数学高考二轮考点专题突破检测概率与统计专题含详细答案 5页

专题达标检测 一、选择题 1．从 2 011 名学生中选出 50 名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随 机抽样从 2 011 人中剔除 11 人，剩下的 2 000 人再按系统抽样的方法抽取 50 人，则 在 2 011 人中，每人入选的概率 (　　) A．都相等，且为 1 40 B．都相等，且为 50 2 011 C．均不相等 D．不全相等 解析：每人入选的概率相等． 概率为2 000 2 011× 50 2 000＝ 50 2 011，故选 B. 答案：B 2．(2009·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净 重 (单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据 分组为[96,98)，[98,1 00)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重 小 于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小 于 104 克的产品的个 数 是 (　　) A．90 B．75 C．60 D．45 解析：产品净重小于 100 克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净 重 小于 100 克的个数是 36，设样本容量为 n，则36 n ＝0.300，所以 n＝120，净重大于或 等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率为(0.1 00＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样 本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.75＝90.故选 A. 答案：A 3．在 ( x＋ 1 3 x)24 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 (　　) A．3 项 B．4 项 C．5 项 D．6 项 解析：Tr＋1＝C r24(x1 2)24－r(x－1 3)r ＝C r24x12－5r 6 (0≤r≤24) ∴r 可取值为 0,6,12,18,24 ∴符合要求的项共有 5 项，故选 C. 答案：C 4．(2010·广东佛山)如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 y＝x2 和曲线 y＝ x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 (　　) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 6 解析：S 阴＝∫1 0( x－x2)dx＝Error!10＝1 3，S 正＝1， ∴P＝S 阴 S 正＝1 3，故选 B. 答案：B 5．(2010·山东)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，σ2)．若 P(ξ>2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2) ＝ (　　) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P( ξ>2) ＝1－0.046 ＝0.954. 答案：C 6．已知随机变量 ξ 和 η，其中 η＝12ξ＋7，且 Eη＝34，若 ξ 的分布列如下表，则 m 的 值 为 (　　) ξ 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由 η＝12ξ＋7⇒Eη＝12Eξ＋7⇒34 ＝12·Eξ＋7⇒Eξ＝9 4⇒9 4＝1×1 4＋2×m＋3×n＋4× 1 12，又1 4＋m＋n＋ 1 12＝1，联立求 解可得 m＝1 3. 答案：A 二、填空题 7．(ax－ 1 x)10 的展开式中 x4 项的系数为 210，则实数 a 的值为________． 解析：二项展开式的通项 Tr＋1＝C r10(ax)10－r(－1)rx－r 2＝ C r10a10－r(－1)rx10－3r 2 ，令 1 0－3r 2 ＝4 得 r＝4，由 C 410a6＝210，得 a6＝1，故 a＝±1. 答案：±1 8．左口袋里装有 3 个红球，2 个白球，右口袋里装有 1 个红球，4 个白球．若从左口袋 里取出 1 个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出 1 个球，这个球是红球 的 概率为________． 解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里 取出的是红球，其概率是3 5×2 6＝1 5；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取 出的是红球，其概率是2 5×1 6＝ 1 15，所求概率为1 5＋ 1 15＝ 4 15. 答案： 4 15 9．(2010·广东河源)在圆周上有 10 个等分点，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个 三角形，如果随机选择 3 个点，则刚好构成直角三角形的概率为________． 解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的 10 个等分点能组成 5 条直径， ∴直角三角形的个数为 5C18＝40(个)．而每 3 个点能构成的三角形有 C 310＝120(个)， ∴所求概率为 P＝ 40 120＝1 3. 答案：1 3 10．(2010·湖北)某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 ξ 的期望 Eξ＝8.9，则 y 的值为________． 解析：x＋0.1＋0.3＋y＝1，即 x＋y＝0.6.① 又 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得 7x＋10y＝5.4② 由①②联立解得 x＝0.2，y＝0.4. 答案：0.4 三、解答题 11．(2010·湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率 分布直方图． (1)求直方图中 x 的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样)，求月均 用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望． 解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1， 解得 x＝0.12. (2)由题意知，X～B(3,0.1)． 因此 P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729， P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243， P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027， P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为 EX＝3×0.1＝0.3. 12．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%； 乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%.生产 1 件甲产品，若是一等品则获得 利 润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元．设生产各件产品相互独立． (1)记 X(单位：万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布 列； (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率． 解：(1)由题设知，X 的可能取值为 10,5,2，－3，且 P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02. 由此得 X 的分布列为 X －3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72 (2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件，则二等品有(4－n)件． 由题设知 4n－(4－n)≥10，解得 n≥14 5 ， 又 n∈N，得 n＝3 或 n＝4. 所以 P＝C34·0.83·0.2＋C44·0.84＝0.819 2. 故所求概率为 0.819 2 13．(2010·四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样， 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1 6.甲、乙、丙三 位同学每人购买了一瓶该饮料． (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)＝P(B)＝P(C)＝1 6. P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝1 6×( 5 6 )2＝ 25 216. 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是 25 216. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. P(ξ＝k)＝Ck3 ( 1 6 )k ( 5 6 )3－k，k＝0,1,2,3 所以中奖人数 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 125 216 25 72 5 72 1 216 Eξ＝0×125 216＋1×25 72＋2× 5 72＋3× 1 216＝1 2.