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- 2021-05-13 发布
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高考数学考点归纳之 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简
[典例] (1)sin180°+2α
1+cos 2α
· cos2α
cos90°+α
等于( )
A.-sin α B.-cos α
C.sin α D.cos α
(2)化简:sin2α+β
sin α
-2cos(α+β).
[解] (1)选 D 原式= -sin 2α·cos2α
2cos2α-sin α
=-2sin αcos α·cos2α
2cos2α-sin α
=cos α.
(2)原式=sin2α+β-2sin αcosα+β
sin α
=sin[α+α+β]-2sin αcosα+β
sin α
=sin αcosα+β+cos αsinα+β-2sin αcosα+β
sin α
=cos αsinα+β-sin αcosα+β
sin α
=sin[α+β-α]
sin α
=sin β
sin α.
[解题技法]
[题组训练]
1.化简:
sin 2α-2cos2α
sin α-π
4
=________.
解析:原式=2sin αcos α-2cos2α
2
2
sin α-cos α
=2 2cos α.
答案:2 2cos α
2.化简:
2cos2α-1
2tan
π
4
-α cos2
π
4
-α .
解:原式=
cos 2α
2sin
π
4
-α cos
π
4
-α
=
cos 2α
sin
π
2
-2α
=cos 2α
cos 2α
=1.
考点二 三角函数式的求值
考法(一) 给角求值
[典例] cos 10°1+ 3tan 10°
cos 50°
的值是________.
[解析] 原式=cos 10°+ 3sin 10°
cos 50°
=2sin10°+30°
cos 50°
=2sin 40°
sin 40°
=2.
[答案] 2
[解题技法] 三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为
求特殊角的三角函数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分
母相约等)的方式来求值.
考法(二) 给值求值
[典例] 已知 sin α+π
4 = 2
10
,α∈
π
2
,π .
求:(1)cos α的值;
(2)sin 2α-π
4 的值.
[解] (1)由 sin α+π
4 = 2
10
,
得 sin αcosπ
4
+cos αsinπ
4
= 2
10
,
化简得 sin α+cos α=1
5
,①
又 sin2α+cos2α=1,且α∈
π
2
,π ②
由①②解得 cos α=-3
5.
(2)∵α∈
π
2
,π ,cos α=-3
5
,∴sin α=4
5
,
∴cos 2α=1-2sin2α=- 7
25
,sin 2α=2sin αcos α=-24
25
,
∴sin 2α-π
4 =sin 2αcosπ
4
-cos 2αsinπ
4
=-17 2
50 .
[解题技法] 三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件;
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手);
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
考法(三) 给值求角
[典例] 若 sin 2α= 5
5
,sin(β-α)= 10
10
,且α∈
π
4
,π ,β∈ π,3π
2 ,则α+β的值是( )
A.7π
4 B.9π
4
C.5π
4
或7π
4 D.5π
4
或9π
4
[解析] ∵α∈
π
4
,π ,∴2α∈
π
2
,2π ,
∵sin 2α= 5
5
,∴2α∈
π
2
,π .
∴α∈
π
4
,π
2 且 cos 2α=-2 5
5 .
又∵sin(β-α)= 10
10
,β∈ π,3π
2 ,
∴β-α∈
π
2
,5π
4 ,cos(β-α)=-3 10
10
,
∴cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α
= -3 10
10 × -2 5
5 - 10
10
× 5
5
= 2
2
,
又∵α+β∈
5π
4
,2π ,∴α+β=7π
4 .
[答案] A
[解题技法] 三角函数给值求角问题的解题策略
(1)根据已知条件,选取合适的三角函数求值.
①已知正切函数值,选正切函数;
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 0,π
2 ,选正、余弦函数皆
可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围是 -π
2
,π
2 ,选正弦函数较好.
(2)注意讨论所求角的范围,及解题过程中角的范围.
[题组训练]
1.求值: cos 20°
cos 35° 1-sin 20°
=( )
A.1 B.2
C. 2 D. 3
解析:选 C 原式= cos 20°
cos 35°|sin 10°-cos 10°|
= cos210°-sin210°
cos 35°cos 10°-sin 10°
=cos 10°+sin 10°
cos 35°
= 2
2
2 cos 10°+ 2
2 sin 10°
cos 35°
= 2cos45°-10°
cos 35°
= 2cos 35°
cos 35°
= 2.
2.已知α为第二象限角,sin α+cos α= 3
3
,则 cos 2α=( )
A.- 5
3 B.- 5
9
C. 5
9 D. 5
3
解析:选 A 法一:因为 sin α+cos α= 3
3
,所以(sin α+cos α)2=1
3
,即 2sin αcos α=-
2
3
,即 sin 2α=-2
3.
又因为α为第二象限角且 sin α+cos α= 3
3 >0,
所以 sin α>0,cos α<0,cos α-sin α<0,cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α- sin
α)<0.
所以 cos 2α=- 1-sin22α=- 1- -2
3 2=- 5
3 .
法二:由 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α),且α为第二象限角,得 cos
α-sin α<0,
因为 sin α+cos α= 3
3
,
所以(sin α+cos α)2=1
3
=1+2sin αcos α,
得 2sin αcos α=-2
3
,从而(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=5
3
,则 cos α-sin α=- 15
3
,
所以 cos 2α= 3
3
× - 15
3 =- 5
3 .
3.已知锐角α,β满足 sin α= 5
5
,cos β=3 10
10
,则α+β等于( )
A.3π
4 B.π
4
或3π
4
C.π
4 D.2kπ+π
4(k∈Z)
解析:选 C 由 sin α= 5
5
,cos β=3 10
10
,且α,β为锐角,
可知 cos α=2 5
5
,sin β= 10
10
,
故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2 5
5
×3 10
10
- 5
5
× 10
10
= 2
2
,
又 0<α+β<π,故α+β=π
4.
考点三 三角恒等变换的综合应用
[典例] (2018·北京高考)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)若 f(x)在区间 -π
3
,m 上的最大值为3
2
,求 m 的最小值.
[解] (1)因为 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x
=1
2
-1
2cos 2x+ 3
2 sin 2x
=sin 2x-π
6 +1
2
,
所以 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π.
(2)由(1)知 f(x)=sin 2x-π
6 +1
2.
由题意知-π
3
≤x≤m,
所以-5π
6
≤2x-π
6
≤2m-π
6.
要使 f(x)在区间 -π
3
,m 上的最大值为3
2
,
即 sin 2x-π
6 在区间 -π
3
,m 上的最大值为 1,
所以 2m-π
6
≥π
2
,即 m≥π
3.
所以 m 的最小值为π
3.
[解题技法]
三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式;
(2)构造 f(x)= a2+b2
a
a2+b2·sin x+ b
a2+b2·cos x ;
(3)和角公式逆用,得 f(x)= a2+b2sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质;
(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
[题组训练]
1.已知ω>0,函数 f(x)=sin ωxcos ωx+ 3cos2ωx- 3
2
的最小正周期为π,则下列结论正
确的是( )
A.函数 f(x)的图象关于直线 x=π
3
对称
B.函数 f(x)在区间
π
12
,7π
12 上单调递增
C.将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度可得函数 g(x)=cos 2x 的图象
D.当 x∈ 0,π
2 时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为- 3
2
解析 :选 D 因为 f(x)=sin ωxcos ωx + 3 cos2ωx - 3
2
=1
2 sin 2ωx + 3
2 cos 2ωx =
sin 2ωx+π
3 ,所以 T=2π
2ω
=π,所以ω=1,所以 f(x)=sin 2x+π
3 .对于 A,因为 f
π
3 =0,所
以不正确;对于 B,当 x∈
π
12
,7π
12 时,2x+π
3
∈
π
2
,3π
2 ,所以函数 f(x)在区间
π
12
,7π
12 上单
调递减,故不正确;对于 C,将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度所得图象对应的函数 y
=f x-π
6 =sin 2 x-π
6 +π
3 =sin 2x,所以不正确;对于 D,当 x∈ 0,π
2 时,2x+π
3
∈
π
3
,4π
3 ,
所以 f(x)∈ - 3
2
,1 ,故正确.故选 D.
2.已知函数 f(x)=4sin xcos x-π
3 - 3.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)求函数 f(x)图象的对称轴和对称中心.
解:(1)f(x)=4sin xcos x-π
3 - 3
=4sin x
1
2cos x+ 3
2 sin x - 3
=2sin xcos x+2 3sin2x- 3
=sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3
=sin 2x- 3cos 2x
=2sin 2x-π
3 .
令 2kπ-π
2
≤2x-π
3
≤2kπ+π
2(k∈Z),
得 kπ- π
12
≤x≤kπ+5π
12(k∈Z),
所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ- π
12
,kπ+5π
12 (k∈Z).
令 2kπ+π
2
≤2x-π
3
≤2kπ+3π
2 (k∈Z),
得 kπ+5π
12
≤x≤kπ+11π
12 (k∈Z),
所以函数 f(x)的单调递减区间为 kπ+5π
12
,kπ+11π
12 (k∈Z).
(2)令 2x-π
3
=kπ+π
2(k∈Z),得 x=kπ
2
+5π
12(k∈Z),
所以函数 f(x)的对称轴方程为 x=kπ
2
+5π
12(k∈Z).
令 2x-π
3
=kπ(k∈Z),得 x=kπ
2
+π
6(k∈Z),
所以函数 f(x)的对称中心为
kπ
2
+π
6
,0 (k∈Z).
[课时跟踪检测]
A 级
1.已知 sin
π
6
-α =cos
π
6
+α ,则 tan α=( )
A.1 B.-1
C.1
2 D.0
解析:选 B ∵sin
π
6
-α =cos
π
6
+α ,
∴1
2cos α- 3
2 sin α= 3
2 cos α-1
2sin α,
即
3
2
-1
2 sin α=
1
2
- 3
2 cos α,
∴tan α=sin α
cos α
=-1.
2.化简: cos 40°
cos 25° 1-sin 40°
=( )
A.1 B. 3
C. 2 D.2
解析:选 C 原式= cos220°-sin220°
cos 25°cos 20°-sin 20°
=cos 20°+sin 20°
cos 25°
= 2cos 25°
cos 25°
= 2.
3.(2018·唐山五校联考)已知α是第三象限的角,且 tan α=2,则 sin α+π
4 =( )
A.- 10
10 B. 10
10
C.-3 10
10 D.3 10
10
解析:选 C 因为α是第三象限的角,tan α=2,
所以
sin α
cos α
=2, sin2α+cos2α=1, 所以 cos α=- 5
5
,sin α=-2 5
5
,
则 sin α+π
4 =sin αcosπ
4
+cos αsinπ
4
=-2 5
5
× 2
2
- 5
5
× 2
2
=-3 10
10 .
4.(2019·咸宁模拟)已知 tan(α+β)=2,tan β=3,则 sin 2α=( )
A. 7
25 B.14
25
C.- 7
25 D.-14
25
解析:选 C 由题意知 tan α=tan[(α+β)-β]= tanα+β-tan β
1+tanα+βtan β
=-1
7
,
所以 sin 2α= 2sin αcos α
sin2α+cos2α
= 2tan α
tan2α+1
=- 7
25.
5.已知 cos
2π
3
-2θ =-7
9
,则 sin
π
6
+θ 的值为( )
A.1
3 B.±1
3
C.-1
9 D.1
9
解析:选 B ∵cos
2π
3
-2θ =-7
9
,
∴cos π-
π
3
+2θ =-cos
π
3
+2θ
=-cos 2
π
6
+θ =- 1-2sin2
π
6
+θ =-7
9
,
解得 sin2
π
6
+θ =1
9
,∴sin
π
6
+θ =±1
3.
6.若 sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=4
5
,且α为第二象限角,则 tan α+π
4 =( )
A.7 B.1
7
C.-7 D.-1
7
解析:选 B ∵sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β=4
5
,即-cos(α-β+β)=-cos α=4
5
,
∴cos α=-4
5.又∵α为第二象限角,∴tan α=-3
4
,∴tan α+π
4 =1+tan α
1-tan α
=1
7.
7.化简:2sinπ-α+sin 2α
cos2α
2
=________.
解析:2sinπ-α+sin 2α
cos2α
2
=2sin α+2sin αcos α
1
2
1+cos α
=4sin α1+cos α
1+cos α
=4sin α.
答案:4sin α
8.(2018·洛阳第一次统考)已知 sin α+cos α= 5
2
,则 cos 4α=________.
解析:由 sin α+cos α= 5
2
,得 sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+sin 2α=5
4
,所以 sin 2α=
1
4
,从而 cos 4α=1-2sin22α=1-2×
1
4 2=7
8.
答案:7
8
9.若锐角α,β满足 tan α+tan β= 3- 3tan αtan β,则α+β=________.
解析:由已知可得 tan α+tan β
1-tan αtan β
= 3,
即 tan(α+β)= 3.
又因为α+β∈(0,π),所以α+β=π
3.
答案:π
3
10.函数 y=sin xcos x+π
3 的最小正周期是________.
解析:y=sin xcos x+π
3 =1
2sin xcos x- 3
2 sin2x=1
4sin 2x- 3
2 ·1-cos 2x
2
=1
2sin 2x+π
3 -
3
4
,故函数 f(x)的最小正周期 T=2π
2
=π.
答案:π
11.化简:(1) 3tan 12°-3
sin 12°4cos212°-2
;
(2)
cos2α
1
tan α
2
-tan α
2
.
解:(1)原式=
3sin 12°
cos 12°
-3
22cos212°-1sin 12°
= 3sin 12°-3cos 12°
2sin 12°cos 12°cos 24°
=2 3sin 12°cos 60°-cos 12°sin 60°
sin 24°cos 24°
=4 3sin12°-60°
sin 48°
=-4 3.
(2)法一:原式=
cos2α
cosα
2
sinα
2
-
sinα
2
cosα
2
=
cos2 α
cos2 α
2
-sin2 α
2
sinα
2cosα
2
=
cos2αsinα
2cosα
2
cos2 α
2
-sin2 α
2
=cos2αsinα
2cosα
2
cos α
=sinα
2cosα
2cos α=1
2sin αcos α=1
4sin 2α.
法二:原式=
cos2αtanα
2
1-tan2 α
2
=1
2cos2α·
2tanα
2
1-tan2 α
2
=1
2cos2α·tan α=1
2cos αsin α=1
4sin 2α.
12.已知函数 f(x)=2sin xsin x+π
6 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当 x∈ 0,π
2 时,求函数 f(x)的值域.
解:(1)因为 f(x)=2sin x
3
2 sin x+1
2cos x = 3×1-cos 2x
2
+1
2sin 2x=sin 2x-π
3 + 3
2
,
所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π.
由-π
2
+2kπ≤2x-π
3
≤π
2
+2kπ,k∈Z,
解得- π
12
+kπ≤x≤5π
12
+kπ,k∈Z,
所以函数 f(x)的单调递增区间是 - π
12
+kπ,5π
12
+kπ ,k∈Z.
(2)当 x∈ 0,π
2 时,2x-π
3
∈ -π
3
,2π
3 ,
sin 2x-π
3 ∈ - 3
2
,1 ,f(x)∈ 0,1+ 3
2 .
故 f(x)的值域为 0,1+ 3
2 .
B 级
1.(2018·大庆中学期末)已知 tan α, 1
tan α
是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两个实根,
且 3π<α<7π
2
,则 cos α+sin α=( )
A. 3 B. 2
C.- 2 D.- 3
解析:选 C ∵tan α, 1
tan α
是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两个实根,∴tan α+ 1
tan α
=k,tan α· 1
tan α
=k2-3.
∵3π<α<7π
2
,∴k>0,∴k=2,
∴tan α=1,∴α=3π+π
4
,
则 cos α=- 2
2
,sin α=- 2
2
,∴cos α+sin α=- 2.
2.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sin B=1
3
,则 sin A=________.
解析:∵sin(C-A)=1,
∴C-A=90°,即 C=90°+A,
∵sin B=1
3
,
∴sin B=sin(A+C)=sin(90°+2A)=cos 2A=1
3
,
即 1-2sin2A=1
3
,∴sin A= 3
3 .
答案: 3
3
3.已知角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3).
(1)求 sin 2α-tan α的值;
(2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数 g(x)= 3f
π
2
-2x -2f 2(x)在区间
0,2π
3 上的值域.
解:(1)∵角α的终边经过点 P(-3, 3),
∴sin α=1
2
,cos α=- 3
2
,tan α=- 3
3 .
∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 3
2
+ 3
3
=- 3
6 .
(2)∵f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,
∴g(x)= 3cos
π
2
-2x -2cos2x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin 2x-π
6 -1.
∵0≤x≤2π
3
,
∴-π
6
≤2x-π
6
≤7π
6 .
∴-1
2
≤sin 2x-π
6 ≤1,
∴-2≤2sin 2x-π
6 -1≤1,
故函数 g(x)= 3f
π
2
-2x -2f2(x)在区间 0,2π
3 上的值域是[-2,1].