高考数学试题 12页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题

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‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试 ‎(全国卷I新课标)‎ 注意事项:‎ ‎1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.‎ ‎2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则(  ).‎ A.A∩B= B.A∪B=R C.BA D.AB 答案:B 解析:∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2.‎ ‎∴集合A与B可用图象表示为:‎ 由图象可以看出A∪B=R,故选B.‎ ‎2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(  ).‎ A.-4 B. C.4 D.‎ 答案:D 解析:∵(3-4i)z=|4+3i|,‎ ‎∴.‎ 故z的虚部为,选D.‎ ‎3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  ).‎ A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.‎ ‎4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  ).‎ A.y= B.y=‎ C.y= D.y=±x 答案:C 解析:∵,∴.‎ ‎∴a2=4b2,.‎ ‎∴渐近线方程为.‎ ‎5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(  ).‎ A.[-3,4] B.[-5,2]‎ C.[-4,3] D.[-2,5]‎ 答案:A 解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).‎ 若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.‎ 故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s∈[3,4].‎ 综上可知,输出的s∈[-3,4].故选A.‎ ‎6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(  ).‎ A.cm3 B.cm3‎ C.cm3 D.cm3‎ 答案:A 解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.‎ BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,‎ 由R2=(R-2)2+42,得R=5,‎ 所以球的体积为(cm3),故选A.‎ ‎7.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  ).‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案:C 解析:∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,‎ ‎∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.‎ ‎∴d=am+1-am=3-2=1.‎ ‎∵Sm=ma1+×1=0,∴.‎ 又∵am+1=a1+m×1=3,∴.‎ ‎∴m=5.故选C.‎ ‎8.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ).‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr2×4×+4×2×2=8π+16.故选A.‎ ‎9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+‎ y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(  ).‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 答案:B 解析:由题意可知,a=,b=,‎ 又∵13a=7b,∴,‎ 即.解得m=6.故选B.‎ ‎10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  ).‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案:D 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,‎ ‎∴‎ ‎①-②,得 ‎,‎ 即,‎ ‎∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,‎ 而=kAB=,∴.‎ 又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.‎ ‎∴椭圆E的方程为.故选D.‎ ‎11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(  ).‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1]‎ C.[-2,1] D.[-2,0]‎ 答案:D 解析:由y=|f(x)|的图象知:‎ ‎①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.‎ ‎②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.‎ 故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.‎ 当x=0时,不等式为0≥0成立.‎ 当x<0时,不等式等价于x-2≤a.‎ ‎∵x-2<-2,∴a≥-2.‎ 综上可知:a∈[-2,0].‎ ‎12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则(  ).‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=__________.‎ 答案:2‎ 解析:∵c=ta+(1-t)b,‎ ‎∴b·c=ta·b+(1-t)|b|2.‎ 又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,‎ ‎∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),‎ ‎0=+1-t.‎ ‎∴t=2.‎ ‎14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和,则{an}的通项公式是an=__________.‎ 答案:(-2)n-1‎ 解析:∵,①‎ ‎∴当n≥2时,.②‎ ‎①-②,得,‎ 即=-2.‎ ‎∵a1=S1=,‎ ‎∴a1=1.‎ ‎∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.‎ ‎15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.‎ 答案:‎ 解析:f(x)=sin x-2cos x ‎=,‎ 令cos α=,sin α=,‎ 则f(x)=sin(α+x),‎ 当x=2kπ+-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值,‎ 即θ=2kπ+-α(k∈Z),‎ 所以cos θ===sin α=.‎ ‎16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.‎ 答案:16‎ 解析:∵函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,‎ ‎∴f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),‎ 即 解得 ‎∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.‎ 由f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,‎ 得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+.‎ 易知,f(x)在(-∞,-2-)上为增函数,在(-2-,-2)上为减函数,在(-2,-2+)上为增函数,在(-2+,+∞)上为减函数.‎ ‎∴f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15]‎ ‎=(-8-)(8-)‎ ‎=80-64=16.‎ f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]‎ ‎=-3(4-16+15)‎ ‎=-9.‎ f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8(-2+)+15]‎ ‎=(-8+)(8+)‎ ‎=80-64=16.‎ 故f(x)的最大值为16.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.‎ ‎(1)若PB=,求PA;‎ ‎(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.‎ 解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.‎ 在△PBA中,由余弦定理得PA2=.‎ 故PA=.‎ ‎(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.‎ 在△PBA中,由正弦定理得,‎ 化简得cos α=4sin α.‎ 所以tan α=,即tan∠PBA=.‎ ‎18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.‎ ‎(1)证明:AB⊥A1C;‎ ‎(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.‎ 因为CA=CB,所以OC⊥AB.‎ 由于AB=AA1,∠BAA1=60°,‎ 故△AA1B为等边三角形,‎ 所以OA1⊥AB.‎ 因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.‎ 又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.‎ ‎(2)解:由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.‎ 又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,‎ 所以OC⊥平面AA1B1B,‎ 故OA,OA1,OC两两相互垂直.‎ 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|‎ ‎|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.‎ 由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).‎ 则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,,).‎ 设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,‎ 则即可取n=(,1,-1).‎ 故cos〈n,〉==.‎ 所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.‎ ‎19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ 解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)‎ ‎=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)‎ ‎=.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800,并且 P(X=400)=,P(X=500)=,P(X=800)=.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P EX==506.25.‎ ‎20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.‎ 解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.‎ 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,‎ 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.‎ 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,‎ 所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.‎ 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.‎ 若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).‎ 由l与圆M相切得,‎ 解得k=.‎ 当k=时,将代入,‎ 并整理得7x2+8x-8=0,‎ 解得x1,2=.‎ 所以|AB|=.‎ 当时,由图形的对称性可知|AB|=.‎ 综上,|AB|=或|AB|=.‎ ‎21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.‎ ‎(1)求a,b,c,d的值;‎ ‎(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.‎ 解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.‎ 而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),‎ 故b=2,d=2,a=4,d+c=4.‎ 从而a=4,b=2,c=2,d=2.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).‎ 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,‎ 则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).‎ 由题设可得F(0)≥0,即k≥1.‎ 令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.‎ ‎①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).‎ 而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.‎ 故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.‎ ‎②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).‎ 从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.‎ 而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.‎ ‎③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.‎ 从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.‎ 综上,k的取值范围是[1,e2].‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明:DB=DC;‎ ‎(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.‎ ‎ (1)证明:连结DE,交BC于点G.‎ 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.‎ 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.‎ 又因为DB⊥BE,‎ 所以DE为直径,∠DCE=90°,‎ 由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,‎ 故DG是BC的中垂线,所以BG=.‎ 设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,‎ 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.‎ 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,‎ 则y=‎ 其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.‎ 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.‎ ‎(2)当x∈时,f(x)=1+a.‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.‎ 所以x≥a-2对x∈都成立.‎ 故≥a-2,即.‎ 从而a的取值范围是.‎