高考线性回归方程总结 8页

第二讲 线性回归方程 一、相关关系： 1、 2、相关系数： ，其中： （1） ； （ 2 ） 例题 1：下列两个变量具有相关关系的是（ ） A.正方形的体积与棱长； B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间； C.人的身高和体重； D.人的身高与视力。 例题 2：在一组样本数据 的散点 图中，若所有样本点 都在直线 上，则样本相关系数为 （ ） 例题 3： 是相关系数，则下列命题正确的是： （1） 时，两个变量负相关很强；（2） 时，两个变量正相关 很强； （3） 时，两个变量相关性一般； （4）（4） 时，两个变量相关性很弱。 3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。    < = 1|| 1|| r r 不确定关系：相关关系 确定关系：函数关系 ∑∑ ∑ == = −⋅− −− = n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( ))((    < > 负相关 正相关 0 0 r r 相关性很弱；相关性很强； 3.0||75.0|| <> rr ),,,2)(,(),,(),,( 212211 不全相等nnn xxxnyxyxyx  ≥ ),2,1)(,( niyx ii = 12 1 +−= xy 2 1.2 1.1.1. −− DCBA r ]75.0,1[ −−∈r ]1,75.0[∈r )75.0,3.0[]3.0,75.0( 或−−∈r 1.0=r 例题 4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（ ） A.预报变量在 轴上，解释变量在 轴上； B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在 轴上； D.可以选择两个变量中的任意一个变量在 轴上； 例题 5：散点图在回归分析过程中的作用是（ ） A.查找个体个数 B.比较个体数据的大小 C.研究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相 关 二、线性回归方程： 1、回归方程： 其中 ， （代入样本点的中心） 例题 1：设 是变量 个样本点，直线 是由这些样本 点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是 （ ） A.直线 过点 B.当 为偶数时，分布在 两侧的样本点的个数一定相同 C. 相关系数在 0 到 1 之间 D. 相关系数为直线 的斜率 例 题 2 ： 工 人 月 工 资 （ 元 ） 依 劳 动 生 产 率 （ 千 元 ） 变 化 的 回 归 直 线 方 程 为 ，下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为 1000 元时，工资为 150 元； B.劳动生产率提高 1000 元时，工资平均提高 150 元； C.劳动生产率提高 1000 元时，工资平均提高 90 元； x y x y x y axby ˆˆˆ += 2 1 2 1 1 2 1 )( ))(( ˆ xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii − − = − −− = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = xbya ˆˆ −= ),(),,(),,( 2211 nn yxyxyx  nyx 的和 l l ),( yx n l 的和yx 的和yx l y x xy 9060ˆ += D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元； 例题 3：设某大学的女生体重 与身高 具有线性相关关系，根据一组样本数 据 ，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则不正确 的是（ ） A. 与 具有正的线性相关关系； B.回归直线过样本点的中心 C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 例题 4：为了了解儿子的身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如 下： 父亲身高 174 176 176 176 178 儿子身高 175 175 176 177 177 则 对 的线性回归方程为（ ）A. B. C. D. 2、残差： （1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。 （2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。 （3）残差平方和 越小，模型拟合精度越高。 3、相关指数： )(kgy )(cmx )2,1)(,( niyx ii = 71.8585.0ˆ −= xy y x ),( yx y x 1−= xy 1+= xy xy 2 188+= 176=y ∑ = − n i ii yy 1 2)ˆ( ∑ ∑ = = − − −= n i i n i ii yy yy R 1 2 1 2 2 )( )ˆ( 1 （1）其中： 为残差平方和； 为总偏差平方和。 （2） ，越大模型拟合精度越高。 例题 5：下列说法正确的是（ ） （1）残差平方和越小，相关指数 越小，模型拟合效果越差； （2）残差平方和越大，相关指数 越大，模型拟合效果越好； （3）残差平方和越小，相关指数 越大，模型拟合效果越好； （4）残差平方和越大，相关指数 越小，模型拟合效果越差； A.（1）（2） B.（3）（4） C.（1）（4） D.（2）（3） 例题 6：关于回归分析，下列说法错误的是（ ） A.在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，则因变量不能由自变量唯一确定； B.线性相关系数 可以是正的，也可以是负的 C.样本点的残差可以是正的，也可以是负的 D.相关指数 可以是正的，也可以是负的 例题 7：下列命题正确的是（ ） （1）线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱； （2）残差平方和越小的模型，拟合的效果越好； （3）用相关指数 来刻画回归效果， 越小，说明模型的拟合效果越好； （4）随机误差 是衡量预报精确度的一个量，但它是一个不可观测的量； （5） 表示相应于点 的残差，且 。 A.（1）（3）（5） B.（2）（4）（5） C.（1）（2）（4） D.（2）（3） 例题 8：已知 与 之间的几组数据如下表： 1 2 3 4 5 6 ∑ = − n i ii yy 1 2)ˆ( ∑ = − n i i yy 1 2)( )1,0(2 ∈R 2R 2R 2R 2R r 2R r 2R 2R e ieˆ ),( ii yx 0ˆ 1 =∑ = n i ie x y x 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得的线性回归直线方程为 。若某同学根据上表中的前两 个数据 求得的直线方程为 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 例题 9：关于某设备的使用年限 （年）和所支出的维修费用 （万元）有下表所示的 资料： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知， 对 呈线性相关关系，求： （1）线性回归方程 中的回归系数 ； （2）残差平方和与相关指数 ，作出残差图，并对该回归模型的拟合精度作出适当 判断； （3）使用年限为 10 年时，维修费用大约是多少？ 三、非线性回归模型： 例题 1：如果样本点分布在某一条指数函数曲线 的周围，其中 和 是参数， 通过两边取自然对数的方法，把指数关系式变成对数关系式后，下列哪个变换结果是 正确的（ ） A. B. C. D. 例题 2：下列回归方程中， 是线性回归方程； 是非线性回归方程。 （1） （2） （3） y axby ˆˆˆ += )2,2(),0,1( axby ′+′= aabb ′>′> ˆ,ˆ aabb ′<′> ˆ,ˆ aabb ′>′< ˆ,ˆ aabb ′<′< ˆ,ˆ x y y x axby ˆˆˆ += ba ˆ,ˆ 2R bxaey = a b abxy lnln ⋅= abxy lnln += abxy lnlnln ⋅= abxy lnlnln += 27.3688.0ˆ += xy 8.1225.0ˆ 2 −= xy xey 3.16.2ˆ = （4） （5） 例题 3：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千 元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量 的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = 1, ， = 1 （Ⅰ）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下 列问题： （i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线 v= u 的斜率 和截距的最小二乘估计分别为： xy 5.14ˆ −= xey 185.0 38.1ˆ −= x y w 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i w w = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i w w y y = − −∑ x w 1 8 8 1i w = ∑ y a bx= + y c d x= + α β+ 四、独立性检验： 例题 1：下表是一个 列联表： 21 73 2 25 27 总计 46 100 则表中 的值分别为 。 例题 2：可以粗略的判断两个分类变量是否有关系的是（ ） A.散点图 B.残差图 C.等高条形图 D.以上都不对 例题 3：在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大 （ ） A. B. C. D. 例题 4：在判断两个分类变量是否有关系的常用方法中，最为精确的方法是（ ） A.考察随机误差 B.考察线性相关系数 C.考察相关指数 D.考察独立性检验中的 例题 5：在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（）。 ^ ^ ^ 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i u u v v v u u u β α β= = − − = = − − ∑ ∑ 22× 1y 2y 1x a 2x b ba, dc c ba a ++ 与 da c dc a ++ 与 cb c da a ++ 与 ca c db a ++ 与 e r 2R 2K ①若 的观测值满足 ，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么 在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病； ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么 他有 99&的可能患有肺病； ③从统计量中得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性使得推 断出现错误。 A. ① B. ①③ C. ③ D. ② 例题 6：在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）： 数学成绩与物理成绩之间有（）把握有关。 A. B. C. D. 2k 635.62 ≥k