湖北高考试题（文数） 9页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文科）‎ 本试题卷共4页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则满足条件 的集合C的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：‎ 分组 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间的频率为 A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65‎ ‎3．函数在区间上的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 ‎5．过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知定义在区间上的函数 第6题图 O ‎1‎ ‎2‎ x 的图象如图所示，‎ 则的图象为 A O ‎1‎ ‎2‎ x B O ‎1‎ ‎2‎ x C O ‎1‎ ‎2‎ x D O ‎1‎ ‎2‎ x ‎7．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎8．设△的内角，，所对的边分别为，，. 若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为 A． B． C． D． ‎ ‎9．设，则“”是“”的 A．充分条件但不是必要条件　　　　 B．必要条件但不是充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．既不充分也不必要的条件 ‎10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A． B．‎ 第10题图 C． D．‎ ‎二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人．‎ ‎12．若（，为实数，为虚数单位），则 .‎ ‎13．已知向量，，则 ‎（Ⅰ）与同向的单位向量的坐标表示为 ；‎ ‎（Ⅱ）向量与向量夹角的余弦值为 .‎ ‎14．若变量满足约束条件 则目标函数的最小值是 .‎ 第16题图 ‎15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .‎ 侧视图 正视图 ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ 俯视图 ‎1‎ ‎1‎ 第15题图 ‎16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 .‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎···‎ ‎17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：‎ 第17题图 将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列. 可以推测：‎ ‎（Ⅰ）是数列中的第________项；‎ ‎（Ⅱ）________.（用k表示）‎ ‎三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若的图象经过点，求函数的值域. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ C B A D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 第19题图 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱. ‎ ‎（Ⅰ）证明：直线平面； ‎ ‎（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知，，，（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？ ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）过原点斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，且它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设函数，为正整数，a，b为常数. 曲线在 处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅲ）证明：.‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：‎ A卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：‎ ‎11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ） ‎ ‎14． 2 15． 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）‎ 三、解答题：‎ ‎18．解：（Ⅰ）因为 ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴，可得， ‎ 所以，即． ‎ 又，，所以，故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎（Ⅱ）由的图象过点，得，‎ 即，即. ‎ 故，函数的值域为. ‎ ‎19．解：（Ⅰ）因为四棱柱的侧面是全等的矩形，‎ 所以，. 又因为，所以平面ABCD. ‎ 连接BD，因为平面ABCD，所以.‎ 因为底面ABCD是正方形，所以. ‎ 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. ‎ 又已知平面ABCD∥平面，且平面平面，‎ 平面平面，所以B1 D1∥BD. 于是 由，，B1 D1∥BD，可得，.‎ 又因为，所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）因为四棱柱的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 ‎.‎ 又因为四棱台的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，‎ 所以 ‎. ‎ 于是该实心零部件的表面积为，‎ 故所需加工处理费为（元）. ‎ ‎20．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎21．解：（Ⅰ）如图1，设，，则由，‎ 可得，，所以，. ①‎ 因为点在单位圆上运动，所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，；‎ 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，‎ 两焦点坐标分别为，. ‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，‎ 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ‎，即.‎ 因为点H在直线QN上，所以.‎ 于是，. ‎ 而等价于，‎ 即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，‎ 都有. 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ 解法2：如图2、3，，设，，则，‎ ‎，‎ 因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又，，三点共线，所以，即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于，即，又，得，‎ 故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有 ‎. ‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为，由点在上，可得，即. ‎ 因为，所以. ‎ 又因为切线的斜率为，所以，即. 故，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.‎ 令，解得，即在上有唯一零点. ‎ 在上，，故单调递增；‎ 而在上，，单调递减.‎ 故在上的最大值为. ‎ ‎（Ⅲ）令，则.‎ 在上，，故单调递减；‎ 而在上，单调递增.‎ 故在上的最小值为. 所以，‎ 即. ‎ 令，得，即，‎ 所以，即.‎ 由（Ⅱ）知，，故所证不等式成立. ‎