高考广东文科数学试题及答案word解析版 6页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2014年广东，文1，5分】已知集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎（2）【2014年广东，文2，5分】已知复数满足，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D． ‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎（3）【2014年广东，文3，5分】已知向量，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B．‎ ‎【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．‎ ‎（4）【2014年广东，文4，5分】若变量满足约束条件，则的最大值等于（ ）‎ ‎ （A）7 （B） （C）10 （D）11‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由，得，平移直线， ‎ 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最 ‎ 大，此时，故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎（5）【2014年广东，文5，5分】下列函数为奇函数的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于函数，，故此函数为奇函数；对于函数，，故此函数为偶函数；对于函数，，故此函数为偶函数；对于函数，，同时故此函数为非奇非偶函数，故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．‎ ‎（6）【2014年广东，文6，5分】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）‎ ‎（A）50 （B）40 （C）25 （D）20‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25，故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．‎ ‎（7）【2014年广东，文7，5分】在中，角所对应的边分别为，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可知，∵中，角、、所对应的边分别为，，，∴，，，都是正数，．∴“”是“”的充分必要条件，故选A．‎ ‎【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．‎ ‎（8）【2014年广东，文8，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ ‎（A）实半轴长相等 （B）虚半轴长相等 （C）离心率相等 （D）焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】当，则，，即曲线表示焦点在轴上的双曲线，其中，，，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，其中，，，即两个双曲线的焦距相等，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．‎ ‎（9）【2014年广东，文9，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论 一定正确的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C）与既不垂直也不平行 （D）与的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】在正方体中，若所在的直线为，所在的直线为，所在的直线为，‎ 若所在的直线为，此时，若所在的直线为，此时，故与的位 ‎ 置关系不确定，故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．‎ ‎（10）【2014年广东，文10，5分】对任意复数，定义，其中是的共轭 复数，对任意复数，有如下四个命题：‎ ‎① ②；‎ ‎③ ④；‎ 则真命题的个数是（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】①，正确；‎ ‎②，正确；‎ ‎③，等式不成立，故错误；‎ ‎④，等式不成立，故错误；‎ 综上所述，真命题的个数是2个，故选B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎（一）必做题（11~13）‎ ‎（11）【2014年广东，文11，5分】曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，因此所求的切线方程为：，即．‎ ‎【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．‎ ‎（12）【2014年广东，文12，5分】从字母中任取两个不同字母，则取到字母的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．‎ ‎（13）【2014年广东，文13，5分】等比数列的各项均为正数，且，‎ 则 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设，则，‎ ‎，．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎（14）【2014年广东，文14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与交点的直角坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，故的直角坐标系方程为：，的直角坐标系方程为：，交点的直角坐标为．‎ ‎【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．‎ ‎（15）【2014年广东，文15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由于，．‎ ‎【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（16）【2014年广东，文16，12分】已知函数，且． ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ 解：（1），．‎ ‎ （2）由（1）得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．‎ ‎（17）【2014年广东，文17，12分】某车间20名工人年龄数据如下表：‎ ‎（1）求这20名工人年龄的众数与极差；‎ ‎（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（3）求这20名工人年龄的方差．‎ 解：（1）这这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21．‎ 年龄（岁）‎ 工人数（人）‎ ‎19‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎3‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎1‎ 合计 ‎20‎ ‎（2）茎叶图如下：‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎8 8 8 9 9 9‎ ‎3‎ ‎0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎（3）年龄的平均数为：，‎ 这20名工人年龄的方差为：‎ ‎【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．‎ ‎（18）【2014年广东，文18，14分】如图1，四边形为矩形，，，做如图2折叠：折痕，其中点分别在线段上，沿折叠后，点叠在线段上的点记为，并且．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ 解：（1）平面，，平面平面，平面平面 ‎，平面，，平面，平面，，又 ‎，，平面，，平面．‎ ‎（2）平面，，又易知，，从而，‎ ‎，，即，，，，‎ ‎，．‎ ‎【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．‎ ‎（19）【2014年广东，文19，14分】设各项均为正数的数列的前项和为，且满足 ‎．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数，有．‎ 解：（1）令得：，即，，，，即．‎ ‎（2）由，得：，‎ ‎，，从而，，‎ 当时，，又，．‎ ‎（3）当时，，‎ ‎ ．‎ ‎【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．‎ ‎（20）【2014年广东，文20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．‎ 解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们坐标分别为，．‎ 若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程 中并整理得：，依题意，，‎ 即，即，‎ ‎，两切线相互垂直，，即，，‎ 显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得和关系．‎ ‎（21）【2014年广东，文21，14分】已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，试讨论是否存在，使得．‎ 解：（1），方程的判别式：，当时，，，此时 在上为增函数．当时，方程的两根为，当 时，，此时为增函数，当，，‎ 此时为减函数，当时，，此时为增函数，综上，时，‎ 在上为增函数，当时，的单调增函数区间为，，‎ ‎ 的单调递减区间为．‎ ‎（2）‎ 若存在，使得，‎ 必须在上有解．，，‎ 方程的两根为：，，只能是，依题意，‎ ‎，即，，即，‎ 又由，得，故欲使满足题意的存在，则，‎ 当时，存在唯一的满足． ‎ 当时，不存在使．‎ ‎【点评】（1）求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．‎ ‎（2）对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．‎