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- 2021-05-13 发布
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二、填空题
1.(2009浙江卷)若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是 .
【答案】18
【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为18
2.(2009浙江卷理)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点
作,为垂足.设,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着F点到C点时,因平面,即有,对于,又,因此有,则有,因此的取值范围是 .
3.(2009江苏卷)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 .
【答案】1:8
【解析】 考查类比的方法。体积比为1:8
4.(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;
(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;
(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;
(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。
上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号).
【答案】(1)(2)
5.(2009全国卷Ⅰ理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若
,,则此球的表面积等于 。
【答案】
【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得
外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,
故此球的表面积为.
6.(2009全国卷Ⅰ文)已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于__________________.
【答案】
【解析】设球半径为,圆M的半径为,则,即由题得
所以。
【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积,基础题。
7.(2009全国卷Ⅱ)设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平
面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .
【答案】
【解析】设球半径为,圆的半径为, 因为
。由得.故球的表面积等于
.
8.(2009安徽卷理)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________
(写出所有正确命题的编号)。
相对棱AB与CD所在的直线异面;
由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面;
分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
[解析]①④⑤
9.(2009安徽卷文)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
【答案】(0,-1,0) .
【解析】设由可得故
10.(2009安徽卷文)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
○11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
○22由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
○33若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
○44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
○55分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。.
【答案】①④⑤
【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.
11.(2009江西卷理)正三棱柱内接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为 .
【答案】
【解析】由条件可得,所以,到平面的距离为,所以所求体积等于.
12.(2009江西文)体积为的一个正方体,其全面积与球的表面积相等,则球的体积等于 .
设球的半径为,依题设有,则,球的体积为
【答案】4
13.(2009四川卷)如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。
【答案】90°
【解析】作BC的中点N,连接AN,则AN⊥平面BCC1B1,连接B1N,则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影,∵B1N⊥BM,∴AB1⊥BM.即
异面直线所成的角的大小是90°
A
B
O1
O15.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B
是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= .
答案:
14.(2009陕西卷理)如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B
是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= .
【答案】
15.(2009陕西卷文)如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上
两点,若=,则A,B两点间的球面距离为 .
【答案】 A
B
O1
O
【解析】由,=2由勾股定理在中
则有, 又= 则 所以在,
,则,那么 .
由弧长公式得.
16.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则
(1)球心到平面ABC的距离为 12 ;
(2)过A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3
【答案】(1)12;(2)3
【解析】(1)由的三边大小易知此三角形是直角三角形,所以过三点小圆的直径即为10,也即半径是5,设球心到小圆的距离是,则由,可得。(2)设过三点的截面圆的圆心是中点是点,球心是点,则连三角形,易知就是所求的二面角的一个平面角,,所以,即正切值是3。.
17.(2009天津卷理)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则_______
【答案】
【解析】知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为的等腰三角形,所以有。
【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题。
18.(2009年上海卷)如图,若正四棱柱的底面连长为2,高 为4,则异面直线与AD所成角的大小是______________(结果用反三角函数表示).
【答案】
【解析】因为AD∥A1D1,异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所在角,即∠A1D1B,
由勾股定理,得A1B=2,tan∠A1D1B=,所以,∠A1D1B=。
19.(2009年上海卷理)已知三个球的半径,,满足,则它们的表面积,,,满足的等量关系是___________.
【答案】
【解析】,,同理:,即R1=,R2=,R3=,由得
20.(2009上海文)若球O1、O2表示面积之比,则它们的半径之比=_____________.
【答案】6.2
21. (2009上海文)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 。
【答案】
O
B
C
A
O
B
C
A
22.(2009湖北理)如图,卫星和地面之间的电视信号沿直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会,我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星,它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km.(结果中保留反余弦的符号).
【答案】12800arccos
【解析】如图所示,可得AO=42400,则在
Rt△ABO中可得cos∠AOB=
所以
23.(2009辽宁卷)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。
则该几何体的体积为
【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于×2×4×3=4