学生版高考与阿基米德三角形可与圆锥曲线结合 8页

高考与阿基米德三角形 一、主要概念及性质 ‎1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：‎ ‎2、主要性质：‎ 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。‎ 证明：设，为弦中点，则过的切线方程为，过的切线方程为：，联立方程组得：‎ 解得两切线交点，进而可知轴。‎ 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线。‎ 证明：设，由性质1，，所以有 。由 三点共线知 ‎ 即 ‎ 将 代入得 ‎ 即为点的轨迹方程。‎ 性质3：抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹。‎ 性质4：若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。‎ 证明：设方程为，且，弦过点，由性质2可知点的轨迹方程为，该方程与表示同一条直线，对照可得，即弦过定点。‎ 性质5：底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为。‎ 证明：，设到的距离为，由性质1知 设直线的方程为 ，则，‎ 所以。‎ 性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为。‎ 证明：由性质2，若底边过焦点，则，点的轨迹方程是，即为准线；易验证，即，故阿基米德三角形为直角三角形，且为直角顶点。所以 ‎ 而 性质7 ：在阿基米德三角形中，。‎ 证明：如图，作准线，准线，连接，则，‎ 显然，所以 ，又因为 ，由三角形全等可得 ‎，所以 同理可得 ‎ 所以 ‎ 性质8：‎ 证明：‎ 而 ‎ 性质9 的中点在抛物线上，且点处的切线与平行。‎ 证明：由性质1知，可得点坐标为 ‎，此点显然在抛物线上；过点的切线斜率为 ‎，结论得证。‎ 二、例题解析 ‎1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）‎ 设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.‎ ‎（1）求证：三点共线。‎ ‎（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程.‎ ‎2．（2008年山东卷理科第22题）‎ 如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．‎ ‎（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；‎ y x B A O M ‎（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎3．（2007年江苏卷理科19题）‎ 如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，‎ ‎（1）若，求的值；（5分）‎ ‎（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）‎ ‎4．（2005年江西卷理科22题）‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ ‎5．（2006年全国卷2 理科第21题）‎ 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。‎ 广东模考试题 ‎19. （本小题满分14分）2010届广州二模 ‎ 已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的 ‎ 不同两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且，与相交于点.‎ ‎ (1) 求点的纵坐标；‎ ‎ (2) 证明：、、三点共线；‎ ‎ (3) 假设点的坐标为，问是否存在经过、两点且与、都相切的圆，‎ ‎ 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎18. (本题满分13分)2009韶关一模 已知动圆过定点，且与定直线相切.‎ ‎（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎（II）若、是轨迹C上的两不同动点，且. 分别以、为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.‎ ‎20．（本小题满分14分）2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学 已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；‎ ‎（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．‎ 图6‎