2006高考文科数学试卷及答案全国1 14页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国卷Ⅰ）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。‎ ‎3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一．选择题 ‎（1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则 ‎（A）M （B）M ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则 ‎（A）f(2x)=e2x(x （B）f(2x)=ln2lnx(x>0 （C）f(2x)=2e2x(x （D）f(2x)= lnx+ln2(x>0‎ ‎（4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=‎ ‎（A）- （B）-4 (C)4 （D）‎ ‎（5）设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4=‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎（6）函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为 ‎（A）(k-, k+),k （B）(k, (k+1)),k ‎ ‎(C) (k-, k+),k （D）(k-, k+),k ‎ ‎（7）从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）0‎ ‎（8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是 ‎（A）16 （B）20 （C）24 （D）32‎ ‎（10）在（x-）10的展开式中，x4的系数为 ‎（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15‎ ‎（11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是 ‎（A） （B） （C） （D）3‎ ‎（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为 ‎（A）8cm2 （B）6cm2 （C）3cm2 （D）20cm2 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎3．本卷共10小题，共90分。‎ 题号 二 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 分数 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎ 二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 ‎ ‎（13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a = 。‎ ‎（14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2‎ ‎,则侧面与底面所成的二面角等于 。‎ ‎（15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件 则z的最大值为__________‎ ‎(16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎ ‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（17）（本大题满分12分）‎ 已知{an}为等差数列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通项公式.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（18）（本大题满分12分）‎ ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（19）（本大题满分12分）‎ A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为，服用B有郊的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;‎ ‎（Ⅱ）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（20）（本大题满分12分）‎ 如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN A B C M N l1‎ l2‎ ‎（I）证明ACNB ‎（II）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（21）（本大题满分12分）‎ 设P为椭圆(a>1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎（22）（本大题满分14分）‎ 设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a的最值范围 ‎2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西）‎ 文科数学参考答案 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。‎ ‎1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D ‎7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。‎ ‎13．155 14. 70 15.100 16. ①③④‎ 三．解答题 ‎（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。‎ 解：（I）‎ ‎∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，‎ ‎∴sin(2×+)=±1，‎ ‎∴+=kπ+，k∈Z.‎ ‎∵-π<<0,‎ ‎∴=-.‎ ‎（II）由（I）知=-，因此 y=sin(2x-).‎ 由题意得 ‎2kπ-≤2x-≤2kπ+, k∈Z.‎ 所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为 ‎[kπ+,kπ+], k∈Z.‎ ‎(III)由y=sin(2x- )知 x ‎0‎ π y ‎-‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-‎ 故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是 ‎（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。‎ 方法一：‎ ‎（I）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎∴由三垂线定理得：CD⊥PD.‎ 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，‎ ‎∴CD⊥面PAD.‎ 又CD面PCD，∴面PAD⊥PCD.‎ ‎（II）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.‎ 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，‎ 所以四边形ACBE为正方形.‎ 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°，‎ 在Rt△PEB中BE=，PB=，‎ cos∠PBE=‎ ‎∴AC与PB所成的角为arccos.‎ ‎(III)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.‎ 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，‎ ‎∴△AMC≌△BMC，‎ ‎∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角。‎ ‎∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，‎ 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.‎ 在等腰三角形AMC中，AN·MC=.‎ ‎∴AN=.‎ ‎∵AB=2，‎ ‎∴cos∠ANB=‎ 故所求的二面角为arccos(-).‎ 方法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).‎ ‎(I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.‎ 又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD。‎ 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.‎ ‎（II）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),‎ 故||=，||=，·=2，所以 cos<·>==‎ 由此得AC与PB所成的角为arccos ‎（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R，使 ‎=λ，‎ ‎=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),‎ ‎∴x=1-λ,y=1,z=λ.‎ 要使AN⊥MC只需·=0,即 x-z=0,解得λ=.‎ 可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.‎ 此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.‎ 由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.‎ ‎∵||=,||=,·=-.‎ ‎∴cos<,>=‎ 故所求的二面角为arccos(-).‎ ‎(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。‎ 解：（I）∵f(x)+2x>0的解集为（1，3），‎ ‎∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①‎ 由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. ②‎ 因为方程②有两个相等的根，所以△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,‎ 即 5a2-4a-1=0.‎ 解得 a=1或a=-.‎ 由于a<0，舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式 f(x)=- x2-x-.‎ ‎(II)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a ‎=a(x-)2-‎ 及a<0，可得f(x)的最大值为-.‎ 由 解得 a<-2-或-2+0，所以 ‎ 210q10=1,‎ 解得q=,因而 ‎ an=a1qn-1=,n=1,2,….‎ ‎(II)因为{an}是首项a1=、公比q=的等比数列，故 ‎ Sn==1-，nSn=n-.‎ 则数列{nSn}的前n项和 ‎ Tn=(1+2+…+n)-(++…+)，‎ ‎ (1+2+…+n)-(++…+).‎ 前两式相减，得 ‎ (1+2+…+n)-(++…+)+‎ ‎ =-+,‎ 即 Tn=‎ ‎（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.‎ ‎（I）解：设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0).‎ 则直线AB的方程为y=x-c,‎ 代入=1，化简得 ‎ (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.‎ 令A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则 x1+x2=,x1x2=.‎ 由=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与a共线，得 ‎ 3(y1+y2)+(x1+x2)=0.‎ 又 y1=x1-c,y2=x2-c,‎ ‎∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,‎ ‎∴ x1+x2=‎ 即 ,所以a2=3b2.‎ ‎∴ c=,‎ 故离心率e=.‎ ‎（II）证明：由（I）知a2=3b2,所以椭圆=1可化为 x2+3y2=3b2.‎ 设=(x,y),由已知得 ‎(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),‎ ‎ x=λx1+μx2,‎ ‎∴‎ ‎ y=λy1+μy2.‎ ‎∵M(x,y)在椭圆上，‎ ‎∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2.‎ 即λ2(+3)+μ2(+3)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2, ①‎ 由（I）知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.‎ ‎∴x1x2=c2.‎ ‎∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)‎ ‎=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2‎ ‎=c2-c2+3c2‎ ‎=0.‎ 又=3b2,=3b2,代入①得 λ2+μ2=1.‎ 故λ2+μ2为定值，定值为1.‎