版高考数学理数列求和及综合应用二轮考点专练 15页

考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 ‎1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝‎2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则（ ）‎ A、{Sn}为递减数列 ‎ B、{Sn}为递增数列 ‎ C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 ‎ D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎ ‎【解析】选B.因为，，，所以，‎ ‎，注意到，所以.‎ 于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值.‎ 因为，‎ 所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列.‎ 二、填空题 ‎2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列的前项和，则的通项公式是_________‎ ‎【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.‎ ‎【解析】由，解得，又，所以，得 ，所以数列是首项为1，公比为 的等比数列.故数列的通项公式 ‎【答案】‎ ‎3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15）‎ 设为数列的前n项和，则 ‎（1）_____；‎ ‎（2）___________.‎ ‎【解题指南】（1） 令，代入 即可得到答案.‎ ‎（2）通过整理可发现当当为偶数时有，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案.‎ ‎【解析】（1）因为，所以， ①，‎ ‎，即 ②， 把②代入①得.‎ ‎（2）因为当时，，整理得，所以，当为偶数时，，‎ 当为奇数时，，所以，‎ 所以，所以当为偶数时，，‎ 所以 ‎.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知是等差数列，，公差，为其前 项和，若、、成等比数列，则 ‎ ‎【解题指南】先根据、、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.‎ ‎【解析】因为、、成等1比数列, 所以,化简得 因为,所以,故 ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数 ‎（I）若；‎ ‎（II）设数列 ‎【解析】（I），‎ 令，即，解得或 若，则时， ，所以.‎ 若，则时，，，所以.‎ 综上的最小值为.‎ ‎（II）令，由（I）知，时，.‎ 即.‎ 取，则.‎ 于是.‎ 所以 ‎6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,‎2a2+2,‎5a3‎ 成等比数列.‎ ‎(1)求d,an.‎ ‎(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.‎ ‎【解题指南】(1)由a1,‎2a2+2,‎5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.‎ ‎(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.‎ ‎【解析】(1)由题意得,‎5a3·a1=(‎2a2+2)2,‎ d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.‎ ‎(2)设数列{an}前n项和为Sn,‎ 因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则 n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;‎ n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110.‎ 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= ‎7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列满足：，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求．‎ ‎【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设知是首项为公比为的等比数列,所以,‎ ‎（Ⅱ）所以公差，‎ 故.‎ ‎8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*.‎ ‎(1)若a1=-c-2,求a2及a3.‎ ‎(2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c.‎ ‎(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1)a2=2,a3=c+10.‎ ‎(2)f(x)= 当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.‎ 当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;‎ 当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c;‎ 所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.‎ ‎(3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列,‎ 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,‎ 从而an+1=f(an)=an+c+8,‎ 由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8.‎ ‎①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,‎ 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,‎ 即a1=-c-8,从而a2=0,‎ 当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,‎ 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求.‎ ‎②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,‎ 又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.‎ ‎③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,‎ 从而{an}为无穷等差数列,符合要求.‎ 综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞). ‎ ‎9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*‎ ‎（1）若a1=0，求a2，a3，a4；‎ ‎（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.‎ ‎（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.‎ ‎(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.‎ ‎①当02时,a3=2-(a1-2)=4-a1,‎ 所以a1(4-a1)=(2-a1)2,‎ 得a1=2-(舍去)或a1=2+.‎ 综合①②得a1=1或a1=2+.‎ ‎(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||.‎ 由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*).‎ 以下分情况讨论:‎ ‎①当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾;‎ ‎②当00,‎ 因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2.‎ 此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.‎ 综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,…,构成等差数列.‎ ‎10. （2013·江苏高考数学科·Ｔ19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：。‎ ‎【解题指南】利用条件，且成等比数列，求出，再代入证明（2）利用条件是等差数列建立与c有关方程。‎ ‎【证明】由题设知,Sn=na+d.‎ ‎（1）若，得.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以,‎ 即：，化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.‎ 因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.‎ 从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.‎ ‎(2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1, n∈N*,‎ 代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1).‎ 令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.　(*)‎ 在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,‎ 从而有 由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,从而cd1=0.‎ 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.‎ 若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0.‎ 又因为cd1=0,所以c=0. ‎ ‎11.（2013·湖南高考文科·Ｔ19）设为数列{}的前项和，已知，2，N ‎（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 求数列｛｝的前项和。‎ ‎【解题指南】（Ⅰ）本题是利用递推关系 求数列的通项公式 ；（Ⅱ）根据第(Ⅰ)问可知应利用错位相减法求数列前n项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）令，得，因为，所以，‎ 令，得，解得。当时，由 ‎，两式相减，整理得，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，。‎ ‎(Ⅱ)由(I )知，记其前项和为，于是 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① ‎-②得 ‎ ‎ 从而 ‎12.（2013·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{an}的前n项和Sn满足：‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an. ‎ ‎(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意，都有. ‎ ‎【解题指南】(1)由题目中的等式求出，然后由求an；（2）化简，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.‎ ‎【解析】（1）由得 由于是正项数列，所以.于是，当时，=,又因为符合上式.综上，数列的通项公式为.‎ ‎(2)因为，，所以.‎ 则 ‎.‎ ‎13.（2013·江西高考文科·Ｔ16）正项数列｛an｝满足.‎ ‎(1)求数列｛an｝的通项公式an；‎ ‎(2)令bn=，求数列｛bn｝的前n项和Tn.‎ ‎【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求，分析｛bn｝通项公式的特点选择正确的求和方法.‎ ‎【解析】(1)由，得.由于｛an｝是正项数列，所以.‎ ‎(2)由，bn=，则 所以.‎ ‎14.(2013·福建高考文科·T17)已知等差数列的公差d=1,前n项和为Sn.‎ ‎(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1.‎ ‎(2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.‎ ‎【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.‎ ‎【解析】(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1×(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.‎ ‎(2)因为数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,‎ 所以5a1+10>+8a1,‎ 即+3a1-10<0,解得-5