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  • 2021-05-13 发布

2006高考理科数学试卷及答案全国1

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‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项:‎ ‎1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。‎ ‎3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式:‎ 如果事件A、B互斥,那么 球是表面积公式 ‎ ‎ 如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 ‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一.选择题 ‎(1)设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则 ‎(A)M (B)M ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(2)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则 ‎(A)f(2x)=e2x(x (B)f(2x)=ln2lnx(x>0 (C)f(2x)=2e2x(x (D)f(2x)= lnx+ln2(x>0‎ ‎(3)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=‎ ‎(A)- (B)-4 (C)4 (D)‎ ‎(4)如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=‎ ‎(A)1 (B)-1 (C) (D)-‎ ‎(5)函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为 ‎(A)(k-, k+),k (B)(k, (k+1)),k ‎ ‎(C) (k-, k+),k (D)(k-, k+),k ‎ ‎(6)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c,且c=2a,则cosB=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ‎(A)16 (B)20 (C)24 (D)32‎ ‎(8)抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是 ‎(A) (B) (C) (D)3‎ ‎(9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30后与同向,其中i=1、2、3,则 ‎(A)-b1+b2+b3=0 (B)b1-b2+b3=0 ‎ ‎(C)b1+b2-b3=0 (D)b1+b2+b3=0 ‎ ‎(10)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=‎ ‎(A)120 (B)105 (C)90 (D)75‎ ‎(11)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为 ‎(A)8cm2 (B)6cm2 (C)3cm2 (D)20cm2 ‎ ‎(12)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子和B,要使B中的最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有 ‎(A)50种 (B)49种 (C)48种 (D)47种 第Ⅱ卷 注意事项:‎ ‎1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ ‎3.本卷共10小题,共90分。‎ 题号 二 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 分数 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎ 二.本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。 ‎ ‎(13)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于 ‎ ‎(14)设z=2y-x,式中x、y满足下列条件 则z的最大值为__________‎ ‎(15)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)‎ ‎(16)设函数f(x)=cos(x+)(0<<).若f(x)+f(x)为奇函数,则=_______‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎ ‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(17)(本大题满分12分)‎ ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(18)(本大题满分12分)‎ A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一组试验中,服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多,就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为,服用B有郊的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;‎ ‎(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望..‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(19)(本大题满分12分)‎ 如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公垂线段,点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN A B C M N l1‎ l2‎ ‎(I)证明ACNB ‎(II)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(20)(本大题满分12分)‎ 在平面直角坐标系xoy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在P处的切线与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量.求 ‎(I)点M的轨迹方程 ‎(II)||的最小值.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(21)(本大题满分12分)‎ 已知函数f(x)=‎ (I) 设a>0,讨论y=f(x)的单调性;‎ (II) 若对任意的x(0,1),恒有f(x)>1,求a的取值范围.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎ ‎(22)(本大题满分14分)‎ ‎ ‎ 设数列{an}的前n项和 Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,…..‎ ‎(I)求首项a1与通项an;‎ ‎(II)设Tn=, n=1,2,3,…..,证明:‎ ‎2005全国卷I(河北、河南、安徽、山西)‎ 文科数学参考答案 一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。‎ ‎1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D ‎7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。‎ ‎13.155 14. 70 15.100 16. ①③④‎ 三.解答题 ‎(17)本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。满分12分。‎ 解:(I)‎ ‎∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,‎ ‎∴sin(2×+)=±1,‎ ‎∴+=kπ+,k∈Z.‎ ‎∵-π<<0,‎ ‎∴=-.‎ ‎(II)由(I)知=-,因此 y=sin(2x-).‎ 由题意得 ‎2kπ-≤2x-≤2kπ+, k∈Z.‎ 所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为 ‎[kπ+,kπ+], k∈Z.‎ ‎(III)由y=sin(2x- )知 x ‎0‎ π y ‎-‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-‎ 故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像是 ‎(18)本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力,满分12分。‎ 方法一:‎ ‎(I)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,‎ ‎∴由三垂线定理得:CD⊥PD.‎ 因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,‎ ‎∴CD⊥面PAD.‎ 又CD面PCD,∴面PAD⊥PCD.‎ ‎(II)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角.‎ 连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,‎ 所以四边形ACBE为正方形.‎ 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,‎ 在Rt△PEB中BE=,PB=,‎ cos∠PBE=‎ ‎∴AC与PB所成的角为arccos.‎ ‎(III)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.‎ 在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,‎ ‎∴△AMC≌△BMC,‎ ‎∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。‎ ‎∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,‎ 在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.‎ 在等腰三角形AMC中,AN·MC=.‎ ‎∴AN=.‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴cos∠ANB=‎ 故所求的二面角为arccos(-).‎ 方法二:因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).‎ ‎(I)证明:因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.‎ 又由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD。‎ 又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.‎ ‎(II)解:因=(1,1,0),=(0,2,-1),‎ 故||=,||=,·=2,所以 cos<·>==‎ 由此得AC与PB所成的角为arccos ‎(III)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使 ‎=λ,‎ ‎=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),‎ ‎∴x=1-λ,y=1,z=λ.‎ 要使AN⊥MC只需·=0,即 x-z=0,解得λ=.‎ 可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.‎ 此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.‎ 由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.‎ ‎∵||=,||=,·=-.‎ ‎∴cos<,>=‎ 故所求的二面角为arccos(-).‎ ‎(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。‎ 解:(I)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),‎ ‎∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①‎ 由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. ②‎ 因为方程②有两个相等的根,所以△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,‎ 即 5a2-4a-1=0.‎ 解得 a=1或a=-.‎ 由于a<0,舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式 f(x)=- x2-x-.‎ ‎(II)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a ‎=a(x-)2-‎ 及a<0,可得f(x)的最大值为-.‎ 由 解得 a<-2-或-2+0,所以 ‎ 210q10=1,‎ 解得q=,因而 ‎ an=a1qn-1=,n=1,2,….‎ ‎(II)因为{an}是首项a1=、公比q=的等比数列,故 ‎ Sn==1-,nSn=n-.‎ 则数列{nSn}的前n项和 ‎ Tn=(1+2+…+n)-(++…+),‎ ‎ (1+2+…+n)-(++…+).‎ 前两式相减,得 ‎ (1+2+…+n)-(++…+)+‎ ‎ =-+,‎ 即 Tn=‎ ‎(22)本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.‎ ‎(I)解:设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0).‎ 则直线AB的方程为y=x-c,‎ 代入=1,化简得 ‎ (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.‎ 令A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则 x1+x2=,x1x2=.‎ 由=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与a共线,得 ‎ 3(y1+y2)+(x1+x2)=0.‎ 又 y1=x1-c,y2=x2-c,‎ ‎∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,‎ ‎∴ x1+x2=‎ 即 ,所以a2=3b2.‎ ‎∴ c=,‎ 故离心率e=.‎ ‎(II)证明:由(I)知a2=3b2,所以椭圆=1可化为 x2+3y2=3b2.‎ 设=(x,y),由已知得 ‎(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),‎ ‎ x=λx1+μx2,‎ ‎∴‎ ‎ y=λy1+μy2.‎ ‎∵M(x,y)在椭圆上,‎ ‎∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2.‎ 即λ2(+3)+μ2(+3)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2, ①‎ 由(I)知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.‎ ‎∴x1x2=c2.‎ ‎∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)‎ ‎=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2‎ ‎=c2-c2+3c2‎ ‎=0.‎ 又=3b2,=3b2,代入①得 λ2+μ2=1.‎ 故λ2+μ2为定值,定值为1.‎