历年文科高考椭圆题带解析 9页

第六节 椭圆 ‎ 强化训练当堂巩固 ‎ ‎1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案:B ‎ 解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. ‎ 又 ‎ 所以. ‎ 所以.所以. ‎ ‎2.已知椭圆0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案:D ‎ 解析:对于椭圆,∵,则, ‎ ‎∴a=2c.∴. ‎ ‎3.已知椭圆0)的左、右焦点分别为、若椭圆上存在一点P使则该椭圆的离心率的取值范围为 . ‎ 答案: ‎ 解析:因为在△中,由正弦定理得 ‎ 则由已知,得即a||=c||. ‎ 由椭圆的定义知||+||=2a, ‎ 则||+||=2a,即|| ‎ 由椭圆的几何性质知||0)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为则此椭圆的方程为( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案:B ‎ 解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由可得m=4,∴.故选B. ‎ 题组二 椭圆的定义 ‎ ‎4.设P是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则||+||等于( ) ‎ A.4 B.5 ‎ C.8 D.10 ‎ 答案:D ‎ 解析:因为a=5,所以||+||=2a=10. ‎ ‎5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为的点P的个数为( ) ‎ A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ 答案:D ‎ 解析:联立方程组 消去y整理解得: 或 |AB| ‎ 结合图象知P的个数为4. ‎ 题组三 椭圆的综合应用 ‎ ‎6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 . ‎ 答案: ‎ 解析:6,b=3,则所求椭圆方程为. ‎ ‎7.已知、是椭圆C:0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△的面积为9,则b= . ‎ 答案:3 ‎ 解析:依题意,有 可得即∴b=3. ‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中为椭圆0)的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为 . ‎ 答案: ‎ 解析:直线的方程为:; ‎ 直线的方程为:;二者联立解得点 ‎ 则OT中点在椭圆0)上, ‎ ‎10e-3=0, ‎ 解得. ‎ ‎9.已知椭圆C:的两焦点为点满足则||+||的取值范围为,直线与椭圆C的公共点个数为 . ‎ 答案: 0 ‎ 解析:延长交椭圆C于点M,故||||+||<||+||=2a, ‎ 即||+||; ‎ 当时直线为x=与椭圆C无交 点; ‎ 当时,直线为代入中有 ‎. ‎ ‎∵ ‎ ‎ ‎ ‎∴直线与椭圆无交点. ‎ ‎10.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且则椭圆C的离心率为 . ‎ 答案: ‎ 解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,‎ 设D(x,y).由得(c,-b)=2(x-c,y), ‎ 即 解得 . ‎ 由可得|||| ① ‎ 又由椭圆第二定义知,||. ② ‎ 由①②解得即∴. ‎ ‎11.如图,椭圆C:的顶点为焦点为||‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎(1)求椭圆C的方程; ‎ ‎(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点.与椭圆相交于A,B两点的直线,||=1.是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. ‎ 解:(1)由||知 ① ‎ 由知a=2c, ② ‎ 又 ③ ‎ 由①②③,解得故椭圆C的方程为. ‎ ‎(2)设A,B两点的坐标分别为假设使成立的直线l存在, ‎ ‎①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m, ‎ 由l与n垂直相交于P点且||=1得 ‎ 即. ‎ 由得. ‎ 将y=kx+m代入椭圆方程,得 ‎ ‎ ‎ 由求根公式可得 ④ ‎ ‎. ⑤ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 将④⑤代入上式并化简得 ‎ ‎. ⑥ ‎ 将代入⑥并化简得矛盾. ‎ 即此时直线l不存在. ‎ ‎②当l垂直于x轴时,满足||=1的直线l的方程为x=1或x=-1, ‎ 则A,B两点的坐标为或(-1 ‎ 当x=1时; ‎ 当x=-1时 ‎ ‎∴此时直线l也不存在. ‎ 综上可知,使成立的直线l不存在. ‎ ‎12.如图,已知椭圆（a>b>0)过点离心率为左 、右焦点分别为F 、F.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A ‎ ‎(1)求椭圆的标准方程. ‎ ‎(2)设直线,PF的斜率分别为,k. ‎ ‎(ⅰ)证明:. ‎ ‎(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA k,k,k,k满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由. ‎ 解:(1)因为椭圆过点 ‎ 所以. ‎ 又 ‎ 所以1. ‎ 故所求椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2)(ⅰ)证明:方法一:由于,F,PF的斜率分别为,k且点P不在x轴上, ‎ 所以. ‎ 又直线的方程分别为 ‎ 联立方程解得 ‎ 所以. ‎ 由于点P在直线x+y=2上, ‎ 所以. ‎ 因此 ‎ 即结论成立. ‎ 方法二:设则. ‎ 因为点P不在x轴上,所以. ‎ 又 ‎ 所以. ‎ 因此结论成立. ‎ ‎(ⅱ)设. ‎ 联立直线与椭圆的方程得 ‎ 化简得 ‎ 因此 ‎ 由于OA,OB的斜率存在, ‎ 所以因此. ‎ 因此 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 相似地,可以得到 ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 若须有或. ‎ ‎①当时,结合(ⅰ)的结论,可得,所以解得点P的坐标为(0,2); ‎ ‎②当时,结合(ⅰ)的结论,解得或此时不满足舍去),此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得. ‎ 因此. ‎ 综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0.