
C 【解析】5的展开式的通项为Tr+1=C(x2)5-rr=2rCx10-3r.由10-3r=4,解得r=2
.∴5的展开式中x4的系数为22C=40.
6.(2018年新课标Ⅲ理)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
A 【解析】易得A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2.圆的圆心为(2,0),半径r=.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d==2,∴点P到直线x+y+2=0的距离h的取值范围为[2-r,2+r],即[,3].又△ABP的面积S=|AB|·h=h,∴S的取值范围是[2,6].
7.(2018年新课标Ⅲ理)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )
A B
C D
D 【解析】函数过定点(0,2),排除A,B;函数的导数y′=-4x3+2x=-2x(2x2-1),由y′>0解得x<-或0<x<,此时函数单调递增,排除C.故选D.
8.(2018年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,为独立重复事件,满足X~
B(10,p).由P(X=4)<P(X=6),可得Cp4(1-p)6<Cp6(1-p)4,解得p>.因为DX=2.4,所以10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).
9.(2018年新课标Ⅲ理)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
A. B. C. D.
C 【解析】S△ABC=absin C=,则sin C==cos C.因为0<C<π,所以C=.
10.(2018年新课标Ⅲ理)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
B 【解析】由△ABC为等边三角形且面积为9,得S△ABC=·|AB|2=9,解得AB=6.设半径为4的球的球心为O,△ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点处(如图).O′C=××6=2,OO′==2,则三棱锥DABC高的最大值为6,则三棱锥DABC体积的最大值为××63=18.
11.(2018年新课标Ⅲ理)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )
A. B.2 C. D.
C 【解析】双曲线C的一条渐近线方程为y=x,∴点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,∴|OP|===a,cos∠PF2O=.∵|PF1|=|OP|,∴|PF1|=a.△F1PF2中,
由余弦定理得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2O,即6a2=b2+4c2-2×b×2c×=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),化简得3a2=c2,∴e===.
12.(2018年新课标Ⅲ理)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )
A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b
B 【解析】∵a=log0.20.3=,b=log20.3=,∴a+b=-==,ab=-·=.∵lg >lg ,<0,∴ab<a+b<0.故选B.
13.(2018年新课标Ⅲ理)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________.
【解析】(2a+b)=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),由c∥(2a+b),得=,解得λ=.
14.(2018年新课标Ⅲ理)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=________.
-3 【解析】由y=(ax+1)ex,可得y′=aex+(ax+1)ex.∵y′|x=0=a+1,∴a+1=-2,解得a=-3.
15.(2018年新课标Ⅲ理)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为________.
3 【解析】令f(x)=cos=0,得3x+=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=;当k=3时,x=.∵x∈[0,π],∴x=,或x=,或x=.∴f(x)的零点的个数为3.
16.(2018年新课标Ⅲ理)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
2 【解析】∵抛物线的焦点为F(1,0),∴过A,B两点的直线方程为y=k(x-1).联立化简得k2x2-2(2+k2)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.
∴y1+y2=k(x1+x2-2)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4.∵M(-1,1),∴=(x1+1,y1-1),=(x2+1,y2-1).∵∠AMB=90°=0,∴·=0,即(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,整理得x1x2+(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0,∴1+2+-4-+2=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.
17.(2018年新课标Ⅲ理)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
由a1=1,a5=4a3,得1×q4=4×(1×q2),解得q=±2.
当q=2时,an=2n-1;
当q=-2时,an=(-2)n-1.
(2)当q=-2时,Sn==.由Sm=63,得=63,m∈N,无解;
当q=2时,Sn==2n-1.由Sm=63,得2m-1=63,解得m=6.
18.(2018年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:K2=
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间,
∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,m==80.
由此填写列联表如下:
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
(3)K2==10>6.635,
∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.(2018年新课标Ⅲ文)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
(1)求证:平面AMD⊥平面BMC;
(2)当三棱锥M﹣ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
【解析】(1)证明:在半圆中,DM⊥MC.
∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,∴AD⊥平面DCM.
又MC⊂平面DCM,∴AD⊥MC.
又AD∩DM=D,∴MC⊥平面ADM.
∵MC⊂平面MBC,∴平面AMD⊥平面BMC.
(2)∵△ABC的面积为定值,∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大,则三棱锥的高最大,此时M为圆弧的中点.
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵正方形ABCD的边长为2,∴A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的一个法向量为m=(1,0,0).
设平面MAB的一个法向量为n=(x,y,z),则=(0,2,0),=(-2,1,1).
∴
令x=1,则y=0,z=2,∴n=(1,0,2).
∴cos〈m,n〉===.
设面MAB与面MCD所成的二面角为α,则sin α==.
20.(2018年新课标Ⅲ文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)求证:k<-;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0,求证:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵线段AB的中点为M(1,m),∴x1+x2=2,y1+y2=2m.
将A(x1,y1),B(x2,y2)代入+=1中,
化简得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,即6(x1-x2)+8m(y1-y2)=0,
∴k==-=-.
点M(1,m)在椭圆内,即+<1(m>0),解得0<m<.
∴k=-<-.
(2)证明:设(x3,y3),可得x1+x2=2.
∵++=0,F(1,0),∴x1-1+x2-1+x3-1=0,y1+y2+y3=0.
∴x3=1,y3=-(y1+y2)=-2m.
∵m>0,∴P在第四象限.
∴y3=-,m=,k=-1.
∵|FA|=2-x1,|FB|=2-x2,|FP|=2-x3=,
则|FA|+|FB|=4-(x1+x2)=3.
∴2||=||+||.
联立化简得28x2-56x+1=0.
∴x1+x2=2,x1x2=.
∴|x1-x2|==.
∴该数列的公差d满足2d=±|x1-x2|=±.
∴该数列的公差为±.
21.(2018年新课标Ⅲ理)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.
(1)若a=0,求证:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
【解析】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x(x>-1),则f′(x)=ln(1+x)-.
令g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.
当x∈(-1,0)时,g′(x)≤0;当x∈(0,+∞)时,g′(x)≥0.
∴f′(x)在(-1,0)递减,在(0,+∞)递增.
∴f′(x)≥f′(0)=0.
∴f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x在(-1,+∞)上单调递增.
又f(0)=0,∴当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
(2)由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,
得f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+-2=.
令h(x)=ax2-x+(1+2ax)(1+x)ln(1+x),
则h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(1+x).
当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴x=0不是f(x)的极大值点,不合题意.
当a<0时,令u(x)=h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(1+x),
则u′(x)=8a+4aln(1+x)+,显然u′(x)单调递减.
①令u′(x)=0,解得a=-.
∴当-1<x<0时,u′(x)>0;当x>0时,u′(x)<0.
∴h′(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
∴h′(x)≤h′(0)=0,则h(x)在(0,+∞)上单调递减.
又h(0)=0,∴当-1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0;当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0.
∴f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意.
②若-<a<0,则u′(x)=1+6a>0,u′=(2a-1)(1-e)<0,
∴u′(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0.
∴当0<x<x0时,u′(x)>0,h′(x)单调递增,h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不合题意;
③若a<-,则u′(x)=1+6a<0,u′=(1-2a)e2>0,
∴u′(x)=0在(-1,0)上有唯一一个零点,设为x1.
∴当x1<x<0时,u′(x)<0,h′(x)单调递减,h′(x)>h′(0)=0,h(x)单调递增,h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0.
∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不合题意.
综上,a=-.
22.(2018年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
【解析】(1)将⊙O的参数方程化为普通方程,得为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1.
当α=时,过点(0,-)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;
当α≠时,过点(0,-)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tan α·x+.
∵直线l与⊙O交于A,B两点,∴圆心O(0,0)到直线l的距离d=<1.
∴tan2α>1,解得tan α>1或tan α<-1.
∴<α<或<α<.
综上,α的取值范围为.
(2)由(1)知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=m(y+).
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3).
联立化简得(m2+1)y2+2m2y+2m2-1=0.
∴y1+y2=-,y1y2=.
∴x1+x2=m(y1+)+m(y2+)=-+2m,
x3==,y3==.
∴AB中点P的轨迹的参数方程为(m为参数),(-1<m<1).
23.(2018年新课标Ⅲ理)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
【解析】(1)当x≤-时,f(x)=-(2x+1)-(x-1)=-3x;
当-<x<1,f(x)=(2x+1)-(x-1)=x+2;
当x≥1时,f(x)=(2x+1)+(x-1)=3x.
∴f(x)=
对应的图象如图所示.
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b.
当x=0时,f(0)=2≤0·a+b,∴b≥2;
当x>0时,要使f(x)≤ax+b恒成立,则f(x)的图象恒在直线y=ax+b的下方或在直线上.
∵f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,
∴当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,
∴a+b的最小值为5.