高考数学百所名校备考新课标 模拟试题 13页

‎2012年高考数学百所名校备考(新课标) ‎ 模拟试题08‎ ‎【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第15、16、17、18、19、20题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。‎ 试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科1)命题“R，”的否定是（ ） ‎ A．R， B．不存在R， ‎ C．R, D．R, ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据含有量词的命题的否定规律知D正确.‎ ‎2．(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科2) 已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】，.‎ ‎3. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科1)复数的虚部记作，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，故选D.‎ ‎4.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文4)下列命题中正确的是（ ）‎ ‎（A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 ‎（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 ‎（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 ‎（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 ‎5. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科10)如图，中，，且，点满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序框图可得：‎ 程序结束，输出 ‎7. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科8)先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查概率中古典概型的计算。‎ 先后掷两次正方体骰子总共有36种可能, 要使是奇数,则都是奇数,因此有以下几种可能: 共9种可能.因此.‎ ‎8. (2012年4月北京市房山区高三一模理科如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=( )‎ ‎（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由切割线定理得：，因为，所以解得，即BC=2，OA=1，OP=2，因为OA⊥PA，所以，，因为OA=OB，所以=，故选B.‎ 第II卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9.(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文4)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A．1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱，故 ‎10.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科11)已知等差数列中, ,,则 .‎ ‎【答案】33‎ ‎【解析】‎ ‎11.(北京市东城区2012年1月高三考试文科）已知函数那么 的值为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎12. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)设满足约束条件则目标函数的最大值是 ； 使取得最大值时的点的坐标是 . ‎ ‎【答案】3;‎ ‎【解析】画出平面区域可知,当直线过点时, 取得最大值3.‎ ‎13．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)已知函数在x=a时取到最小值，则a=________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,当且仅当,即时,取得最小值,故a=.‎ ‎14.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考14)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 .‎ ‎【解析】焦点，设，则，，设到准线的距离等于，则 =====‎ ‎==．令，，则 ‎==≤=（当且仅当时，等号成立）． 故的最大值为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程.‎ ‎15.（2012年3月北京市朝阳区高三一模）(本小题满分13分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，其中 求的值；‎ ‎（II）设，求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，且， …………1分 所以. …………5分.‎ ‎（II）==‎ ‎==. ………10分 当时，.‎ 则当时，的最大值为；当时，的最小值为. ……13分 ‎16．（理科）（2012年3月北京市东城区示范校高三联考理科）（本小题满分13分）‎ 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：‎ 培训次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 参加人数 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；‎ ‎（2）从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 则随机变量的分布列：‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………13分 ‎16.（文科）（2012年3月北京市东城区示范校高三联考文科）（本小题满分13分）‎ ‎《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设，，三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从，，三个工作小组抽取5名工作人员来完成.‎ ‎ （Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；‎ ‎ （Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有组工作人员的概率.‎ 从组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：‎ ‎ ‎ ‎ ,共有10种， --------------------------9分 其中没有组工作人员的结果是：有3种，------11分 ‎ 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A组工作人员的概率。 -------------------------13分 ‎17．（理科）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14分）‎ 在四棱锥中，//，，，平面，. ‎ ‎（Ⅰ）设平面平面，求证：//； ‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面，‎ 所以//平面. ……………………………2分 因为平面，平面平面，‎ 所以//. ………………………………4分 ‎（Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，. …………5分 所以 ，，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎.‎ 所以 ，. ‎ 因为 ，平面，‎ 平面，‎ 所以 平面. ………………9分 ‎（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.‎ 所以 .‎ 所以 .‎ 所以 即. ‎ 所以 . ………………………………11分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为.‎ ‎………………………………12分 因为 ，‎ 所以 .‎ 解得 .‎ 所以 . ……………………………14分 ‎17．（文科）（2012年4月北京市海淀区高三一模文科）（本小题满分14分）‎ 图2‎ 图1‎ 已知菱形ABCD中，AB=4， （如图1所示），将菱形ABCD沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD //平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）当时，求线段AC1 的长．‎ ‎【解析】证明：（Ⅰ）因为点分别是的中点，‎ ‎ 所以． ………………………………………2分 ‎ 又平面，平面,‎ ‎ 所以平面． ………………………………………4分 ‎ （Ⅱ）在菱形中，设为的交点,‎ ‎　　　　　　 则． ………………………………………5分 ‎　　　　　 所以 在三棱锥中，‎ ‎.‎ ‎　　　　　　又 　‎ 所以 平面． ………………………………………7分 ‎　　　　　　又 平面，‎ 所以 ． ………………………………………9分 所以 ．‎ 因为 ，，‎ ‎ 所以 ． ………………………………………14分 ‎18．（2012年北京市石景山区高三一模）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎ （Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ） …………1分 ‎ 由已知，解得. …………3分 ‎（II）函数的定义域为.‎ ‎（1）当时, ，的单调递增区间为；……5分 ‎（2）当时. ‎ ‎ 当变化时，的变化情况如下：‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 ‎ 由上表可知，函数的单调递减区间是；‎ ‎ 单调递增区间是. …………8分 ‎ （II）由得，…………9分 ‎ 由已知函数为上的单调减函数，‎ 则在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ ‎ 即在上恒成立. …………11分 令，在上，‎ 所以在为减函数. ,‎ ‎ 所以. …………13分 ‎19. (2012年3月北京市朝阳区高三一模)（本题满分14分）‎ 已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得,‎ 解得. ………………………3分 ‎ 则椭圆的方程为. ………………………4分 ‎(II) ①当直线的斜率不存在时，由解得.‎ 设，，则为定值. ………5分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.‎ 将代入整理化简，得.…6分 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，‎ 则，. ……………………7分 又，，‎ 所以 ………………………8分 ‎ ……………………13分 综上得为常数2. ……………………14分 ‎20. （北京市师大附中2012届高三下学期开学检测）（本题满分13分）‎ 正数列的前项和满足：，。‎ ‎（1）求证：是一个定值；‎ ‎（2）若数列是一个单调递增数列，求的取值范围；‎ ‎（3）若是一个整数，求符合条件的自然数。‎ ‎ 解得 ‎ ‎（3）解：‎ 是一个整数，所以一共4个 对一个得1分，合计4分 另解：‎ ‎.‎