全国高考语文试题及答案全国卷 37页

- 1 - 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡 右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答 在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． 2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是 A． B． C． D． 3．设有下面四个命题 { | 0}A B x x= < A B = R { | 1}A B x x= > A B = ∅ 1 4 π 8 1 2 π 4 3 1x < - 2 - ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 . 其中的真命题为 A． B． C． D． 4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围是 A． B． C． D． 6． 展开式中 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中， 可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2,z z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na ( )f x ( , )−∞ +∞ ( 11)f = − 21 ( ) 1xf −− ≤ ≤ x [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] 6 2 1(1 )(1 )xx + + 2x ≤ ≤ - 3 - 和 n=n+2 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是 A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个 单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个 单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个 单位长度，得到曲线 C2 10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 11．设 xyz 为正数，且 ，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答 案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20， 接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最 小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 14．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 . 15．已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A， 圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率为 ________。 2π 3 π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 2 3 5x y z= = 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= − 2 2 2 2 1x y a b − = - 4 - 16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、 E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。 沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重 合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 _______。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． 2 3sin a A 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + - 5 - （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ， 其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判 断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 20.（12 分） 已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ） 中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1，证明：l 过定点. 21.（12 分） 已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程 为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ 2 2 2 2 =1x y a b + 3 2 3 2 )f x =（ ( )f x ( )f x 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） - 6 - （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 17 - 7 - 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 14．-5 15． 16． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 解：（1） 由题意可得 ， 化简可得 ， 根据正弦定理化简可得： 。 （2） 由 ， 因此可得 ， 将之代入 中可得： ， 2 3sin a A 21 sin2 3sinABC aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A= 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ = ( ) 2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C π  = ⇒ = − + = − = ⇒ =  = 3B C π= − 2sin sinC 3B = 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C π − = − =   2 3 2 3 3 315cm - 8 - 化简可得 ， 利用正弦定理可得 ， 同理可得 ， 故而三角形的周长为 。 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. （1）证明： , 又 ,PA、PD 都在平面 PAD 内， 故而可得 。 又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB⊥平面 PAD。 （2）解： 不妨设 ， 以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： ， 因此可得 ， 假设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 故而可得 ，即 ， 3tan ,3 6 6C C B π π= ⇒ = = 3 1sin 3sin 23 2 ab BA = = × = 3c = 3 2 3+ 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  / / ,AB CD CD PD AB PD⊥ ∴ ⊥ ,AB PA PA PD P∴ ⊥ ∩ = AB PAD⊥ 2PA PD AB CD a= = = = ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a− ( ) ( ) ( )2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a= − = − = − −   PAB ( )1 , ,1n x y= PBC ( )2 , ,1n m n= 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y  ⋅ = − = ⇒ = ⋅ = − − = ⇒ =     ( )1 1,0,1n = - 9 - 同理可得 ，即 。 因此法向量的夹角余弦值： 。 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 。 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零 件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ， 其中 为抽取的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判 断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 解：（1） 由题意可得，X 满足二项分布 ， 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n  ⋅ = − + − = ⇒ = ⋅ = + − = ⇒ =     2 20, ,12n  =      1 2 1 3cos , 332 2 n n< >= = ⋅   3 3 − 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ ( ) ( ) 161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = = − = − = ( )~ 16,0.0016X B - 10 - 因此可得 （2） ○1 由（1）可得 ，属于小概率事件， 故而如果出现 的零件，需要进行检查。 ○2 由题意可得 ， 故而在 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。 此时： ， 。 20.（12 分） 已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ） 中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1，证明：l 过定点. 解：（1） 根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1， ）不可能同时在椭圆上， P3（–1， ），P4（1， ）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过 P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）， 代入椭圆方程可得： ， 故而可得椭圆的标准方程为： 。 （2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A 为： ,P2B 为： . ( )16,0.0016 16 0.0016 0.0256EX == × = ( )1 0.0408 5%P X ≥ = < ( 3 , 3 )µ σ µ σ− +      9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606µ σ µ σ µ σ= = ⇒ − = + = ( )9.334,10.606 9.97 16 9.22 10.0215xµ × −= = = ( )15 1 1 0.0915 i x xσ = = − ≈∑ 2 2 2 2 =1x y a b + 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 31, 1 24b aa = + = ⇒ = 2 2 14 x y+ = 1y kx= + ( )1 1y k x= − + - 11 - 联立 ， 假设 ， 此时可得： ， 此时可求得直线的斜率为： ， 化简可得 ，此时满足 。 ○1 当 时，AB 两点重合，不合题意。 ○2 当 时，直线方程为： ， 即 ，当 时， ，因此直线恒过定点 。 21.（12 分） 已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. 解： （1）对函数进行求导可得 。 ○1 当 时， 恒成立，故而函数恒递减 ○2 当 时， ，故而可得函数在 上单调递减，在 上单调递增。 ( )2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y = + ⇒ + + = + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k  + − + − −     + + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk − + −− ++ +−= = +− −− ++ + ( )2 1 1 2ABk k = − + 1 2k ≠ − 1 2k = − 1 2k ≠ − ( ) 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk − = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1 2 k k x y k + − + = − + 2x = 1y = − ( )2, 1− )f x =（ ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( )( )2' 2 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e= + − − = − + 0a ≤ ( ) ( )( )' 1 1 0x xf x ae e= − + ≤ 0a > ( ) ( )( ) 1' 1 1 0 lnx xf x ae e x a = − + > ⇒ > 1,ln a  −∞   1ln ,a  +∞   - 12 - （2）函数有两个零点，故而可得 ，此时函数有极小值 ， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0， 故而可得 ，令 ， 对函数进行求导即可得到 ，故而函数恒递增， 又 ， ， 因此可得函数有两个零点的范围为 。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程 为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 解： 将 曲 线 C 的 参 数 方 程 化 为 直 角 方 程 为 ， 直 线 化 为 直 角 方 程 为 （1）当 时，代入可得直线为 ，联立曲线方程可得： ， 解得 或 ，故而交点为 或 （2）点 到直线 的距离为 ， 0a > 1 1ln ln 1f aa a   = − +   ( )1ln 1 0 0a aa − + < > ( ) 1g ln 1a a a = − + ( ) 2 1g' 0aa a += > ( )g 1 0= ( ) 1g ln 1 0 1a a aa ∴ = − + ⇒ < < ( )0,1a ∈ 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） 17 2 2 19 x y+ = 1 114 4y x a= − + − 1a = 1 3 4 4y x= − + 2 2 1 3 4 4 9 9 y x x y  = − +  + = 21 25 24 25 x y  = −  = 3 0 x y =  = 21 24,25 25  −   ( )3,0 3cos , sin , x y θ θ =  = 1 114 4y x a= − + − 3cos 4sin 4 17 17 ad θ θ+ + −= ≤ - 13 - 即： ， 化简可得 ， 根据辅助角公式可得 ， 又 ，解得 或者 。 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 解： 将函数 化简可得 （1） 当 时，作出函数图像可得 的范围在 F 和 G 点中间， 联立 可得点 ，因此可得解集为 。 （2） 即 在 内恒成立，故而可得 恒成立， 根据图像可得：函数 必须在 之间，故而可得 。 3cos 4sin 4 17aθ θ+ + − ≤ ( ) ( )17 4 3cos 4sin 17 4a aθ θ− − − ≤ + ≤ − − ( )13 5sin 21a aθ ϕ− − ≤ + ≤ − ( )5 5sin 5θ ϕ− ≤ + ≤ 8a = − 16a = ( ) 1 1g x x x= + + − ( ) 2 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x > = − ≤ ≤ − < − 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 2 4 y x y x x =  = − + + 17 1, 17 12G  − −    17 11, 2  −−    ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 2 24 2 2x ax x ax− + + ≥ ⇒ − ≤ y ax= 1 2,l l 1 1a− ≤ ≤ - 14 - 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 - 15 - 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1） 设复数 z 满足 =i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） （B） （C） （D） （3）设命题 P： n N， > ，则 P 为 （A） n N, > （B） n N, ≤ （C） n N, ≤ （D） n N, = （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中 的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是 （A）（- ， ） （B）（- ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆 为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的 米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有 1+z 1 z− 2 3 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 ∃ ∈ 2n 2n ¬ ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n 0 0( , )M x y 2 2: 12 xC y− = 1 2,F F C 1 2 0MF MF <   0y 3 3 3 3 3 6 3 6 2 2 3 − 2 2 3 2 3 3 − 2 3 3 - 16 - A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 （7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 ，则 （A） (B) （C） (D) (8)函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为 (A) (B) (C) (D) （9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8  3BC CD=  1 4 3 3AD AB AC= − +   1 4 3 3AD AB AC= −   4 1 3 3AD AB AC= +   4 1 3 3AD AB AC= −   ( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ - 17 - （10） 的展开式中， 的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 = （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12.设函数 ,其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ， 2 5( )x x y+ + 5 2x y r π r ( ) (2 1)xf x e x ax a= − − + 1a < 0x 0( ) 0f x < - 18 - 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若函数 为偶函数，则 （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴上，则该圆的标准方程为 。 （15）若 满足约束条件 则 的最大值为 . （16）在平面四边形 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 12 分） Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0， （Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 }的前 n 项和 （18）如图，，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平 面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 a 3[ ,1)2e − 3 3[ , )2 4e − 3 3[ , )2 4e 3[ ,1)2e 2( ) ln( )f x x x a x= + + a = 2 2 116 4 x y+ = x ,x y 1 0, 0, 4 0, x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ y x ABCD - 19 - （19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年 销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。 （x1- ）2 （w1- ）2 （ x1- ） (y- ) （w1- ） (y- ) 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 w1 = 1, ， = （1） 根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2）…….. （un vn）,其回归线 v= u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： x y w 1 1x+ ∑ x 1 1x+ ∑ w 1 1x+ ∑ x y 1 1x+ ∑ w y x w 1 8 1 1 1 x w + ∑ x α β+ - 20 - （20）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 K 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示 m,n 中的最小值，设函数 ，讨 论 h（x）零点的个数 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做， 则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉C 的 Q 切线，BC 交☉O 于 E （I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线； （II） 若 OA= CE，求∠ACB 的大小. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 2 4 x 3 1 , ( ) ln4x ax g x x+ + = − ( )y f x= min { },m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= > - 21 - 在直角坐标系 中。直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求 ， 的极坐标方程； （II） 若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积 （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； （Ⅱ）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 Oχ γ 1C χ − 2C ( ) ( )2 21 2 1χ γ− + − = χ 1C 2C 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 2C 3C M N 2C MN - 22 - - 23 - - 24 - - 25 - - 26 - - 27 - 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 全国课标 1 理科数学 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A={ | }，B={ |－2≤ ＜2＝，则 = .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2） 2. = . . . . 3. 设函数 ， 的定义域都为 R，且 时奇函数， 是偶函数，则下列结论正 确的是 . 是偶函数 .| | 是奇函数 . | |是奇函数 .| |是奇函数 4. 已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距 离为 . .3 . . x 2 2 3 0x x− − ≥ x x A B∩ A B C D 3 2 (1 ) (1 ) i i + − A 1 i+ B 1 i− C 1 i− + D 1 i− − ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x A ( )f x ( )g x B ( )f x ( )g x C ( )f x ( )g x D ( )f x ( )g x F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C A 3 B C 3m D 3m - 28 - 5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率 . . . . 6. 如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 的始边 为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将 点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上 的图像大致为 7. 执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 = . . . . 8. 设 ， ，且 ，则 . . . . 9. 不等式组 的解集记为 .有下面四个命题： ： ， ： , ： ， ： . 其中真命题是 . ， . ， . ， . ， 10. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 x OA OP P OA M M OP x ( )f x y ( )f x π , ,a b k M A 20 3 B 16 5 C 7 2 D 15 8 (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 1 sintan cos βα β += A 3 2 πα β− = B 2 2 πα β− = C 3 2 πα β+ = D 2 2 πα β+ = 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ D 1p ( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ − 2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ − A 2p 3P B 1p 4p C 1p 2p D 1p 3P C 2 8y x= F l P l Q PF C - 29 - 个焦点，若 ，则 = . . .3 .2 11. 已知函数 = ，若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视 图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 . . .6 .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须 作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案) 14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多， 但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断 乙去过的城市为 . 15. 已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 ，则 与 的夹角为 . 16. 已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知数列{ }的前 项和为 ， =1， ， ，其 中 为常数. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）是否存在 ，使得{ }为等差数列？并说明理由. 18. （本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标 值，由测量结果得如下频率分布直方图： 4FP FQ=  | |QF A 7 2 B 5 2 C D ( )f x 3 23 1ax x− + ( )f x 0x 0x a A B C D A 6 2 B 4 2 C D 8( )( )x y x y− + 2 2x y 1 ( )2AO AB AC= +   AB AC , ,a b c ABC∆ , ,A B C a (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆ na n nS 1a 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ 2n na a λ+ − = λ na - 30 - （Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间 的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ， 其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . （i）利用该正态分布，求 ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标 值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 . 附： ≈12.2. 若 ～ ，则 =0.6826， =0.9544. 19. （本小题满分 12 分）如图三棱锥 中，侧面 为菱形， . （Ⅰ） 证明： ； （Ⅱ）若 ， ， AB=Bc，求二面角 的 余弦值. 20.（本小题满分 12 分）已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点. x 2s Z 2( , )N µ δ µ x 2δ 2s (187.8 212.2)P Z< < X EX 150 Z 2( , )N µ δ ( )P Zµ δ µ δ− < < + ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < + 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = 1 1 1A A B C− − A E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 F AF 2 3 3 O - 31 - （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程. 21.（本小题满分 12 分）设函数 ，曲线 在点（1， 处的 切线为 . (Ⅰ)求 ； （Ⅱ）证明： . 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E， 且 CB=CE （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设 AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证 明：△ADE 为等边三角形. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数）. （Ⅰ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最 小值. 24. （本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲若 ，且 . （Ⅰ）求 的最小值； （Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由. E A l E ,P Q OPQ∆ l 1 ( 0 ln x x bef x ae x x − = + ( )y f x= (1)f ( 1) 2y e x= − + ,a b ( ) 1f x > C 2 2 14 9 x y+ = l 2 2 2 x t y t = +  = − t C l C P l o30 l A | |PA 0, 0a b> > 1 1 aba b + = 3 3a b+ ,a b 2 3 6a b+ = - 32 - 2014 数学参考答案 一、选择题 1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B 二、填空题 13. -20 14. A 15. 16. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12分) 解： （Ⅰ）由题设， 两式相减得 ， 由于 ， ………………………………………6 分 （Ⅱ） ，而 ，解得 ， 由（Ⅰ）知 令 ，解得 。 故 ，由此可得 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， ； 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 。 所以 ， 因此存在 ，使得 为等差数列。…………………………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 解： （Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为 2 π 3 1 1 2 11, 1n n n n n na a S a a Sλ λ+ + + += − = − 1 2 1( )n n n na a a aλ+ + +− = 1 0na + ≠ 2n na a λ+∴ − = 1 2 1 11 1a a S aλ λ= − = − 1 1a = 2 1a λ= − 3 2a aλ= + 2 1 32a a a= + 4λ = 2 4n na a+ − = 2 1{ }na − 2 1 4 3na n− = − 2{ }na 2 4 1na n= − 2 1na n= − 1 2n na a+ − = 4λ = { }na x 2s 170 0.02+180 0.09+190 0.22+200 0.33+210 0.24+220 0.08+230 0.02x = × × × × × × × 200= - 33 - ………………………………………………6 分 （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知， ，从而 ……………………9 分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的赶驴为 0.6826 ， 依 题 意 知 （ 100 ， 0.6826 ） ， 所 以 ……………………………12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，连结 ，因为侧面 为菱形，所以 ，且为 及 的中 点。 又 ， 所 以 ， 由 于 ，故 ， 又 ，故 ……………………………………6 分 （Ⅱ）因为 ，且 为 的中点，所以 ， 又因为 ，所以 ，故 ，从而 两两互相垂 直， 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直 角坐标系 因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则 ~ (200,150)Z N (187.8 212.2) (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z P Z< < = − < < + = ~X B 100 0.6826 68.26EX = × = 1BC 1B C O AO 1 1BB C C 1 1B C BC⊥ O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ABO⊥ 平面 AO ABO⊂ 平面 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ O 1B C AO CO= AB BC= BOA BOC∆ ≅ ∆ OA OB⊥ 1, ,OA OB OB O OB x | |OB O xyz− 1 60CBB∠ =  1CBB∆ AB BC= 1 3 3 3(0,0, ), (1,0,0), (0, ,0), (0, ,0)3 3 3A B B C − 1 1 1 1 1 3 3 3 3(0, , ), (1,0, ), ( 1, ,0),3 3 3 3AB A B AB B C BC= − = = − = = − −     - 34 - 设 是平面 的法向量，则 即 所以可取 设 是平面 的法向量，则 同理可取 ， 则 所以二面角 的余弦值为 ……………………………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设 ，由条件知， ，得 ， 又 ，所以 故 的方程为 ………………………………………………5 分 （Ⅱ）当 轴时不合题意，故设 ， ，将 代入 得 当 ，即 时， 从而 ( , , )n x y z= 1 1AA B 1 1 1 0, 0, n AB n A B  ⋅ = ⋅ =   3 3 0,3 3 3 0,3 y z x z  − =  − = (1, 3, 3)n = m 1 1 1A B C 1 1 1 1 0, 0, m A B m B C  ⋅ = ⋅ =   (1, 3, 3)m = − 1cos , | || | 7 n mn m n m ⋅< >= = 1 1 1A A B C− − 1 7 ( ,0)F c 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2 2 22, 1a b a c= = − = E 2 2 14 x y+ = l x⊥ : 2l y kx= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2y kx= − 2 2 14 x y+ = 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 4 1 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 3| | 1 | | 4 1 k kPQ k x x k + ⋅ −= + − = + - 35 - 又点 到直线 的距离 ，所以 的面积 ……………………9 分 设 ，则 ， 因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 所以当 的面积最大时， 的方程为 或 ……………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， 由题意可得 故 ………………………………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，从而 等价于 设函数 ，则 ， 所以当 时， ；当 时， 故 在 单调递减，在 单调递增，从而 在 的最小值为 ……………………………8 分 设函数 ，则 所以，当 时， ；当 时， ，故 在 单调 递增，在 单调递减，从而 在 的最大值为 综上，当 时， ，即 ……………………………12 分 O PQ 2 2 1 d k = + OPQ∆ 2 2 1 4 4 3| |2 4 1OPQ kS d PQ k∆ −= ⋅ = + 24 3k t− = 0t > 2 4 4 44OPQ tS t t t ∆ = =+ + 4 4t t + ≥ 2t = 7 2k = ± 0∆ > OPQ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − − ( )f x (0, )+∞ 1 1 2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x − −′ = + − + (1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= = 12( ) lnx xf x e x ex −= + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e −> − ( ) lng x x x= ( ) 1 lng x x′ = + 1(0, )x e ∈ ( ) 0g x′ < 1( , )x e ∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x 1(0, )e 1( , )e +∞ ( )g x (0, )+∞ 1 1( )g e e = − 2( ) xh x xe e −= − ( ) (1 )xh x e x−′ = − (0,1)x∈ ( ) 0h x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x (0,1) (1, )+∞ ( )h x (0, )+∞ 1(1)h e = − 0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x > - 36 - 22.（本小题满分 10 分） （Ⅰ）证明：由题设得，A ，B ，C ，D 四点共圆，所以， 由已知得 ，故 ............5 分 （ Ⅱ ） 设 BC 的 中 点 为 N ， 连 结 ， 则 由 知 ，故 在直线 上 又 不 是 的 直 径 ， 为 的 中 点 ， 故 ，即 所以 ，故 又 ，故 ，由（Ⅰ）知， ，所以 为等边三角形 ……………………………………………………………………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）曲线 的参数方程为 （ 为参数） 直线 的普通方程为 …………………………………………5 分 （Ⅱ）曲线 上任意一点 到 的距离为 则 ，其中 为锐角，且 当 时， 取得最小值，最小值为 ………………………10 分 24. （本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由 ，得 ，且当 时等号成立 故 ，且当 时等号成立 所以 的最小值为 …………………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， D CBE∠ = ∠ CBE E∠ = ∠ D E∠ = ∠ MN MB MC= MN BC⊥ O MN AD O M AD OM AD⊥ MN AD⊥ //AD BC A CBE∠ = ∠ CBE E∠ = ∠ A E∠ = ∠ D E∠ = ∠ ADE∆ C 2cos , 3sin , x y θ θ =  = θ l 2 6 0x y+ − = C (2cos ,3sin )P θ θ l 5 | 4cos 3sin 6 |5d θ θ= + − 2 5| | | 5sin( ) 6 |sin30 5 dPA θ α= = + −  α 4tan 3 α = sin( ) 1θ α+ = | |PA 2 5 5 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 32 4 2a b a b+ ≥ ≥ 2a b= = 3 3a b+ 4 2 2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ - 10 - 由于 ，从而不存在 ，使得 ……………………………10 分4 3 6> ,a b 2 3 6a b+ =