高考数学试题四川卷理科 13页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 理科数学全解全析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1、复数的值是（　　）‎ ‎（A）0 （B）1 （C） （D）‎ 解析：选A．．本题考查复数的代数运算．‎ ‎2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）‎ 解析：选C．注意 的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．‎ ‎3、（　　）‎ ‎（A）0　　（B）1　　（C）　　（D）‎ 解析：选D．本题考查型的极限．原式或原式．‎ ‎4、如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ ‎（A）平面 ‎（B）‎ ‎（C）平面 ‎（D）异面直线与所成的角为 解析：选D．显然异面直线与所成的角为．‎ ‎5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　）‎ ‎（A）　　　（B） 　　（C）　　　（D）‎ 解析：选A．由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．‎ ‎6、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小是，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（　　）‎ ‎（A） （B）　　（C）　　　（D）‎ 解析：选C．．本题考查球面距离．‎ ‎7、设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（　　）‎ ‎（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ 解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：即 ，．‎ ‎8、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　）‎ ‎（A）3 （B）4 （C） （D）‎ 解析：选C．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴‎ ‎，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．‎ ‎9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）‎ ‎（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．‎ ‎10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）‎ ‎（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．‎ ‎11、如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：选D．过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．‎ ‎12、已知一组抛物线，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：选B．这一组抛物线共条，从中任意抽取两条，共有种不同的方法．它们在与直线交点处的切线的斜率．若，有两种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有四种情形，从中取出两条，有种取法；若，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若，有两种情形，从中取出两条，有种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种，故所求概率为．本题是把关题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．‎ ‎13、若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．‎ 解析：，，∴．‎ ‎14、在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是____________‎ 解析：，点到平面的距离为，∴，． ‎ ‎15、已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________‎ 解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得 ‎，．‎ ‎16、下面有5个命题：‎ ‎①函数的最小正周期是．‎ ‎②终边在轴上的角的集合是．‎ ‎③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．‎ ‎④把函数的图象向右平移得到的图象．‎ ‎⑤函数在上是减函数．‎ 其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）‎ 解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）已知<<<,‎ ‎(Ⅰ)求的值.‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。‎ 解：（Ⅰ）由，得 ‎∴，于是 ‎（Ⅱ）由，得 又∵，∴‎ 由得：‎ 所以 ‎（18）（本小题满分12‎ 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.‎ ‎（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;‎ ‎（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.‎ ‎（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ‎ 用对立事件A来算，有 ‎（Ⅱ）可能的取值为 ‎ ，，‎ 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 ‎（19）（本小题满分12分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小;‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）∵‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）取的中点，则，连结，‎ ‎∵，∴，从而 作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，‎ 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ‎∴‎ 在中，由余弦定理得 在中，‎ 在中，‎ 在中，‎ 故二面角的平面角大小为 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形 ‎∴‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）‎ 由题意有，设，‎ 则 由直线与直线所成的解为，得 ‎，即，解得 ‎∴，设平面的一个法向量为，‎ 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的平面角大小为 ‎（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离 ‎∵，∴‎ ‎（20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 ‎（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 ‎（21）（本小题满分12分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数．‎ ‎（Ⅰ）用表示；‎ ‎(Ⅱ) 证明：对一切正整数的充要条件是 ‎（Ⅲ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式。‎ ‎（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）由题可得 所以过曲线上点的切线方程为，‎ 即 令，得，即 显然 ∴‎ ‎（Ⅱ）证明：（必要性）‎ 若对一切正整数，则，即，而，∴，即有 ‎（充分性）若，由 用数学归纳法易得，从而，即 又 ∴‎ 于是，‎ 即对一切正整数成立 ‎（Ⅲ）由，知，同理，‎ 故 从而，即 所以，数列成等比数列，故，‎ 即，从而 所以 ‎ (22)(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;‎ ‎(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞‎ ‎(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。‎ ‎（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 ‎（Ⅱ）证法一：因 证法二：因 而 故只需对和进行比较。‎ 令，有 由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值 故当时，，‎ 从而有，亦即 故有恒成立。‎ 所以，原不等式成立。‎ ‎（Ⅲ）对，且 有 又因，故 ‎∵，从而有成立，‎ 即存在，使得恒成立。‎