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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点,再作答,漏凃,错涂、多涂。答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。
线性回归方程中系数计算公式
样本数据x1,x2,……,xa的标准差,
其中表示样本均值。
N是正整数,则
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则
A.-i B.i C.-1 D.1
2.已知集合A=为实数,且,B=且则AB的元素个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
3.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)。若为实数,(),则=
A. B. C.1 D.2
4.函数的定义域是
A. B.(1,+)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-,+)
5.不等式2x2-x-1>0的解集是
A. B.(1, +)
C.(-,1)∪(2,+) D.
6.已知平面直角坐标系上的区域D由不等式 给定,若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为,则z=·的最大值为
A.3 B.4 C.3 D.4
7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A.20 B.15 C.12 D.10
8.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
9.如图1-3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰三角形和菱形,则该几何体体积为
A. B.4 C. D.2
10.设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数,如下定义两个函数和;对任意x ∈,(f·g)(x)=;(f·g)(x)=
.则下列恒等式成立的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
11.已知是同等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=2
12.设函数,若,则f(-a)=-9
13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:
时间
1
2
3
4
5
命中率
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为0.5;用线性回归分析的方法,预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为0.53.
(二)选择题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0<)和(t),它们的交点坐标为。
15.(集合证明选讲选做题)如图4,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7:5
答案最下面
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分为12分)
已知函数,R。
(1)求的值;
(2)设,f(3)=,f(3+2)=.求sin( )的值
17.(本小题满分13分)
在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下:
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s;
(2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率。
18.(本小题满分13分)
图5所示的集合体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A,A′,B,B′分别为,,,的中点,分别为的中点.
(1)证明:四点共面;
(2)设G为A A′中点,延长到H′,使得.证明:
19.(本小题满分14分)
设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)的单调性。
20.(本小题满分14分)
设b>0,数列}满足a1=b,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,2ab+1
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP
(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。
参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算,共10小题,每小题5分,满分50分。
A卷:1—5DBCBA 6—10CADCB
二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性。共5小题,每小题5分,满分20分,其中14—15题是选做题,考生只能选做一题。
11.2 12.-9 13.0.5,0.53 14. 15.7:5
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.(本小题满分12分)
解:(1)
;
(2)
故
17.(本小题满分13分)
解:(1)
,
(2)从5位同学中随机选取2位同学,共有如下10种不同的取法:
{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},
选出的2位同学中,恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种取法:
{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},
故所求概率为
18.(本小题满分13分)
证明:(1)中点,
连接BO2
直线BO2是由直线AO1平移得到
共面。
(2)将AO1延长至H使得O1H=O1A,连接
//
由平移性质得=HB
19.(本小题满分14分)
解:函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点,
且当内为增函数;
当内为减函数;
②当内为增函数;
③当内为增函数;
④当
在定义域内有唯一零点,
且当内为增函数;当时,内为减函数。 的单调区间如下表:
(其中)
20.(本小题满分14分)
解:(1)由
令
当
①当
②当时,
(2)当
只需
综上所述
21.(本小题满分14分)
解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
因此即
①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
又
因此M在轴上,此时,记M的坐标为
为分析的变化范围,设为上任意点
由
(即)得,
故的轨迹方程为
②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
(2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3):
;
当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。
再过H作垂直于的直线,交
因此,(抛物线的性质)。
(该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。
当时,则
综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为
(3)由图3知,直线的斜率不可能为零。
设
故的方程得:
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
又由E2和的方程可知,若与E2有交点,
则此交点的坐标为有唯一交点,从而表三个不同的交点。
因此,直线的取值范围是