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- 2021-05-13 发布
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2016 年甘肃省第一次高考诊断考试
文科数学
第 I 卷 （选择题，共 60 分） 2016.3.17
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 A={0，1}，B={ -1，0，a+2}，且 A B，则实数 a=
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
2．复数 z= （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是
A.(1,4) B.(4,-1) C.(4,1) D.(- 1,4)
3．设 p:l1，则 P 是 q 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A.y=x2 +1 B．y=2|x| C．y= lnx D.y=cosx
5．为了了解学生参加体育锻炼的情况，现抽取了 n 名学
生进行调查，结果显示这些学生每月的锻炼时间（单
位：小时）都在[10，50]，其中锻炼时间在[30，50]的学
生有 134 人，频率分布直方图如图所示，则 n=
A．150 B．160
C．180 D．200
6．若变量 x，y，满足约束条件 ,且 z=x+y 的
最大值和最小值分别为 m 和 n．则
m -n =
A.5 B.6 C.7 D.8
7．设非零向量 a，b，c 满足|a|=|b|=|c|，a+b= c，则向量 a 与向量 c 的夹角为
A. 150° B.120° C.60° D.30°
8．如图三棱锥 A - BCD，则该三棱锥的俯视图是
9．右图表示的是求首项为 2016，公差为-3 的等差数列{an}前 n 项和的最大值的程序框图，
则①和②处可填写
A．①a<0?，②a=a -3
B．①a<0?，②a=a+3
C．①a>0?，②a =a-3
D．①a>0?，②a=a+3
10.若 A（xl，y1），B(x2，y2)为平面上两点，则定义 A B =x1y1 +x2y2，
已知点 M( ，sinx)，N（-1，cosx），设函数 f(x)=M N，将 f(x)
的图象向左平移 （ >0）个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称
则 的最小值为
A． B.
C． D．
11.过点 P(l，一 )的直线 l 截圆 x2 +y2 =5 所得弦长不小于 4，则直线 l 的倾斜角的取值范
围是
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ]）
12．设函数 fn'(x)是 fn(x）的导函数,f0(x）=ex(cosx+ sinx),f1(x）= ,f2(x）= ，…，
(n∈N)，则 f2016(x)=
A. ex(cosx+ sinx) B. ex(cosx - sinx) C. -ex(cosx+ sinx) D. ex(sinx - cosx)
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做
答．第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13.函数 ，则 f[f(一 1)]=
14．已知α，β∈（0，π），cosa= ，cos（α十β）= ，则 cosβ= ．
15．已知双曲线 =l（a>0，b>0）的一条渐近线与直线 2x+y 一 3=0 垂直，则该双曲
线
的离心率为_______．
16.已知正四面体 ABCD 的棱长为 l，E 是 AB 的中点，过 E 作其外接球的截面，则此截面面积
的最小值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 12 分）
在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1=2，a1，a3，a7 成等比数列．
(I)求数列{an}的通项公式 an；
(Ⅱ)设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 P - ABC 中，E、F、G、H 分别是棱 PB、PC、
AB、BC 的中点，PA⊥平面 ABC，AB⊥ AC．PA =AB =AC =2.
( I)证明：FG⊥AH;
(Ⅱ)求三棱锥 E - FGH 的体积，
19.（本小题满分 12 分）
某期《我是歌手》中有 7 位歌手（1 至 7 号）参加比赛，由 500
名大众评审现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评审分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
( I)为了调查大众评审对 7 位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评
审，其中从 B 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表；
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(Ⅱ)在(I)中，若 A，B 两组被抽到的评审中各有 2 人支持 7 号歌手，现从这两组被抽到
的评审中分别任选 1 人，求这 2 人都支持 7 号歌手的概率．
20.（本小题满分 12 分）
已知 F1，F2 为椭圆 =l(a>b>0)的左、右焦点，B1，B2 椭圆短轴的端点，四边形
F1B1，F2B2 为正方形且面积等于 50.
(I)求椭圆方程；
(Ⅱ)过焦点 Fl 且倾斜角为 30°的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，求△F2MN 内切圆的半径．
21.（本小题满分 12 分）
设函数 f(x)=(a +b)ex，g(x)=一 x2+cx+d．若函数 f(x)和 g(x)的图象都过点 P(0，1)，
且在点 P 处有相同的切线 y= 2x +1.
(I)求 a，b，c，d 的值；
(Ⅱ)当 x [0，+∞）时，判断函数 h(x)=f(x)一 g(x)的单调性．
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.（本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲
如图所示，AB 为圆 D 的直径，BC 为圆 O 的切线，过 A 作 OC
的平行线交圆 O 于 D，BD 与 OC 相交于 E．
(I)求证：CD 为圆 O 的切线；
(Ⅱ)若 OA =AD =4，求 OC 的长．
23.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程是(x-2)2 +(y-l)2 =4，直线 l 经过点 P(3， )，
倾斜角为 ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(I)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 Z 的参数方程；
(II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|OA|·|OB|的值
24.（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲
设函数 f(x)= |x - a|(a∈R).
(I)当 a=3 时，解不等式 f(x)≥4 - |x +l|；
(Ⅱ)若不等式 f(x)≤l 的解集为[1，3]，且 (m>0，n>0)，求 m+2n 的最小值，
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