- 550.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(全国卷Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一.选择题
(1)设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则
(A)M (B)M
(C) (D)
(2)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则
(A)f(2x)=e2x(x (B)f(2x)=ln2lnx(x>0 (C)f(2x)=2e2x(x (D)f(2x)= lnx+ln2(x>0
(3)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=
(A)- (B)-4 (C)4 (D)
(4)如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=
(A)1 (B)-1 (C) (D)-
(5)函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为
(A)(k-, k+),k (B)(k, (k+1)),k
(C) (k-, k+),k (D)(k-, k+),k
(6)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c,且c=2a,则cosB=
(A) (B) (C) (D)
(7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4,体积为16,则这个球的表面积是
(A)16 (B)20 (C)24 (D)32
(8)抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是
(A) (B) (C) (D)3
(9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30后与同向,其中i=1、2、3,则
(A)-b1+b2+b3=0 (B)b1-b2+b3=0
(C)b1+b2-b3=0 (D)b1+b2+b3=0
(10)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=
(A)120 (B)105 (C)90 (D)75
(11)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为
(A)8cm2 (B)6cm2 (C)3cm2 (D)20cm2
(12)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子和B,要使B中的最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
(A)50种 (B)49种 (C)48种 (D)47种
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3.本卷共10小题,共90分。
题号
二
总分
17
18
19
20
21
22
分数
得分
评卷人
二.本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
(13)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于
(14)设z=2y-x,式中x、y满足下列条件
则z的最大值为__________
(15)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答)
(16)设函数f(x)=cos(x+)(0<<).若f(x)+f(x)为奇函数,则=_______
三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
得分
评卷人
(17)(本大题满分12分)
ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos取得最大值,并求出这个最大值
得分
评卷人
(18)(本大题满分12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一组试验中,服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多,就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A有郊的概率为,服用B有郊的概率为.
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望..
得分
评卷人
(19)(本大题满分12分)
如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线,MN是它们的公垂线段,点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN
A
B
C
M
N
l1
l2
(I)证明ACNB
(II)若,求NB与平面ABC所成角的余弦值
得分
评卷人
(20)(本大题满分12分)
在平面直角坐标系xoy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在P处的切线与x轴、y轴的交点分别为A、B,且向量.求
(I)点M的轨迹方程
(II)||的最小值.
得分
评卷人
(21)(本大题满分12分)
已知函数f(x)=
(I) 设a>0,讨论y=f(x)的单调性;
(II) 若对任意的x(0,1),恒有f(x)>1,求a的取值范围.
得分
评卷人
(22)(本大题满分14分)
设数列{an}的前n项和
Sn,=an-2n+1+,n=1,2,3,…..
(I)求首项a1与通项an;
(II)设Tn=, n=1,2,3,…..,证明:
2005全国卷I(河北、河南、安徽、山西)
文科数学参考答案
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D
7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
13.155 14. 70 15.100 16. ①③④
三.解答题
(17)本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力。满分12分。
解:(I)
∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴,
∴sin(2×+)=±1,
∴+=kπ+,k∈Z.
∵-π<<0,
∴=-.
(II)由(I)知=-,因此
y=sin(2x-).
由题意得
2kπ-≤2x-≤2kπ+, k∈Z.
所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为
[kπ+,kπ+], k∈Z.
(III)由y=sin(2x- )知
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像是
(18)本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力,满分12分。
方法一:
(I)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂线定理得:CD⊥PD.
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD,∴面PAD⊥PCD.
(II)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四边形ACBE为正方形.
由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°,
在Rt△PEB中BE=,PB=,
cos∠PBE=
∴AC与PB所成的角为arccos.
(III)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。
∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN·MC=.
∴AN=.
∵AB=2,
∴cos∠ANB=
故所求的二面角为arccos(-).
方法二:因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,).
(I)证明:因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP⊥DC.
又由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD。
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.
(II)解:因=(1,1,0),=(0,2,-1),
故||=,||=,·=2,所以
cos<·>==
由此得AC与PB所成的角为arccos
(III)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,使
=λ,
=(1-x,1-y,-z), =(1,0,-),
∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC只需·=0,即
x-z=0,解得λ=.
可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0.
此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0.
由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角.
∵||=,||=,·=-.
∴cos<,>=
故所求的二面角为arccos(-).
(19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。
解:(I)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),
∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0.因而
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a. ①
由方程f(x)+6a=0得
ax2-(2+4a)x+9a=0. ②
因为方程②有两个相等的根,所以△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即 5a2-4a-1=0.
解得 a=1或a=-.
由于a<0,舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式
f(x)=- x2-x-.
(II)由
f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a
=a(x-)2-
及a<0,可得f(x)的最大值为-.
由
解得 a<-2-或-2+0,所以
210q10=1,
解得q=,因而
an=a1qn-1=,n=1,2,….
(II)因为{an}是首项a1=、公比q=的等比数列,故
Sn==1-,nSn=n-.
则数列{nSn}的前n项和
Tn=(1+2+…+n)-(++…+),
(1+2+…+n)-(++…+).
前两式相减,得
(1+2+…+n)-(++…+)+
=-+,
即 Tn=
(22)本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分.
(I)解:设椭圆方程为=1(a>b>0),F(c,0).
则直线AB的方程为y=x-c,
代入=1,化简得
(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.
令A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2=,x1x2=.
由=(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), 与a共线,得
3(y1+y2)+(x1+x2)=0.
又 y1=x1-c,y2=x2-c,
∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,
∴ x1+x2=
即 ,所以a2=3b2.
∴ c=,
故离心率e=.
(II)证明:由(I)知a2=3b2,所以椭圆=1可化为
x2+3y2=3b2.
设=(x,y),由已知得
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),
x=λx1+μx2,
∴
y=λy1+μy2.
∵M(x,y)在椭圆上,
∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2.
即λ2(+3)+μ2(+3)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2, ①
由(I)知x1+x2=c,a2=c2,b2=c2.
∴x1x2=c2.
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2
=c2-c2+3c2
=0.
又=3b2,=3b2,代入①得
λ2+μ2=1.
故λ2+μ2为定值,定值为1.