全国高考理科数学试题及答案全国卷3 9页

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 2．设复数 满足 ，则 A． B． C． D．2 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016 年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4． 的展开式中 的系数为（） A．-80 B．-40 C．40 D．80 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点．则 的方程为（） A． B． C． D． 6．设函数 ，则下列结论错误的是（） 2 2{( , ) 1}A x y x y= + = {( , ) }B x y y x= = A B z (1 ) 2i z i+ = | |z = 1 2 2 2 2 5( )(2 )x y x y+ − 3 3x y 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2y x= 2 2 112 3 x y+ = C 2 2 18 10 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = ( ) cos( )3f x x π= + A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对称 C． 的一个零点为 D． 在 单调递减 7．执行右图的程序框图，为使输出 的值小于91，则输入的正整数 的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的 球面上，则该圆柱的体积为（） A． B． C． D． 9．等差数列 的首项为1，公差不为0．若 成等比数列，则 前6项的和为 A．-24 B．-3 C．3 D．8 10．已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ，且以线段 为直 径的圆与直线 相切，则 的离心率为（） A． B． C． D． 11．已知函数 有唯一零点，则 （） A． B． C． D．1 12．在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上．若 ，则 的最大值为 A．3 B． C． D．2 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若 满足约束条件 则 的最小值为________． 14．设等比数列 满足 ，则 ________． ( )f x 2π− ( )y f x= 8 3x π= ( )f x π+ 6x π= ( )f x ( , )2 π π S N π 3 4 π 2 π 4 π { }na 2 3 6, ,a a a { }na 2 2 2 2: 1x yC a b + = 0a b> > 1 2,A A 1 2A A 2 0bx ay ab− + = C 6 3 3 3 2 ３ 1 3 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e− − += − + + a = 1 2 − 1 3 1 2 ABCD 1, 2AB AD= = P C BD AP AB ADλ µ= +   λ µ+ 2 2 5 ,x y 0, 2 0, 0 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 3 4z x y= − { }na 1 2 1 31, 3a a a a+ = − − = − 4a = 15．设函数 则满足 的 的取值范围是________． 16． 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线 与 成 角时， 与 成 角； ②当直线 与 成 角时， 与 成 角； ③直线 与 所成角的最小值为 ； ④直线 与 所成角的最大值为 ． 其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选 考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分） 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）求 ； （2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每 瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量 为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得 下面的频数分布表： 最高气温 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的 进货量（单位：瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？ 19 ．（12 分）如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形． ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2 ）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 1, 0,( ) 2 , 0x x xf x x + ≤=  > 1( ) ( ) 12f x f x+ − > x ,a b ABC AC ,a b AB AC AB a 60 AB b 30 AB a 60 AB b 60 AB a 45 AB a 60 ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin 3 cos 0, 2 7, 2A A a b+ = = = c D BC AD AC⊥ ABD△ [20,25) [ )10 15， [ )15 20， [ )20 25， [ )25 30， [ )30 35， [ )35 40， X Y Y ABCD △ABC △ACD ABD CBDÐ = Ð AB BD= ACD ^ ABC AC BD E AEC D A B C E 分成体积相等的两部分．求二面角 的余弦值． 20．（12分）已知抛物线 ，过点（2，0）的直线 交 于 ， 两点，圆 是以 线段 为直径的圆． （1）证明：坐标原点 在圆 上； （2）设圆 过点 （4， ），求直线 与圆 的方程． 21．（12分）已知函数 ． （1）若 ，求 的值； （2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最 小值． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方 程为 （ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲 线 ． （1）写出 的普通方程： （ 2 ） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 ： ， 为 与 的交点，求 的极径． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围． ABCD D AE C- - 2: 2C y x= l C A B M AB O M M P 2- l M ( ) 1 lnf x x a x= − − ( ) 0f x ≥ a m n 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n m+ + ××× + < m xOy 1l 2 ,x t y kt = +  = t 2l 2 ,x m my k = − + = m 1l 2l P k P C C x 3l (cos sin ) 2 0ρ θ θ+ − = M 3l C M ( ) | | | |f x x x= +1 − − 2 ( )f x ≥1 ( )f x x x m2≥ − + m 2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3） 理科数学参考答案 一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A 二、填空题 13． 14． 15． 16．②③ 三、解答题 17．解： （1）由已知可得 ，所以 在 中，由余弦定理得 ，即 解得 （舍去）， （2）由题设可得 ，所以 故 面积与 面积的比值为 又 的面积为 ，所以 的面积为 18．解： （1）由题意知， 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知 ， ， . 因此 的分布列为： 200 300 500 0.2 0.4 0.4 （2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200 500 当 时， 若最高气温不低于25，则 ； 若最高气温位于区间[20,25），则 ； 1− 8− 1( , )4 − +∞ tan 3A = − 2 3A π= ABC∆ 2 228 4 4 cos 3c c π= + − 2 2 24 0c c+ − = 6c = − 4c = 2CAD π∠ = 6BAD BAC CAD π∠ = ∠ − ∠ = ABD∆ ACD∆ 1 sin2 6 11 2 AB AD AC AD π =   ABC∆ 1 4 2sin 2 32 BAC× × ∠ = ABD∆ 3 X ( ) 2 16200 0.290P X += = = ( ) 36300 0.490P X = = = ( ) 25 7 4500 0.490P X + += = = X X P n≤ ≤ 300 500n≤ ≤ 6 4 2Y n n n= − = 6 300 2( 300) 4 1200 2Y n n n= × + − − = − 若最高气温低于20，则 因此 当 时， 若最高气温不低于20，则 ； 若最高气温低于20，则 因此 所以 时， 的数学期望达到最大值，最大值为520元。 19．解： （1）由题设可得， ，从而 又 是直角三角形，所以 取 的中点 ，连结 ， 则 又由于 是正三角形，故 所以 为二面角 的平面角 在 中， 又 ，所以 ，故 所以平面 平面 （2）由题设及（1）知， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方 向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 由 题 设 知 ， 四 面 体 的 体 积 为 四 面 体 的体积的 ，从而 到平面 的距离 为 到平面 的距离的 ，即 为 的中 点，得 ，故 设 是平面 的法向量，则 同理可取 6 200 2( 200) 4 800 2Y n n n= × + − − = − 2 0.4 (1200 2 ) 0.4 (800 2 ) 0.2 640 0.4EY n n n n= × + − × + − × = − 200 300n≤ < 6 4 2Y n n n= − = 6 200 2( 200) 4 800 2Y n n n= × + − − = − 2 (0.4 0.4) (800 2 ) 0.2 160 1.2EY n n n= × + + − × = + 300n = Y ABD CBD∆ ≅ ∆ AD DC= ACD∆ 90ADC∠ =  AC O ,DO BO ,DO AC DO AO⊥ = ABC∆ BO AC⊥ DOB∠ D AC B− − Rt AOB∆ 2 2 2BO AO AB+ = AB BD= 2 2 2 2 2 2BO DO BO AO AB BD+ = + = = 90DOB∠ =  ACD ⊥ ABC , ,OA OB OD O OA x | |OA O xyz− (1,0,0), (0, 3,0), ( 1,0,0), (0,0,1)A B C D− ABCE ABCD 1 2 E ABC D ABC 1 2 E DB 3 1(0, , )2 2E 3 1( 1,0,1), ( 2,0,0), ( 1, , )2 2AD AC AE= − = − = −   ( , , )n x y z= DAE 0, 0 m AC m AE  ⋅ = ⋅ =   (0, 1, 3)m = − O D A B C E D A B C E y x O z 则 所以二面角 的余弦值为 20．解： （1）设 由 可得 ，则 又 ，故 因此 的斜率与 的斜率之积为 ，所以 故坐标原点 在圆 上 （2）由（1）可得 故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 由于圆 过点 ，因此 ， 故 ， 即 由（1）可得 所以 ，解得 或 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的 半径为 ，圆 的方程为 21．解： （1） 的定义域为 ① 若 ，因为 ，所以不满足题意； 7cos , | || | 7 n mn m n m < >= = D AE C− − 7 7 1 1 2 2( , ), ( , ), : 2A x y B x y l x my= + 2 2, 2 x my y x = +  = 2 2 4 0y my− − = 1 2 4y y = − 2 2 1 2 1 2,2 2 y yx x= = 2 1 2 1 2 ( ) 44 y yx x = = OA OB 1 2 1 2 4 14 y y x x −= = − OA OB⊥ O M 2 1 2 1 2 1 22 , ( ) 4 2 4y y m x x m y y m+ = + = + + = + M 2( +2, )m m M 2 2 2( +2)r m m= + M (4, 2)P − 0AP BP⋅ =  1 2 1 2( 4)( 4) ( 2)( 2) 0x x y y− − + + + = 1 2 1 2 1 2 2 24( ) 2( ) 20 0x x x x y y y y− + + + + + = 1 2 1 24, 4y y x x= − = 22 1 0m m− − = 1m = 1 2m = − 1m = l 1 0x y− − = M (3,1) M 10 M 2 2( 3) ( 1) 10x y− + − = 1 2m = − l 2 4 0x y+ − = M 9 1( , )4 2 − M 85 4 M 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y− + + = ( )f x (0, )+∞ 0a ≤ 1 1( ) ln 2 02 2f a= − + < ② 若 ，由 知，当 时， ；当 时， 。所以 在 单调递减，在 单调递增。故 是 在 的唯一最小值点。 由于 ，所以当且仅当 时， 故 （2）由（1）知当 时， 令 ，得 ，从而 故 而 ，所以 的最小值为3 22．解： （ 1 ） 消 去 参 数 得 的 普 通 方 程 ； 消 去 参 数 得 的 普 通 方 程 设 ，由题设得 消去 得 所以 的普通方程为 （2） 的极坐标方程为 联立 得 故 ，从而 代入 得 ，所以交点 的极径为 23．解： （1） 0a > ( ) 1 a x af x x x −′ = − = (0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ x a= ( )f x (0, )+∞ (1) 0f = 1a = ( ) 0f x ≥ 1a = (1, )x∈ +∞ 1 ln 0x x− − > 11 2nx = + 1 1(1 )2 2n n + < 2 2 1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ... ln(1 ) ... 1 12 2 2 2 2 2 2n n n + + + + + + < + + + = − < 2 1 1 1(1 )(1 )...(1 )2 2 2n e+ + + < 2 3 1 1 1(1 )(1 )(1 ) 22 2 2 + + + > m t 1l 1 : ( 2)l y k x= − m t 2l 2 1: ( 2)l y xk = + ( , )P x y ( 2), 1 ( 2). y k x y xk = − = + k 2 2 4( 0)x y y− = ≠ C 2 2 4( 0)x y y− = ≠ C 2 2 2(cos sin ) 4(2 2 , )ρ θ θ θ π θ π− = < < ≠ 2 2 2(cos sin ) 4, (cos sin ) 2 0 ρ θ θ ρ θ θ  − = + − = cos sin 2(cos sin )θ θ θ θ− = + 1tan 3 θ = − 2 29 1cos ,sin10 10 θ θ= = 2 2 2(cos sin ) 4ρ θ θ− = 2 5ρ = M 5 3, 1, ( ) 2 1, 1 2, 3, 2 x f x x x x − < − = − − ≤ ≤  > 当 时， 无解； 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时，由 解得 所以 的解集为 （2）由 得 ，而 且当 时， 故 的取值范围为 1x < − ( ) 1f x ≥ 1 2x− ≤ ≤ ( ) 1f x ≥ 2 1 1x − ≥ 1 2x≤ ≤ 2x > ( ) 1f x ≥ 2x > ( ) 1f x ≥ { | 1}x x ≥ 2( )f x x x m≥ − + 2| 1| | 2 |m x x x x≤ + − − − + 2 2| 1| | 2 | | | 1 | | 2 | |x x x x x x x x+ − − − + ≤ + + − − + 23 5(| | )2 4x= − − + 5 4 ≤ 3 2x = 2 5| 1| | 2 | 4x x x x+ − − − + = m 5( , ]4 −∞