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- 2021-05-13 发布
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中档题目强化练——三角函数、解三角形
A组 专项基础训练
(时间:35分钟,满分:57分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1. 已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=,则tan A等于 ( )
A.- B. C.- D.
答案 A
解析 由得
或(舍去),∴tan A=-.
2. 函数y=3cos(x+φ)+2的图象关于直线x=对称,则φ的可能取值是 ( )
A. B.- C. D.
答案 A
解析 ∵y=cos x+2的对称轴为x=kπ(k∈Z),
∴x+φ=kπ(k∈Z),即x=kπ-φ(k∈Z),令=kπ-φ(k∈Z)得φ=kπ-(k∈Z),在四个选项中,只有满足题意.
3. 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 A
解析 由题意知ω·+φ=k1π,ω·+φ=k2π+,
其中k1,k2∈Z,两式相减可得ω=4(k2-k1)+2,
又ω>0,易知ω的最小值为2.故选A.
4. 设函数f(x)=cos(ωx+φ)-sin(ωx+φ),且其图象相邻的两条对称轴为x1=0,x2=,则 ( )
A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数
B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数
C.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数
D.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数
答案 B
解析 由已知条件得f(x)=2cos,
由题意得=,∴T=π.∴T=,∴ω=2.
又∵f(0)=2cos,x=0为f(x)的对称轴,
∴f(0)=2或-2,又∵|φ|<,∴φ=-,
此时f(x)=2cos 2x,在上为减函数,故选B.
5. 已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x-m在上有两个零点,则m的取值范围是 ( )
A.(1,2) B.[1,2)
C.(1,2] D.[1,2]
答案 B
解析 利用三角函数公式转化一下,得f(x)=2sin(2x+)-m,
它的零点是函数y1=2sin(2x+)和y2=m的交点所对应的x的值,
∴要在上有两个零点,y1和y2就要有两个交点,
结合函数y1=2sin在上的图象,
知道当y2=m在[1,2)上移动时,两个函数有两个交点.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6. 已知△ABC的面积为,AC=,∠ABC=,则△ABC的周长等于________.
答案 3+
解析 S=acsin∠ABC=,得ac=2;①
根据余弦定理cos∠ABC=,得a2+c2=5.②
由①②可求得a+c=3,则三角形周长可求.
7. 函数y=tan的对称中心为________.
答案 (k∈Z)
解析 ∵y=tan x(x≠+kπ,k∈Z)的对称中心为(k∈Z),
∴可令2x+=(k∈Z),解得x=-+(k∈Z).
因此,函数y=tan的对称中心为
(k∈Z).
8. 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f=-,则f(0)=________.
答案
解析 由图象,可知所求函数的最小正周期为,
故ω=3.
从函数图象可以看出这个函数的图象关于点中心对称,
也就是函数f(x)满足f=-f,
当x=时,得f=-f=-f(0),
故得f(0)=.
三、解答题(共22分)
9. (10分)(2013·重庆)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2=b2+c2+bc.
(1)求A;
(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.
解 (1)由余弦定理得
cos A===-.
又因为00,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的相交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
解 (1)由最低点为M,得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得,=,
即T=π,所以ω===2.
由点M在函数f(x)的图象上,
得2sin=-2,
即sin=-1.
故+φ=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-(k∈Z).
又φ∈,所以φ=,
故f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)因为x∈,所以2x+∈.
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1.
故函数f(x)的值域为[-1,2].
B组 专项能力提升
(时间:25分钟,满分:43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1. 若0≤sin α≤,且α∈[-2π,0],则α的取值范围是 ( )
A.∪
B.∪
(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
答案 A
解析 根据题意并结合正弦线可知,
α满足∪
(k∈Z),
∵α∈[-2π,0],∴α的取值范围是
∪.
故选A.
2. 同时具有下列性质:“①对任意x∈R,f(x+π)=f(x)恒成立;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数”的函数可以是 ( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=cos
D.f(x)=cos
答案 B
解析 依题意,知满足条件的函数的一个周期是π,
以x=为对称轴,且在上是增函数.
对于A,其周期为4π,因此不正确;
对于C,f=-1,但该函数在上不是增函数,因此C不正确;
对于D,f≠±1,因此D不正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
3. 已知函数f(x)=2sin x,g(x)=2sin,直线x=m与f(x),g(x)的图象分别交于M、N两点,则|MN|的最大值为________.
答案 2
解析 构造函数F(x)=2sin x-2cos x=2sin,故最大值为2.
4. 曲线y=2sincos与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,…,则|P2P4|=________.
答案 π
解析 y=2sincos
=2sin·cos=2sin2
=1-cos=1+sin 2x,
|P2P4|恰为一个周期的长度π.
三、解答题
5. (13分)已知函数f(x)=(sin2x-cos2x)-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)设x∈,求f(x)的值域和单调递增区间.
解 (1)∵f(x)=-(cos2x-sin2x)-2sin xcos x
=-cos 2x-sin 2x=-2sin,
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈,∴-≤2x+≤π.
∴-≤sin≤1.
∴f(x)的值域为[-2,].
∵当y=sin递减时,f(x)递增,
令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
又x∈,∴≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为.