高考数学试题集3函数与导数 51页

‎2013年高考数学试题集(3)函数与导数 将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。‎ ‎1.(安徽理科第3题） 设是定义在上的奇函数，当时，，则 ‎ （A） (B) （Ｃ）１　　 　（Ｄ）３‎ 答案：A 解析：为奇函数，则 ‎2.(安徽理科第10 题）函数在区间上的图像如图所示，则的可能值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案:B ‎ 解析：对给定的值进行验证即可。(1)当时，函数为二次函数，不符合题意；(2)当时，函数为，求导可得：，函数在 处取到极大值，符合题意；（3）当，此时函数为，求导可得，函数在处取到极大值，不合题意；（4）当，‎ 函数为，函数在处取到极大值，不合题意。故选B。‎ ‎3.(安徽理科第16题，文科第18题）设，其中为正实数.‎ ‎ (1)当时，求的极值点；‎ ‎ (2)若为上的单调函数，求的取值范围.‎ 解：（1）当时，，对函数求导得：‎ ‎，‎ 当时，，当时，‎ 在上递增，在上递减，在上递增，‎ 所以函数在是极大值点，在是极小值点。‎ （2） ‎，由于，故当为上的单调函数时，只有 ‎ ，此时，，所以，故。‎ ‎4.（安徽文科第5题）若点在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 ‎ （A） (B) (C) (D)‎ 答案：D 命题意图：本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.‎ 解析：由题意，，即也在函数 图像上.‎ ‎5.（安徽文科第10题）函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是 ‎ （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 答案：A 命题意图：本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.‎ 解析：代入验证，当时，，‎ 则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，知a存在.故选A.‎ ‎6.（安徽文科第11题）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 ‎ 答案：‎ 命题意图：本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题.‎ 解析：‎ ‎7.（北京理科第6题）‎ 根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为 （A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟， 组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 ‎（A）75，25 （B）75，16 （C）60，25 （D）60，16‎ 答案：D 解析：根据选项，，依题意可得：‎ ‎，解得：，选D ‎8.（北京理科、文科第13题）已知函数若关于x 的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是_______‎ 答案：‎ 解析：在同一坐标系下做出的函数图像，易得到 ‎9.（北京理科第18题）已知函数。‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对于任意的，都有，求的取值范围。‎ 解：（1），令，则 ‎ 当时，与的情况如下 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 可得的单调增区间和单调减区间：‎ 当时，与的情况如下 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ 可得的单调增区间和单调减区间。‎ （2） 当时，，此时不符合题意 ‎ 当时，由（1）可知，在上的最大值是 ‎ 所以，对任意的等价于，解得：‎ ‎10.（北京文科第3题）如果，那么 ‎（A） (B) (C) (D)‎ 答案：D ‎11.（北京文科7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ‎ （A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件 答案：B ‎ 解析：产品的总费用为，则平均每件的费用为，则 等号成立的条件为 ‎12.（北京文科18）已知函数。‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求在区间上的最小值。‎ 解：（1）求导可得，函数的递增区间是，递减区间是。‎ ‎ （2）当时，函数在单调递增，此时函数的最小值为；‎ 当时，由（1）可知，函数在上单调递减，在上递增，‎ 所以在上的最小值为；当时，函数在单调递减 此时的最小值为。‎ ‎ 13.（福建理科第5题）等于 ‎ A.1 B. C. D.‎ ‎ 答案：C ‎14.（福建理科第9题）对于函数(其中，),选取的一 ‎ ‎ 组值计算和，所得出的结果一定不可能是 ‎ A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2‎ 答案：D ‎15.（福建理科18）（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。‎ ‎（1）求的值 ‎（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得 ‎ ‎ 的利润最大。‎ 解：（1）根据题意有，在函数的图像上，‎ ‎ 所以，解得：‎ ‎ （2）商场日销售利润为 ‎ ‎ ‎ 对求导数得：‎ ‎ ，当时，，当时，‎ ‎ 函数在上为单调增函数，在上为单调减函数，所以函数在 ‎ ‎ ‎ 时取到最大值。‎ ‎16.（福建文科8）已知函数。若,则实数的值等于 ‎ A. B. C. 1 D. 3‎ 答案：A ‎17.（福建文科10）若, 且函数在处有极值， ‎ ‎ 则的最大值等于 ‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 9‎ 答案：D ‎18.（福建文科16）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低 ‎ ‎ 销售限价，最高销售限价以及常数确定实际销售价格 ‎ ‎ ，这里，被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数恰好使得 ‎ ‎ 是和的等比中项，据此可得，最佳乐观系数的值等于_____________.‎ 答案：‎ 解析：由得：，又，令 则，所以，整理得：，所以 此时，，而，所以。‎ ‎19.（福建文科22）已知为常数，且，函数 ‎（=2.71828…是自然对数的底数）.‎ ‎（1） 求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，是否同时存在实数和M（），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.‎ 解析：（1）由，得 ‎（2），则，因为，分以下两种情况 ‎ ①当时，函数在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎ ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减。‎ ‎（3）当时，，由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增。，又，，若和恒有公共点，则的取值范围是，若对每一个成立，则，，。‎ ‎20（广东理科4）设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 ‎（A）．由是偶函数、是奇函数，得和都是偶函数，所以与都是偶函数，与的奇偶性不能确定 ‎21（广东12）函数在 处取得极小值．‎ 答案：2‎ 解析：，令得或，显然当时；当时；当时，函数在处取得极小值。‎ ‎22.（广东文科4）函数的定义域是 ‎ A. B. C. D.（-，+）‎ 答案：C ‎23.（广东文科12）设函数,若,则=_______‎ 答案：‎ 解析：，又，‎ ‎24.（广东文科19）设,讨论函数的单调性。‎ 解：函数的定义域为，对求导可得：‎ ‎，令 （1） 当时，，，此时，函数在是增函数；‎ （2） 当时，令，则 ①当时，有两个不等实数根，‎ ‎，且，函数开口向上，当时，‎ 此时，，函数在上单调递增，当时，，此时 函数在上是单调减函数，当时，，此时，函数在 上单调递增。‎ ②当时，有两个相等正实根，则，此时，函数在是增函数；‎ ③当时，无实数解，此时，则，函数在是增函数；‎ （3） 当时，函数图象开口向下，有一正根和一负根，‎ ‎ 其中， ‎ 函数在上单调递增，在上单调递减。‎ ‎25（湖北理科6）已知定义在R上的奇函数和偶函数 满足，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B 解析：由条件，，即 ‎，由此解得，，‎ 所以，，所以选B.‎ ‎26.（湖北理科10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断 减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则 ‎ A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克 答案：D 解析：因为，则，解得，所以，那么（太贝克），所以选D.‎ ‎27.（湖北理科17、文科19）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（1）当时，求函数的表达式；‎ ‎（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ 解析：（1）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=‎ ‎（2）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以，当时，在区间上取得最大值．‎ 综上，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎28.（湖北理科21）‎ ‎（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则 ‎（2）若…=1，则…。‎ 解：（1）对求导可得：，又函数的定义域为 当时，，函数在递增，当时，，函数在 上递减，所以函数在上的最大值为 ‎ （2）当为正数时，由（1)可知，，‎ ‎ ，即原不等式成立。‎ 先证左边不等式：令，则，由（1）可得 ‎，‎ 再证右边不等式：记，令，则 由（1）得：，即 ‎…。‎ ‎29.（湖北文科3）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案：‎ ‎30.（湖北文科15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。‎ 答案：6,10000‎ ‎31.（湖北文科20）设函数，，其中，为常数，已知曲线与在点处有相同的切线。‎ ‎(1) 求的值，并写出切线的方程；‎ ‎(2)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：（1），曲线与在点处有相同的切线，则，‎ 解得：，切线的方程为。‎ （2） 由 （1）得，‎ 等价于，由题可知有两个不同的实数解，，则，又对任意的，‎ 恒成立，记，它的对称轴为 ‎，若，即时，，，，即，显然是成立的。‎ 若，即时，，此时，显然不等式不可能恒成立。‎ 即为所求。‎ ‎32.（湖南理科6） 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ ‎ A． B．1 C． D．‎ 答案：D 解析：由定积分知识可得，故选D。‎ ‎33.（湖南理科8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ 答案：D 解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。‎ ‎34.（湖南理科20） 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记 为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ ‎35．（湖南文科7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：，所以 ‎。‎ ‎36.（湖南文科8）已知函数若有则的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：由题可知，，若有则，即，解得。‎ ‎37．（湖南文科12）已知为奇函数， ．‎ 答案：6‎ 解析：，‎ 又为奇函数，所以。‎ ‎38、（湖南文科16）给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，‎ ‎（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；‎ ‎（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。‎ 答案：（1），（2）16‎ 解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。‎ ‎（2）由题可知，则，而时，即 ‎，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。‎ ‎39.（湖南文科22）设函数 ‎ (I)讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ 解析：（I）的定义域为 ‎ ‎ 令 (1) 当故上单调递增．‎ (2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．‎ (3) 当的两根为，‎ 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由（I）知，．‎ 因为，所以 又由(I)知，．于是 ‎ 若存在，使得则．即．亦即 ‎ 再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得 ‎40.（江西理科3）若,则的定义域为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案： A ‎ 解析：，， ‎ ‎41.（江西理科4）若,则的解集为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 答案：C ‎ 解析：，又 当时，‎ ‎42.（江西理科19）设 （1） 若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ （2） 当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.‎ ‎ 解：（1）已知，，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分，‎ （2） 已知, 在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴轴为，‎ 则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，，‎ ‎，‎ 此时，由，，所以函数 ‎43.（四川理科5）函数在点处有定义是在点处连续的 ‎ (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 ‎ ‎ (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B 解析：根据函数连续的定义，函数在某点连续必在这点有定义，在某点有定义时不一定连续。‎ 如：函数在处有定义，但不连续。‎ ‎44.（四川理科7）已知是上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是（ ）‎ 答案：A 解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。‎ 当，在反函数中，当时，，又原函数是奇函数，‎ ‎ 如果反函数存在时，则反函数也是奇函数，故选A。‎ ‎45.（四川理科11）已知定义在上的函数满足，当时，.设在上的最大值为，且的前 项和为，则 ‎ （A).3 (B) (C)2 (D) ‎ 答案：D 解析：当时，‎ ‎,‎ ‎，当时，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎46.（四川理科13）计算 。‎ 答案：‎ 解析：‎ ‎47.（四川理科16）函数的定义域为A，若且时总有 则称为单函数.例如，函数是单函数.下列命题：‎ ①函数是单函数；‎ ②若为单函数，且，则 ③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；‎ ④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数.‎ 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）‎ 答案：②③‎ 解析 ：①错，，不是单函数；由单函数的定义可知，函数即为一一映射下确定的函数关系，所以②③正确。对于④，函数在某区间上单调，但在定义域上不一定是一一映射下的函数，所以是错误的。‎ ‎48.（四川理科22）已知函数 ‎ (1)设函数，求的单调区间与极值；‎ ‎ (2)设，解关于的方程 ‎ ‎ (3)试比较与的大小.‎ 解析：（1），‎ 令时，则，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数在取到极小值，且，函数不存在极大值。‎ （2） ‎；所以原方程可以化为 即：，则方程等价于 ‎，故，其中 即求方程在上的解的情形。‎ 考虑在上的解的情况。作出函数在的图像，由图可知，①当或时，原方程无解；‎ ‎ ②当时，原方程有一个解，，所以方程的解是；‎ ‎ ③当时，原方程有两个解，即，；‎ ‎ ④当时，原方程有一个解为。‎ (3) 由已知得，设数列的前项和为，且，‎ ‎ 其中，；当时 ‎ ‎ ‎ ，又 ‎ 且 ‎，当时，总成立。‎ 当时，，即，‎ 故 ‎49.（四川文科4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎ 答案：A 解析：图象过点，且单调递减，故它关于直线对称的图象过点且单调递减，选A．‎ ‎50.（四川文科17）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：‎ ‎①函数（xR）是单函数；‎ ‎②指数函数（xR）是单函数；‎ ‎③若为单函数，且，则；‎ ‎④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．‎ 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）‎ 答案：②③④‎ 解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．‎ ‎51.（四川文科22）已知函数，．‎ ‎（1）设函数，求的单调区间与极值；‎ ‎（2）设，解关于x的方程；‎ ‎（3）设，证明：．‎ 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（1），‎ ‎．令，得（舍去）．‎ 当时．；当时，，‎ 故当时，为增函数；当时，为减函数．‎ 为的极大值点，且．不存在极小值。‎ ‎（2）方法一：原方程可化为，‎ 即为，且 ‎①当时，，则，即，‎ ‎，此时，∵，‎ 此时方程仅有一解．‎ ‎②当时，，由，得，，‎ 若，则，方程有两解，均在上；‎ 若时，则，方程有一解，显然在内；‎ 若或，此方程无解．在内也无解。‎ 综合以上可知：‎ ‎①当时，原方程有一解；‎ ‎②当时，原方程有二解；‎ ‎③当时，原方程有一解；‎ ‎④当或时，原方程无解．‎ 方法二：原方程可化为，‎ ‎ 即 ‎ ①当时，原方程有一解；‎ ‎ ②当时，原方程有二解；‎ ‎ ③当时，原方程有一解；‎ ‎ ④当或时，原方程无解．‎ （2） 由已知得，‎ ‎ ．设数列的前n项和为，且 ‎ （）从而有，‎ ‎ 当时，．‎ 又 ‎．‎ 即对任意时，有，又因为，‎ 所以．‎ 则，故不等式成立．‎ ‎52.（江西文科3）若，则的定义域为( )‎ ‎ B. C. D.‎ 答案：C ‎ 解析：，则，所以 ‎ ‎53（江西文科4）.曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ ‎ B.2 C. D.‎ 答案：A ‎ 解析： ‎ ‎54（江西文科20）设.‎ ‎ （1）如果在处取得最小值，求的解析式；‎ ‎ （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 ‎ ‎ 的值．(注：区间的长度为）‎ 解：（1）已知，‎ ‎ 又在处取极值，‎ ‎ 则，又在处取最小值 ‎ 则 ‎ ‎ ‎（2）要使单调递减，又递减区间长度是正整数，‎ ‎ 则必有两不同实根，两根设做，故 ‎ 即有，‎ ‎ 又为正整数，且,则必有，分以下几种情况讨论：‎ 当时，则，分别代入只有符合；‎ 当时，则，则为完全平方数，只有符合；‎ ‎ 当时，没有满足题意的 ‎ 所以或，。‎ ‎55.（浙江理科1）设函数,若则实数=‎ ‎ （A）或 （B）或2 （C）-2或4 （D）或2‎ 答案：B ‎ 解析：当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎56.(浙理科11）若函数为偶函数，则实数 。‎ 答案：0 ‎ 解析：∵为偶函数，∴，‎ 即∴.‎ ‎57.（浙江理科22）设函数＝，∈R ‎（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；‎ ‎（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.‎ 注：为自然对数的底数。‎ 本题主要考查函数极限的概念、导数运算法则、导数运用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力。分类讨论等分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）解：求导得+=‎ ‎ 因为是的极值点，所以= ，解得 或 ‎ 经检验，符合题意，所以 或。‎ ‎（Ⅱ）解：①当时，对于任意的实数,恒有成立，‎ ‎ ②当，由题意，首先有，‎ ‎ 解得，此时 ‎ 由（Ⅰ）知，，‎ ‎ 则，，‎ ‎ =。‎ ‎ 又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点，记此零点为 ‎ ，则，。 从而，当时，；当 时，；当时，，即在内单调递增，在 内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要 ‎ 成立。，知 ‎ （3）‎ 将（3）代入（1）得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。再由(3)以及函数在内单调递增，可得。‎ ‎ 由（2）解得，。所以 ‎ 综上，的取值范围为。‎ ‎58（浙江文科10）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是 答案：D 解析：设，∴，‎ 又∴为的一个极值点，∴，即，‎ ‎∴，‎ 当时，，即对称轴所在直线方程为；‎ 当时，，即对称轴所在直线方程应大于1或小于－1.则方程两根 ‎ ‎ ，D选项不符合要求。‎ ‎59（浙江文科11）设函数 ,若,则实数=________________‎ 答案：1 ‎ 解析：∵，∴.‎ ‎60（浙江文科21）（本大题满分15分）设函数 ‎（I）求的单调区间 ‎（II）求所有实数，使对恒成立。‎ 注：e为自然对数的底数。‎ 解：（1）‎ ‎，时，，时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减。‎ （2） 代入，则，所以，故由（1）可知，函数在上 单调递增，，即 ‎，，所以，故 ‎61.（山东理、文3）若点（,9）在函数的图象上，则的值为（ ）‎ ‎ （A）0 (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知:9=,解得=2,所以，选D.‎ ‎62（山东理9、文10）函数的图象大致是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,又函数为奇函数，可得选C正确.‎ ‎63（山东理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ）‎ ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为当时, ,又因为是 上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间上与轴的交点的个数为6个,选A.‎ ‎64（山东理、文16）已知函数=当时，函数的零点，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】方程（）的根为,即函数 图象与函数（）的交点横坐标为,且,结合图象, ，因为2＜＜3，所以，所以；，因为2＜＜3，所以，所以，所以.‎ ‎65（山东理21、文21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎| |‎ ‎（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,又因为，所以圆柱的侧面积为==,两端两个半球的表面积之和为,所以,定义域为.‎ ‎（Ⅱ）因为+= ,，因为，当，则，所以 ‎，‎ ‎（1）当；当；，‎ 所以是函数的极小值点，也是最小值点；‎ ‎（2）当当函数单调递减，是函数的最小值点；‎ 综上：当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时 ‎66（山东文4）曲线在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）‎ ‎ (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】因为，切点为（1,12），所以切线的斜率为3，故切线的方程为，令得，故选C ‎67（辽宁理9）设函数，则满足的的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解：由题意可知：，或，解得：或，选D。‎ ‎68（辽宁理11、文11）函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：令，则，故为单调增函数，又 ‎，所以等价于，所以。选B。‎ ‎69（辽宁理21）已知函数 ‎ (1)讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：当时，；‎ ‎（3）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：‎ 解：（1)定义域是，‎ ①若，，此时函数在上为单调增函数；‎ ②若，由得，且当时，，当时，‎ ‎，所以在单调递增，在上单调递减。‎ （2） 设函数，则 ‎，当时，，而 所以，故当时，。‎ （3） 设，，则 两式相减有：‎ 所以 ‎ 即 ①‎ 又 ②‎ 将①式代入 ②式有 欲证，则需要证明 不妨设，只需证明，等价于证明 令，从而只需证明 又，则在为单调减函数，所以 所以。‎ ‎70（辽宁文6）若函数为奇函数，则 ‎（A） （B） （C） （D）1‎ 答案：A ‎71（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是___________。‎ 解：有零点，等价于有解，设，则 当时，单调递增，当时，单调递减，‎ 所以，的取值范围是。‎ ‎72（辽宁文20）设函数，曲线过，且在P点处的切斜线率为2.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）证明：。‎ 解：（1），由条件得，即，解得 ‎（2）由（1），设 ‎ 则，函数的定义域为 所以时，；时，，则函数在上单调递增，在 上单调递减，，所以，即。‎ ‎73（天津理7）已知则 ‎ A．　 B． C．　　 D．‎ 答案：C 解：，只要比较的大小，又 ‎，所以。‎ ‎74（天津理8）对实数和，定义运算“”： 设函数 ‎，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 ‎ A． 　　　 B．‎ ‎ C． 　　　 D．‎ 答案：B 解：‎ 在同一坐标系中作出函数的图象即可得到结论。‎ ‎75（天津理19）已知，函数（的图像连续不断）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：存在，使；‎ ‎（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明 ‎．‎ 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.‎ ‎ （I）解：， 令 ‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （II）证明：当 ‎ 由（I）知在（0，2）内单调递增，在内单调递减.‎ 令由于在（0，2）内单调递增，故 取所以存在 即存在 ‎（说明：的取法不唯一，只要满足即可）‎ ‎（III）证明：由及（I）的结论知，‎ 从而上的最小值为又由，‎ ‎ 知的单调递增区间是 ‎ 的单调递减区间是故 ‎ 从而 ‎76（天津文5）已知则 ‎ A．　　　 B． C．　 D．‎ 答案：B ‎77（天津文8）对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 答案：B ‎78（天津文19）（本小题满分14分）已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．‎ 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）解：当时，‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ （Ⅱ）解：，令，解得 ‎ 因为，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）若变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。‎ ‎ （2）若，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 ‎ （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：‎ ‎ （1）当时，在（0，1）内单调递减，‎ ‎ ‎ ‎ 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若所以内存在零点。‎ ‎ 若 ‎ 所以内存在零点。‎ ‎ 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。‎ ‎ 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点 ‎79（全国大纲理、文2）函数的反函数为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本题主要考查反函数的求法.‎ ‎【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数 ‎ 的反函数为.‎ ‎80（全国大纲理8）曲线在点(0,2)处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1 ‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.‎ ‎【解析】∴曲线在点(0,2)处的切线的斜率故切线方程是,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(, )，∴三角形的面积是.‎ ‎81（全国大纲理9、文10）设是周期为2的奇函数，当时，,则 ‎ (A) - (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.‎ ‎【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得：‎ ‎ .‎ ‎82（全国大纲22）(I)设函数，证明：当时，；‎ ‎(II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：‎ ‎【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【解析】(I) …………………………2分 当时, ,所以为增函数,又,因此当时,‎ ‎. …………………………5分 ‎(II) .‎ 又 所以.‎ 由(I)知: 当时, ‎ 因此 .‎ 在上式中,令,则 19,即.‎ 所以 …………………………12分 ‎【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，有时还伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.‎ ‎83（全国大纲文21）已知函数 ‎(Ⅰ)证明：曲线 ‎（Ⅱ）若求a的取值范围.‎ ‎【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.‎ ‎(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.‎ 解：（I） .………………2分 由得曲线在处的切线方程为 ‎ ‎ 由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2） .………………6分 ‎（II）由得.‎ ‎（i）当，即时，没有极小值； .………………8分 ‎(ii)当，即或时，由得 故.由题设知，‎ 当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是 ..………………12分 ‎84（全国课标理2）‎ 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 经判断知A项是奇函数；B项是偶函数又在单调递增的函数；C、D项是偶函数但在单调递减的函数.故选B.‎ ‎85（全国课标理9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 ‎（A） （B）4 （C） （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线与直线的交点坐标为，所求面积为 ‎880‎ ‎86（全国课标理12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ ‎【答案】D ‎【解析】 函数的图像都关于点对称，所以两函数图像的交点也关于点对称.由数形结合易判断两函数图像共8交点，且组成4对关于对称的点，于是所有交点的横坐标之和是8.故选D.‎ ‎87（全国课标理21）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎.‎ 考虑函数，则.‎ ‎(i)设，由知，当时，.而，故 当时，，可得；‎ 当时，，可得.‎ 从而当，且时，，即.‎ ‎（ii）设.由于当时，,故,而，故当时，，可得,与题设矛盾.‎ ‎（iii）设.此时,而，故当时，，可得,与题设矛盾.‎ 综合得，的取值范围为 ‎88（陕西理3）设函数（R）满足，，则函数的图像是 ‎ ‎ （ ）‎ ‎【分析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．‎ ‎【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．‎ ‎89（陕西理6）函数在内 （ ）‎ ‎（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 ‎（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点 ‎【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。‎ ‎【解】选B （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；‎ ‎（方法二）在上，，，所以；‎ 在，，所以函数是增函数，又因为 ‎，，所以在上有且只有一个零点．‎ ‎90（陕西理11）设，若，则 ．‎ ‎【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.‎ ‎【解】因为，所以，又因为，‎ 所以，所以，．‎ ‎【答案】1‎ ‎91（陕西理21）设函数定义在上，，导函数，．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．‎ ‎【解】（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，‎ ‎∴；，‎ ‎∴，令，即，解得，‎ 当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；‎ 当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；‎ 所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以的最小值是．‎ ‎（2），设，‎ 则，‎ 当时，，即，‎ 当时，，，‎ 因此函数在内单调递减，‎ 当时，=0，∴；‎ 当时，=0，∴． ‎ ‎（3）满足条件的不存在．证明如下：‎ 证法一 假设存在，使对任意成立，‎ 即对任意有 ①‎ 但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，‎ 因此不存在，使对任意成立．‎ 证法二 假设存在，使对任意成立，‎ 由（1）知，的最小值是，‎ 又，而时，的值域为，‎ ‎∴当时，的值域为，‎ 从而可以取一个值，使，即,‎ ‎∴，这与假设矛盾．‎ ‎∴不存在，使对任意成立．‎ ‎92（陕西文4）函数的图像是 （ ） ‎ ‎【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．‎ ‎【解】选B 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．‎ ‎93（陕西文6）方程在内 （ ）‎ ‎ (A)没有根 (B)有且仅有一个根 ‎ (C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根 ‎【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．‎ ‎【解】选C 构造两个函数和，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．‎ ‎94（陕西文11）设，则______.‎ ‎【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．‎ ‎【解】∵，∴，所以，即．‎ ‎【答案】‎ ‎95（陕西文21）设，．‎ ‎（1）求的单调区间和最小值；‎ ‎（2）讨论与的大小关系；‎ ‎（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．‎ ‎【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．‎ ‎【解】（1）由题设知，‎ ‎∴令0得=1，‎ 当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。‎ 当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，‎ 因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，‎ 所以的最小值为 ‎(2)‎ 设，则，‎ 当时，，即，‎ 当时，，‎ 因此，在内单调递减，‎ 当时，‎ 即 ‎（3）由（1）知的最小值为1，所以，‎ ‎，对任意，成立 即从而得。‎ ‎96（全国课标文3）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 ‎（A） (B) （C） (D) ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 经判断知A项是奇函数；B项是偶函数又在单调递增的函数；C、D项是偶函数但在单调递减的函数.故选B.‎ ‎97（全国课标文10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由零点存在性定理知在上至少有一零点.故选C.‎ ‎98（全国课标文12）已知函数的周期为2，当时，,那么函数的图像与函数的图像的交点共有 ‎（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个 ‎【答案】A ‎【解析】由数形结合可知在内有一个交点，在共4个周期，每个周期内有两个交点，在内有一个交点.所以共10个交点。故选A.‎ ‎99（全国课标文21）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且时，‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，‎ 设则 当时， ，而，故 当时，得：‎ 当时，得：‎ 从而当，且时，即.‎ ‎100（上海理1）函数的反函数为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎101（上海理14）设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在上的值域为，则在区间上的值域为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是定义在上，以１为周期的函数，，又 当时，的值域为，且，当时，的值域为。以此类推当 ‎，时的值域为当时，的值域为．同理也成立，则当时，的值域为以此类推当时，的值域为．综上，在区间上的值域为．‎ ‎102（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为　 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，为偶函数，当时，在递减．‎ ‎103（上海理20、文21）已知函数，其中常数满足．‎ ‎⑴ 若，判断函数的单调性；‎ ‎⑵ 若，求时的取值范围．‎ ‎【解析】⑴ 当时，因为都单调递增；所以函数单调递增；……２分 当时，因为都单调递减；所以函数单调递减；………４分 ‎⑵ ‎ ‎（i）当时，， ……………………………… 7分 解得； ………………………………8分 ‎（ii）当时，， ………………………………11分 解得． ………………………………12分 ‎104（上海文3）若函数的反函数为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎105（上海文14）设是定义在上．以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数的周期为１，每次找到函数在１个单位长度上的值域，再归纳出函数在这个区间上每一个１个单位长度的区间上的值域，最后取所有小区间上值域的并集就是函数在这个区间内的值域．‎ ‎106（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图象可知函数符合条件．‎ ‎107（重庆理5）下列区间中，函数在其上为增函数的是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：当时，，显然函数在该区间上为增函数。‎ ‎108（重庆理18）设的导数满足，其中常数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ （Ⅱ） 设，求函数的极值． ‎ 解：（I）因故 令由已知 又令由已知因此解得 因此又因为 故曲线处的切线方程为 ‎ ‎ ‎（II）由（I）知，从而有 令 当上为减函数；‎ 当在上为增函数；‎ 当时，上为减函数；‎ 从而函数处取得极小值处取得极大值 ‎109（重庆文3）曲线在点处的切线方程为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：，所以切线的斜率为，切线方程为。‎ ‎110（重庆文6）设的大小关系是 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：，又，所以 ‎111（重庆文19）设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且．‎ ‎ （Ⅰ）求实数的值 ‎ （Ⅱ）求函数的极值 解：（I）因 从而 即关于直线对称，从而由题设条件知 又由于 ‎ （II）由（I）知 令 当上为增函数；‎ 当上为减函数；‎ 当上为增函数；‎ 从而函数处取得极大值处取得极小值 ‎ 112（江苏2）函数的单调增区间是 ．‎ ‎ 答案：‎ ‎ 113（江苏11）已知实数，函数，若，则的值为 ．‎ 答案：‎ 解析：若，则，解得，不合题意；若，‎ 则，解得 ‎114（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 ．‎ 答案:‎ 解析：设，则过P点的切线的方程是，令，则 ‎，过P点与垂直的方程是，令，则 ‎，所以 设，则，故在上递增，在 单调递减，，所以 ‎115（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．‎ ‎（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？‎ ‎（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ 解：（1）由题意可知，正四棱柱的底面边长为，高为 等号成立时，即，包装盒的侧面积最大为。‎ （2） 包装盒的容积，则，又，所以当时，，单调递增，时，，‎ 单调递减，，此时包装盒的高与底面边长 之比为。‎ ‎116（江苏19）已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．‎ ‎（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．‎ ‎ 解：（1），要使和在区间上单调性一致，则在上恒成立，又，所以，即。‎ ‎ （2）由，得在的单调性如下：‎ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；在上递减，在上递增。‎ 若，则在上只能单调递增，从而在上也递增，，这是不可能的；若，函数在上递减，则在上也递减，故有 ‎，解得，此时；若，此时函数在上递减，不妨设，故则在上也递减，，解得，又，此时，所以。即。‎